Lee–Mykland 跳躍檢定：識別日內價格跳躍

已實現方差會加總整個交易時段內日內收益的平方。在特定跳躍與取樣假設下，雙冪變差可估算連續變動部分。兩者都概括整個期間，因此本身都不會指出異常大變動何時發生。Lee 和 Mykland 的方法逐段評估收益，將每個候選變動與之前收益所估算的波幅比較。

這個分別有助事件研究、波幅建模，以及描述跳躍的發生時間。在平靜市場，1% 收益可能非常異常；在波幅較大的交易時段，則可能平常。以近期局部波幅標準化，可以反映尺度轉變。此方法原為識別日內跳躍的發生時間和估算其實現幅度而提出，但不會判定變動原因或是否可交易（Lee 與 Mykland，2008）。

原假設針對特定時段內的價格過程：在連續成分符合規則條件下，該段沒有跳躍。它不是說收益等於零。連續價格路徑仍可產生大幅收益，尤其在波幅高時；因此只按變動幅度設門檻並不足夠。

令 \(P_i\) 為時間 \(t_i\) 按固定網格觀察到的價格。第 \(i\) 段的對數收益定義為

\[ r_i=\log(P_i/P_{i-1}). \]

檢定要求價格欄位和網格一致。研究者可用成交價、買賣報價中間價或其他有記錄的代理指標，但轉換代理指標可能同時改變收益和跳躍標籤。須明確處理交易時段開市及收市、競價、停牌和缺失報價。不可把收市至開市收益不作說明地混入一般日內時段。

固定取樣很重要，因為局部尺度和極值門檻都是按指定觀察方式推導。不規則觀察時，先選擇站得住腳的同步或取樣規則，並說明當中捨棄了哪些資訊。公式不會自動處理過時報價、交叉市場、錯誤時間戳或個別記錄錯誤。也不可在未確認對齊前，把不同交易場所或資產價格當作同步資料合併。

這是對觀察到的收益進行檢定，不是對潛在價格進行檢定。原有理論使用高頻半鞅模型，其條件不會自動適用於每一個報價串流或數碼資產交易場所。請記錄資料來源、時區、網格、交易時段和篩選方法，讓其他分析者可重建序列。

在候選時間 \(t_i\)，用 \(r_i\) 之前的收益估算局部方差：

\[ \widehat{\sigma}_i^2 = \frac{1}{K-2} \sum_{j=i-K+2}^{i-1}|r_j|\,|r_{j-1}|, \qquad \widehat{\sigma}_i=\sqrt{\widehat{\sigma}_i^2}. \]

此處 \(K\) 控制移動窗口長度。總和由相鄰絕對收益的乘積組成，並排除候選收益 \(r_i\)。這種雙冪變差形式可減低較早的單次跳躍主導其後時段判斷尺度的情況。已實現波幅文獻解釋高頻收益的總和與乘積如何估算二次變差的不同特徵（Barndorff-Nielsen 與 Shephard，2002）。

這是局部估算，不是整個交易時段的波幅預測。短窗口適應快，但可能不穩定；長窗口較平滑，卻可能遲於波幅變化。原論文的漸近論證令取樣間隔縮短時 \(K\) 增加，同時相對整個期限仍保持短。有限樣本須記錄選擇並檢查敏感度；沒有一個 \(K\) 適用於所有資產、網格和市場狀態。

對估算為零或接近零的情況，也須訂立處理方法。除以極小尺度可能令一個價位變動成為極端統計量。不要暗中以任意下限取代；應檢查原始報價、報告規則，並展示合理替代方案會否改變被標示時段。

局部跳躍統計量為

\[ L_i=\frac{r_i}{\widehat{\sigma}_i}. \]

符號保留觀察收益的方向，絕對值則量度該變動相對之前局部尺度的大小。分母估算使用相鄰絕對收益乘積，但沒有採用常見的雙冪變差標準化常數。在論文的無跳躍漸近條件下，\(L_i\) 約等於 \(Z_i/c\)，其中 \(Z_i\) 為標準常態變量，\(c=E|Z_i|=\sqrt{2/\pi}\)。這對校準門檻十分重要：把 \(L_i\) 當作標準常態統計量會用錯參考分布。

\(|L_i|\) 大只代表候選時段，並非自動得出檢定結果。須按取樣方法、窗口和搜尋時段數目，將它與門檻比較。正值表示觀察到上升收益，負值表示下跌收益。正負號都不會識別經濟成因，亦不能單靠符號區分跳躍、連續變動和資料錯誤。

下圖概念性地比較候選收益與以之前時段估算的局部尺度，並非價格圖或已偵測事件。

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: one sharp return pulse rises above a quiet sequence while a trailing window forms a soft local-volatility envelope; no prices, timestamps, thresholds, or detected events are shown. -->

