Realized GARCH 解說：聯合建模回報與已實現波幅

ARCH 和 GARCH 模型根據回報序列推斷時變方差。Engle 提出 ARCH，Bollerslev 其後發展出廣義形式（Engle，1982；Bollerslev，198690063-1)）。回報只是反映該時段波動幅度的含噪訊號：收市至收市回報異常偏小，不代表交易時段平靜；大幅回報亦無法說明價格如何走出這段行情。日內價格可以提供另一種已實現度量，例如已實現方差，帶來更多時段內價格變動的資訊。

Realized GARCH 將該度量納入方差動態。在基本設定中，前一期條件方差和前一期已實現度量都會影響當期條件方差的更新。模型亦為已實現度量本身設定方程。這條額外方程是關鍵：它描述度量與潛在方差及回報衝擊的關係，而不是把度量當成未有解釋的外部輸入。

原論文指出，在其道瓊斯成分股和一隻交易所買賣指數基金的樣本中，相比只使用每日回報的 GARCH，Realized GARCH 的樣本內擬合有所改善。這是特定樣本的結果，並不保證模型在每種資產或時期都能有更佳預測。只用回報的基準模型可參閱 GARCH 指南。

令 rₜ 為時段 t 的回報；若模型包含條件均值，這裏的回報已扣除該均值。令 hₜ 為時段開始時可用資訊 Fₜ₋₁ 條件下 rₜ 的條件方差；令 xₜ 為時段 t 內或期末觀察到的正值已實現度量。例如，xₜ 可以是日內回報平方總和，單位與 hₜ 相同，均為回報平方。

時間次序很重要。hₜ 的預測只使用時段 t 開始前可取得的資訊；觀察到 rₜ 和 xₜ 後，模型才會更新下一期方差預測 hₜ₊₁。不可用 xₜ 來聲稱自己在時段 t 尚未開始前已預測到 hₜ。

Realized GARCH 是回報和波幅代理度量的動態模型。它不同於 MIDAS 回歸：MIDAS 使用有結構的滯後權重函數來連接不同頻率的數據。兩者都可以使用日內資訊，但比較之前要先辨清方程、預測目標和時間次序。

常見的 Realized GARCH(1,1) 模型包含回報方程、方差方程和測量方程：

\[ rₜ = \sqrt{hₜ}\,zₜ \]

\[ \log hₜ = \omega + \beta\log hₜ₋₁ + \gamma\log xₜ₋₁ \]

\[ \log xₜ = \xi + \phi\log hₜ + \tau(zₜ) + uₜ \]

zₜ 是標準化回報創新，uₜ 是測量噪聲，而 τ(zₜ) 允許觀測度量受回報衝擊影響。第一條方程以條件標準差縮放單位方差衝擊。第二條方程使用前一期對數方差和對數已實現度量，更新當期對數方差。第三條方程則把觀測到的對數度量與當期潛在對數方差、回報衝擊及測量創新連繫起來。

對數形式方便在無限制的對數尺度表示正值 hₜ 和 xₜ；將方差預測取指數後便會得到正值。因此，截距 ω 是對數方差方程的截距，並非長期方差本身。在基本模型中，參數會一併估計，不應將個別系數當成完整的持續性指標。

將 t−1 時點的測量方程代入方差更新式，可以看出已實現度量如何回饋至對數方差：

\[ \log hₜ = (\omega + \gamma\xi) + (\beta + \gamma\phi)\log hₜ₋₁ + \gamma\tau(zₜ₋₁) + \gamma uₜ₋₁ \]

對於這個 (1,1) 設定，對數方差的持續性以 β + γφ 概括，而非單看 β。測量關係亦會參與回饋，因為較高的前期方差通常與較高的已實現度量相關，而該度量會進入下一次更新。這項代數推導有助理解估計出的系數；但它並不是所有 Realized GARCH 延伸模型的平穩性證明，推論仍須依據實際估計的模型限制。

Hansen、Huang 和 Shek 在論文介紹此聯合模型的線性及對數線性形式，並展示由三條方程構成的系統（2012 年論文）。確切滯後階數、已實現度量、條件均值和創新假設，應以所估計的設定為準。

測量方程有助說明已實現度量為何會同時隨潛在方差及回報衝擊而變動。一個常見的槓桿函數是：

\[ \tau(zₜ) = \tau₁zₜ + \tau₂(zₜ² - 1) \]

線性項和中心化的二次項可表示回報衝擊與已實現度量之間的不對稱關係。函數形狀由系數決定；單憑公式不能證明負回報會導致未來波幅上升。

論文的基準設置把 zₜ 和 uₜ 建模為兩種不同創新，zₜ 經過標準化，而兩者互相獨立。這是便於分析的統計設置，並不代表每個樣本的市場回報或測量誤差都遵循某種特定分佈。即使沒有把常態性當成事實，估計時仍可以使用高斯準似然。

這條方程亦令 Realized GARCH 有別於 GARCH-X。GARCH-X 可將觀測度量放進方差更新式，卻不指定該度量本身如何演變。Realized GARCH 亦為已實現度量建模，因此在未觀察到未來度量時仍可作多步預測。模型描述的是聯合統計關係，不會把已實現度量變成外在成因。

