HAR-RV 模型解說：每日、每週及每月波幅預測

已實現波幅異質自迴歸模型通常簡稱 HAR-RV。它利用近期已實現波幅指標在不同期限上的匯總值，預測未來的已實現波幅指標。常見的每日設定使用一個已結束交易時段、五個交易時段的平均值，以及 22 個交易時段的平均值。這些窗口是回歸的輸入；預測下一個交易日的 HAR-RV 仍然是一天期預測。

HAR-RV 可作為解釋已實現波幅持續性的清晰基準。其加法結構容易以線性回歸估算，亦方便與以回報為基礎的模型（例如 GARCH）比較。這是預測設定，並非決定何時入市、持倉大小或資產是否吸引的規則。

Corsi 的原始論文將它描述為不同時間尺度波幅成分的加法級聯。市場參與者的時間跨度不同，是這個構想的出發點；但回歸並不會識別個別交易者，也不能證明特定投資者群組造成了觀察到的持續性。應把每日、每週及每月項目視為過往波幅的統計匯總。

對於已結束的交易時段 \(t\)，一種常見的已實現方差指標是將日內回報平方後相加：

\[ RV_t = \sum_{i=1}^{M} r_{t,i}^{2} \]

其中 \(r_{t,i}\) 是第 \(i\) 個日內區間的回報，\(M\) 是納入計算的區間數。總和的單位是回報平方。 本指南有意在所有 HAR 項目和預測示例中都使用回報平方尺度上的已實現方差。Corsi（2009）的原始 HAR-RV 則使用平方根尺度上的已實現波幅指標。兩種慣例彼此相關，但不可在同一個迴歸中混用。每日、每週、每月輸入以及預測目標必須維持相同尺度。 已實現波幅計算指南介紹相關測量選擇。

抽樣間隔、價格來源、市場時段，以及隔夜回報的處理方式，共同決定 \(RV_t\) 的含義。例如，只將正常交易時段內的日內回報相加，並不會自動包括收市至開市的變動。日內樣本亦可能受報價噪音及其他市場微觀結構特徵影響。Hansen 和 Lunde（2006）研究市場微觀結構噪音對已實現方差測量的影響。Andersen、Bollerslev、Diebold 和 Labys 探討高頻觀察、已實現波幅與較低頻率回報變化之間的關係；他們的框架並不表示各種抽樣規則可以互換。

歷史數據、預測變數和預測目標應採用一致定義。將五分鐘回報改為一分鐘回報，或將正常交易時段改為收市至收市數據，都可能改變所得序列。這不只是格式差異：估算係數和用來評估的預測亦可能改變。

令 \(RV_t^{(d)}=RV_t\) 表示每日指標。一種常見做法是用最近五個已結束每日數值的平均構造每週成分，用最近 22 個數值的平均構造每月成分：

\[ RV_t^{(w)} = \frac{1}{5}\sum_{j=0}^{4}RV_{t-j}, \qquad RV_t^{(m)} = \frac{1}{22}\sum_{j=0}^{21}RV_{t-j} \]

除以窗口長度後，得到窗口內每日平均已實現方差。若改用總和，則代表整個窗口累積的已實現方差。獨立清楚定義的模型可以採用任何一種慣例，但公式、目標和單位必須一致。

這些窗口互相重疊。最新每日觀察亦包括在每週和每月平均值內，而每週窗口的觀察亦屬於每月窗口。因此，預測變數概括的是同一段歷史中彼此相關的部分，並非獨立測量；亦不應把三個係數解讀為三個不同期限各自的因果效果。

五個和 22 個觀察通常指交易時段，而非日曆週和日曆月。市場假期、缺少的交易時段，或不同的期貨交易日曆都需要明確規則。比較不同資產的估算結果前，應記錄觀察日曆及不完整窗口的處理方式。

基本的一步每日 HAR-RV 回歸式為

\[ RV_{t+1}^{(d)} = \beta_0 + \beta_d RV_t^{(d)} + \beta_w RV_t^{(w)} + \beta_m RV_t^{(m)} + \varepsilon_{t+1} \]

左方是下一個已結束交易時段的已實現方差。每個預測變數在時段 \(t\) 結束時已知。截距 \(\beta_0\) 及係數 \(\beta_d,\beta_w,\beta_m\) 根據歷史觀察估算；\(\varepsilon_{t+1}\) 是使用預測變數後剩餘的回歸誤差。

普通最小二乘法選取使指定目標的樣本內預測誤差平方和最小的係數，從而建立精簡的線性基準，無須為每個每日滯後值獨立估算係數。Corsi（2009）提出 HAR-RV 結構，並報告該論文數據和設定下的預測結果。這些結果不能保證其他資產、時期或已實現波幅指標會有相同係數或準確度。

不同論文的符號和設定各異。部分 HAR 規格使用對數、其他已實現波幅估計量、額外滯後值或不同窗口。應說明所選目標和轉換方式，不要假設所有名稱中有「HAR」的模型都使用同一方程。