掃描 \(n\) 個時段時，逐點門檻要重複套用 \(n\) 次，可能單因檢查次數多而產生誤報。Lee–Mykland 按整個期限內絕對統計量的最大值校準。令 \(c=\sqrt{2/\pi}\)，定義

\[ C_n= \frac{\sqrt{2\log n}}{c} - \frac{\log(\pi)+\log(\log n)} {2c\sqrt{2\log n}}, \qquad S_n=\frac{1}{c\sqrt{2\log n}}. \]

在論文的無跳躍漸近條件下，

\[ \frac{\max_{1\le i\le n}|L_i|-C_n}{S_n} \]

具有標準 Gumbel 極限分布，其累積分布函數為 \(F(x)=\exp(-e^{-x})\)。整個交易時段的顯著水平為 \(\alpha\) 時，相應臨界值為

\[ \beta_\alpha=-\log[-\log(1-\alpha)]. \]

當 \((|L_i|-C_n)/S_n>\beta_\alpha\) 時標示該時段。最大值校準涵蓋指定期限內對多個時段的搜尋，但不會自動調整研究者在多項資產、日期、網格或模型選項中重複掃描的情況。額外比較須另行設計和披露。

假設候選時段之前三個收益為 \(-0.40\%\)、\(+0.30\%\) 和 \(-0.20\%\)，並只為簡化算式而設 \(K=4\)。則

\[ \widehat{\sigma}_i^2 = \frac{|0.30||-0.40|+|-0.20||0.30|}{2} = 0.09\;(\%)^2, \qquad \widehat{\sigma}_i=0.30\%. \]

若下一個收益為 \(+1.20\%\)，局部統計量為 \(L_i=1.20/0.30=4\)。這只表示觀察收益是示例局部尺度的四倍，尚未說明檢定會否拒絕。

假設交易時段有 \(n=78\) 個時段，漸近公式得出 \(C_n\approx3.14\) 及 \(S_n\approx0.424\)。整段顯著水平為 1% 時，\(\beta_\alpha\approx4.60\)，所以門檻約為 \(3.14+0.424(4.60)=5.10\)。統計量 4 低於門檻，因此這例在該水平不會標示該時段。數值均為假設，樣本量如此時最大值近似可能較粗略。小型 \(K=4\) 窗口只示範算術，並非建議的估算設定。

這例說明，只說「四個標準差」不足以描述 Lee–Mykland 判定。參考尺度、漸近標準化、窗口、時段數和顯著水平都會影響門檻。報告跳躍數目或事件清單時，應一併列明。

較密網格理論上提高時間分辨率，但也會顯示更多報價雜訊、價格離散性和時間戳差異。較疏網格可平滑部分短暫變動，但可能把跳躍與相鄰連續收益合併，或把多次變動藏在同一時段。因此，網格選擇會同時改變可偵測內容和資料符合假設的程度。

窗口 \(K\) 與網格互相牽連。之前收益太少會令局部雙冪估算不穩；太多則可能混合不同波幅狀態，削弱「局部」的意義。請同時以觀察數目和實際時間報告 \(K\)，說明窗口會否在交易時段邊界重設，並展示採用合理替代選項時事件清單如何變化。未核查前，不要直接採用其他市場、時段長度或觀察頻率的窗口建議。

標準 Lee–Mykland 並非處理市場微觀結構雜訊的通用方案。預平均等考慮雜訊的方法會改變收益或波幅估算，並需要配套推斷；它們不是可直接互換的濾波器（Aït-Sahalia、Jacod 與 Li，2012）。預平均指南和雙尺度波幅指南介紹處理高頻含噪價格的兩種相關方法。

被標示的收益表示，在指定門檻下難以用連續路徑原假設解釋。這不會證實預定公告、交易所故障、強制平倉連鎖或其他成因。應把時間戳與已核實事件資料比對，查看底層成交和報價，並檢查變動是否延續至該時段之後。後續解釋須與檢定結果分開。

此方法亦不同於收市後比較已實現方差與雙冪變差。Lee–Mykland 統計量用來按局部波幅定位時段；每日 variation 差值則在不同假設下估算總跳躍變差。雙冪變差指南和已實現波幅指南介紹這些期間層面的量度。Aït-Sahalia 和 Jacod 的冪變差檢定以不同結構檢驗離散觀察路徑是否存在跳躍。目標及假設不同，因此結果與 Lee–Mykland 時段清單相同或不同，都不是一對一的驗證。

在策略研究中，跳躍標籤是後續研究的輸入，不是買入或賣出指示。回測須考慮信號可被觀察的時間、差價和滑點、延遲、重疊的事件窗口及樣本外評估。訂明損失或風險目標，並與合適基準比較。過往收益被統計標示，不代表可預測下一次事件或能獲利交易。