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路徑的二階變化閱讀約13分鐘
二次變差：隨機路徑與波動率的橋樑
理解微小路徑增量的平方和為何保留下來、如何產生Itô修正項，以及怎樣連接擴散波動率與已實現方差
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
二次變差是在愈來愈細的時間分割上，把路徑增量平方後求和所得的極限，用來量度累積的二階運動。連續有限變差路徑的二次變差為零，標準布朗運動的二次變差等於經過時間，它亦產生Itô計算中的二階修正項
先把分割上的增量平方
對[0,t]的分割π，構造Q_π(X) = Σ(X_{t_i} - X_{t_{i-1}})²，再讓最大間隔趨近於零
若這些和在相應概率意義下收斂，其極限就是二次變差[X]_t
它描述單一路徑上的累積變化，不等同於重複結果之間X_t的統計方差
平滑與有限變差路徑會消失
連續有限總變差路徑的二次變差為零，因為小增量的平方比絕對增量之和消失得更快
所以一般可微價格曲線不會在經典鏈式法則中產生二階修正
二次變差提取的是一階移動逐個變小時仍然保留的路徑粗糙度
布朗粗糙度在每個尺度都保留
標準布朗運動在任何非平凡區間上總變差無窮，卻滿足[W]_t = t
直觀上，約有1/Δt個增量，每個增量的平方量級為Δt，所以總和不會消失
這是極限關係，並不表示dW/dt存在，也不表示每個增量平方都逐點等於dt
協變差記錄共同的粗糙運動
二次協變差[X,Y]在細分割上累加乘積ΔX·ΔY
極化恆等式[X,Y] = 1/2([X+Y] - [X] - [Y])把共同變化與各自二次變差連接起來
面對相關布朗驅動時，協變差把瞬時依賴帶入投資組合和多元Itô公式
Itô公式保留二階項
對dX_t = μ_t dt + σ_t dW_t，連續二次變差為[X]_t = ∫_0^t σ_s² ds
隨機增量的平方會累積而不消失，所以Taylor展開保留1/2 f''(X_t)d[X]_t
這項修正產生擴散定價方程，也把隨機微積分與一般微積分區分開來
跳躍會加入自身大小的平方
含跳半鞅的二次變差，包括連續鞅變差與Σ_{s≤t}(ΔX_s)²
即使連續波動率不高，一個大跳躍也可能主導全日已實現的二階運動
當經濟問題關注來源差異時，應區分連續變差、跳躍和有限變差漂移
已實現方差是估計量而非極限本身
高頻已實現方差把日內觀測回報平方後求和，以近似潛在二次變差
抽樣太疏會遺漏運動，太密則放大買賣價反彈、價格離散、異步報價和錯誤數據
比較不同抽樣網格，明確處理跳躍，統一交易時段與回報定義後再解讀為波動率
常見問題
如何簡單理解二次變差？
把大量微小路徑變化平方，並在愈來愈細的時間網格上相加後，最終仍然留下的運動
為何布朗運動的二次變差是t？
長度Δt的增量，其平方量級為Δt，而約t/Δt個這樣的增量會累積為t
二次變差等於波動率嗎？
不等於。擴散模型中它是積分方差，波動率通常指瞬時變化率或標準化後的平方根
跳躍如何影響二次變差？
每次跳躍都貢獻其大小的平方，因此同時包含連續鞅變差和離散跳躍變差
資料來源與延伸閱讀
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