估算係數後，代入最新的每日、每週和每月數值，即可計算下一個交易時段的點預測。預測時尚未知悉未來回歸誤差，因此公式不包括該項：

\[ \widehat{RV}_{t+1\mid t}^{(d)} = \widehat{\beta}_0 + \widehat{\beta}_d RV_t^{(d)} + \widehat{\beta}_w RV_t^{(w)} + \widehat{\beta}_m RV_t^{(m)} \]

假設一個估算截距為 \(0.10\ \mathrm{bp}^2\)，三個估算係數依次是 \(0.50\)、\(0.30\) 和 \(0.15\)。再假設最新每日指標是 \(4\ \mathrm{bp}^2\)、五日平均是 \(3\ \mathrm{bp}^2\)，而 22 日平均是 \(2\ \mathrm{bp}^2\)，則

\[ 0.10 + 0.50(4) + 0.30(3) + 0.15(2) = 3.30\ \mathrm{bp}^2 \]

這是假設的算術例子，並非市場數據、估算結果或績效聲稱。它是根據指定目標和單位計算下一個時段的預測。開平方後可得同一交易時段以基點表示的波幅；年化則需要另行說明採用的慣例。

若要預測整個星期或月份，不應只是替明日預測改名。可直接估算一個模型，令左方目標為未來窗口內累積或平均的已實現方差；另一種方法是逐步迭代一天期預測，但須清楚說明如何更新未來的每日、每週及每月預測變數。計分前先確定預測期。 <!-- learn:illustration -->

波幅往往在多個滯後期內持續。較長的自迴歸可以表示這種依賴，但需要很多參數。HAR-RV 將過往數據濃縮為少量互相重疊的平均值，用較少係數重現部分類似長期記憶的經驗模式。

「近似」一詞十分重要。Corsi 的論文明確指出 HAR-RV 模型沒有真正的長期記憶特性，同時展示模擬可以重現一些與長期記憶金融回報相關的特徵。因此，HAR-RV 是對部分模式的實用近似，並不會僅因數據依賴關係衰減緩慢就成為分數積分過程。

每日、每週和每月成分亦不是對恰好以這些頻率交易的投資者作直接統計。不同期限的想法啟發了級聯結構，但估算回歸不會分辨投資者類型或意圖，也不能確立因果機制。解讀應限於模型的觀察輸入和預測表現。

較大的價格跳躍可能包含單一總方差指標未能顯示的未來波幅資訊。Corsi、Pirino 和 Reno（2010）以門檻雙冪方法分離連續和非連續變動，並研究跳躍資訊對波幅預測的影響。他們報告的預測改善，尤其是跳躍後的改善，適用於該研究的估計量、數據和實證設計。

考慮跳躍的 HAR 設定可分別納入連續成分和跳躍相關指標，或它們的滯後匯總值。這會增加新選擇：如何識別跳躍、如何估算連續成分，以及跳躍指標在預測時是否可用。「連續」和「跳躍」指的是模型下估計量的成分，不表示分解沒有誤差。

增加項目可能改善某個樣本的預測，亦可能在另一個樣本增加估算噪音。比較跳躍擴展和簡單 HAR-RV 基準時，應使用相同預測時點、期限、目標和資訊集。不要因此推斷每次跳躍都預示波幅上升，或擴展模型在每個市場都會勝出。

HAR-RV 係數取決於用來估算的已實現波幅序列。抽樣頻率、交易時段界線、價格清理和缺少的觀察都可能改變序列。每週和每月預測變數是根據已測量的每日數值求平均，因此亦承襲這些選擇。

應將預測時點與目標區間分開。如果模型在交易時段收市時估算，下一時段目標應與歷史目標採用相同資產、回報慣例、時段涵蓋範圍和單位。如果指標排除隔夜回報，未作調整時不要將預測形容為完整的收市至收市方差。日曆窗口、重疊的多日期限和不同假期規則都需要各自定義。

比較 HAR-RV 和其他模型時也有相同問題。GARCH 的每日條件方差預測和 HAR-RV 的已實現方差預測，必須先對齊目標區間和單位才可比較。MIDAS 回歸提供另一種連接不同頻率觀察的方法，但仍須說明每個預測時點可使用的資訊。

已實現方差不會是負數，但不受限制的線性回歸不會強制係數或預測值非負。某些數據中的普通最小二乘估算可能產生負的樣本外預測。對數設定或受限制估算可以用另一種方式處理正值要求，但會改變模型和係數含義。預測下限亦是建模選擇；應在評估前訂定，而非看到哪個模型勝出後才調整。

應在估算樣本以外評估預測，並保留各預測時點實際可用的數值。對齊代理指標、預測目標、期限、時段涵蓋範圍、單位和共同評估日期。交代預測如何估算或更新，並與明確指定的基準比較。當已實現指標只是有誤差的代理，預期排序取決於代理與目標的關係及損失函數。Patton（2011）說明代理噪音不代表所有比較自動可靠。QLIKE 與平方誤差指南探討這些評估假設。

較低的預測損失只表示模型在所選目標、代理、樣本及損失函數下得分較好。它不能證明模型導致波幅變化、每日預測是交易訊號，或策略在計入執行成本和風險限制後會獲利。