假設某個已擬合的對數線性模型參數為 ω = −0.7824、β = 0.75、γ = 0.15。在時段 t 結束時，假設當前條件方差 hₜ = 0.0004，觀察到的已實現度量 xₜ = 0.0009。所有數值均為假設，且為正值，並使用相同的每日小數回報方差單位。

使用方差方程更新時段 t+1 的預測：

\[ \begin{aligned} \log hₜ₊₁ &= -0.7824 + 0.75\log(0.0004) + 0.15\log(0.0009) \\ &\approx -7.7024 \\ hₜ₊₁ &= \exp(-7.7024) \approx 0.0004517 \end{aligned} \]

相應的條件標準差為 √0.0004517 ≈ 0.02125，即上述回報時段約 2.13%。已實現度量會透過擬合系數影響下一期方差預測；這項計算不會重新估計任何系數，也不會利用測量方程聲稱 xₜ 等於 hₜ。

這個例子只示範計算。它沒有納入參數不確定性、估計誤差或樣本外觀察值，因此無法說明統計顯著性，也不能說明模型是否勝過基準。

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估計時要對齊回報和已實現度量觀察值。似然或準似然會結合回報方程與測量方程，因此改變創新分佈或相依結構的假設，都可能改變估計參數。研究者應交代估計方法、創新假設、條件均值處理方式、已實現度量和數據清理規則，而不應只列出遞推式卻省略測量模型。

每個時段結束後，模型可以用新觀察到的回報和已實現度量更新狀態，並產生下一期方差預測。進行多步預測時，未來的 x 值尚未知道。完整的 Realized GARCH 設定會為已實現度量建立動態，因此預測要考慮其未來分佈或期望，不可直接代入測試樣本的未來已實現值。

評估目標要與預測相符，例如下一期條件回報方差，或相同區間的已實現度量。目標、代理度量、單位、期限和評估日期都要對齊。樣本內似然比較模型擬合程度，不能取代按時間順序進行的預測測試。

在預測實際可用的時點保存每次預測；重新擬合時只使用當時可取得的資訊，並在共同樣本上與預先選定的基準比較。應在查看結果前選好損失函數，並報告配對損失差和不確定性估計；有需要時亦要考慮序列相依。QLIKE 與平方誤差指南解釋代理度量特性和損失選擇為何會影響比較。

模型的用途取決於輸入度量及其時間區間。以日內價格構建的已實現度量可能遺漏隔夜變動，即使 rₜ 是收市至收市回報亦然。原論文明確容許已實現度量的時間窗口短於回報區間；其測量方程沒有規定 xₜ 必須是 hₜ 的無偏估計。這種彈性不代表窗口不匹配無關緊要：φ 的解讀、預測目標和比較仍取決於區間。

論文提供一個具體例子：以約 6.5 小時交易時段構建的度量，可以配對 24 小時收市至收市回報的條件方差。在這種設定下，作者預期 φ < 1，因為日內度量只涵蓋完整回報區間的一部分。因此，估計出的 φ 取決於度量、交易時段和回報定義，並非可原封不動套用到其他資產或抽樣設計的通用校準常數。

高頻數據亦可能有買賣價反彈、非同步交易、價格離散、過時報價和記錄錯誤。雙尺度已實現波幅指南介紹一種旨在處理部分高頻微觀結構噪聲的估計方法。Hansen 和 Lunde 記錄市場微觀結構噪聲可能會大幅影響已實現方差測量（2006 年論文）。改用另一種代理度量，可能改變模型擬合、預測和槓桿估計。

由於對數線性模型使用 log xₜ，所選度量必須嚴格為正。如果數據可能為零或負值，任何轉換、篩選或設置下限都會改變模型，應交代理由並披露處理方式。檢查已實現度量是否包含跳躍、涵蓋哪個交易時段、如何處理缺失數據，以及其單位是否與回報方差相符。增加日內觀察值不會自動消除測量誤差。

一般 GARCH 使用滯後回報或平方創新，以及滯後方差。Realized GARCH 將已實現度量加入方差動態，並透過與潛在方差及回報衝擊相關的方程為其建模。GARCH-X 通常把新增度量當作外部輸入。MIDAS 回歸使用參數化滯後權重曲線連接不同頻率；GARCH-MIDAS 是相關混合模型，應另外閱讀其方程。這些名稱不能互換。

在模型假設下，它預測的是定義明確的條件方差或已實現度量。它不會預測回報方向，不會證明日內度量導致下一期方差，亦不會證明策略有盈利能力。樣本內似然較佳，不保證未來預測也較好。交易結論需要另行定義訊號，並作扣除成本後的評估，納入買賣差價、費用、市場衝擊、融資和風險限額。

要令報告可重現，應列明資產和樣本、回報定義及條件均值、已實現度量構造及時段、模型方程和滯後階數、創新假設、估計窗口、預測時點和期限、基準、評分損失及不確定性方法。亦應報告結果對合理的已實現度量選擇有多敏感，並披露任何數據剔除或正值調整。