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一個損失門檻與門檻以外的平均值閱讀約15分鐘
VaR與Expected Shortfall比較
比較VaR與Expected Shortfall的定義、計算、分散化性質、估計誤差，以及使用兩種尾部風險度量前所需的回測
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
Value at Risk是損失分位數，在置信水平α標記一個約以1−α概率被突破的門檻。Expected Shortfall平均該最差尾部內的損失。ES描述VaR以外的嚴重程度，但需要更多尾部數據，兩者都不能預測下一次實際損失
VaR識別一條邊界
對CDF為F_L的損失L，VaR_α(L)=inf{l:F_L(l)≥α}
單日99% VaR為10，表示模型按其規約賦予損失超過10約1%的概率
它不表示最大損失為10、連續100天中恰有99天低於10，也不表示超越損失很小
Expected Shortfall平均選定尾部
對可積損失，穩健定義為ES_α(L)=(1−α)^{-1}∫_α^1 VaR_u(L)du
對連續分佈，按所選尾部規約，它通常等於E[L|L≥VaR_α]
若分位數處有原子，簡單條件平均會選取過多質量，積分定義能正確處理部分分位質量
兩種度量看到不同組合
兩個組合可以擁有相同VaR，但其中一個在門檻以外配置了大得多的損失
VaR並非對所有分佈都次可加，有時會懲罰分散化或獎勵集中的門檻效應
ES在標準定義與可積條件下具有一致性，但這不會令錯誤模型或陳舊數據變得可靠
估計以寬度換取尾部細節
歷史VaR是順序統計量；歷史ES只平均所選排序以外的觀測
高置信水平的ES有效觀測極少，因此抽樣不確定性可能大得多
參數、濾波、極值和蒙地卡羅估計加入了須配合期限、依賴、流動性與狀態的假設
回測提出不同問題
VaR檢驗可統計超越次數並評估超越時點是否出現異常聚集
ES不能只靠超越頻率評估，可用適當評分或尾部損失診斷與VaR聯合檢驗
通過回測只說明歷史誤差符合該窗口與檢驗，並不保證下一個狀態或遺漏持倉
優化揭示有用的ES公式
Rockafellar–Uryasev的min_t{t+(1−α)^{-1}E[(L−t)_+]}最小值等於相應ES
標準條件下最優t是VaR分位數，許多情景ES問題因此可轉成凸優化
結果仍取決於情景質量、持倉非線性、交易約束與損失映射的凸性
管理必須固定規約
聲明損失符號、期限、置信水平、估值時點、數據窗口、權重、貨幣與缺失價格處理
同時報告不確定區間、超越記錄、尾部貢獻者、壓力情景與統計模型以外的限額
用替代窗口和依賴假設重算並調查變化，不要把一個數字當作風險證書
常見問題
VaR與Expected Shortfall有何分別？
VaR標記損失分位數；Expected Shortfall平均從該分位數到分佈最差端的損失
99% VaR表示損失不能更大嗎？
不是。模型本身預期會有超越，而VaR不說明這些超越可能多麼嚴重
Expected Shortfall總是更好嗎？
它包含尾部嚴重度並有更強分散性質，但更難估計且仍依賴模型
Expected Shortfall能回測嗎？
能，但不能只數超越次數；應與VaR聯合評價或比較實際尾部損失與預測
資料來源與延伸閱讀
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