QLIKE與平方誤差：含噪代理變數下的波幅預測評估

波幅模型預測未來回報可能有多分散，而不會預測回報會上升還是下跌。評估前要先界定目標，例如以平方基點表示下一日回報的條件方差。標準差預測、方差預測與日內已實現方差估計彼此相關，但若沒有說明轉換方法和預測期限，就不能互換使用。

這個問題與模型如何產生預測是兩回事。GARCH指南介紹一種根據過往回報更新條件方差的方法。本文從兩個或以上模型已經給出預測開始，探討如何用對實際方差的不完美測量為預測評分。

在目標、評估樣本和損失函數尚未確定前，「最佳預測」沒有單一含義。每種損失函數對預測誤差賦予不同成本，因此同一模型可能在一種損失下排第一，在另一種損失下排第二

設 vₜ 是目標回報不可觀察的條件方差，hₜ 是在該回報出現前根據可用資訊作出的預測，xₜ 則是評估時採用的可觀察代理變數。回報平方是常見的代理變數，但只有在回報的條件平均值為零時，它才是方差的條件不偏代理變數。如果條件平均值不為零，原始回報平方估計的是條件二階矩，而非條件方差；也可以先扣除條件平均值，再用餘下的回報建立代理變數。由日內回報計算的已實現方差，可能提供較多交易時段內走勢的資訊，但它仍然只量度某個時間區間，而且受抽樣方法和價格數據規則影響。

估計並扣除條件平均值，並不會自動消除代理變數偏差。若 mₜ = E[rₜ | Fₜ₋₁]、hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁)，而估計平均值 m̂ₜ 是根據預測起點可用的資訊確定，則 E[(rₜ − m̂ₜ)² | Fₜ₋₁] = hₜ + (mₜ − m̂ₜ)²。因此，可預測的平均值估計誤差會為代理變數增加一個非負項。引用條件無偏結果前，應說明平均值如何估計，以及代理變數針對的是方差還是二階矩。

xₜ 與 hₜ 必須使用相同的資產、回報定義、時間區間、預測期限和單位。如果 xₜ 的單位是 bp²，hₜ 也必須是 bp²；平方誤差損失的單位便是 bp⁴。除非這正是預設的目標，否則不要用省略隔夜區間的已實現指標評估收市至收市的每日條件方差預測。

請為相同的預測起點保留代理變數值和所有模型的預測。如果某個模型在某日沒有預測，應預先訂定共同樣本或有理據的缺失值處理規則。比較不同日期的平均值，可能會把模型表現與各模型面對的市況差異混在一起

對於非負方差代理變數 xₜ 和正方差預測 hₜ，平方誤差損失為

L_MSE(xₜ, hₜ) = (xₜ − hₜ)²

QLIKE損失為

L_QLIKE(xₜ, hₜ) = log(hₜ) + xₜ / hₜ

分數越低越好。當 xₜ 嚴格大於零時，QLIKE亦常寫成等價的比率形式：xₜ/hₜ − log(xₜ/hₜ) − 1。兩個公式只相差一個依賴已觀察代理變數、但不依賴預測的項目，因此在共同樣本上會得出相同排名。只要 hₜ 為正，log(hₜ) 形式在 xₜ 為零時仍有定義。Patton定義這些方差損失，並研究它們在不完美代理變數下的表現（Patton，2011）。

QLIKE對應高斯準似然所隱含的方差預測評分（Hansen與Lunde，2005）。這種關聯不能證明回報服從高斯分佈，低分亦不能驗證模型的分佈假設。平方誤差則量度代理變數和預測值之間絕對差距的平方。關鍵是選擇符合比較目標和代理變數假設的評分規則

平方誤差的單位是方差單位的平方，當代理值和預測相差愈大，分數上升得愈快。因此，少數非常大的代理值可能主導平均分。如果較大的方差絕對誤差應該受到重罰，這種做法可能合適，但結果亦會較受極端觀察影響。

將 xₜ 和 hₜ 同時乘以相同的正單位換算常數 c，會令 log(hₜ) + xₜ/hₜ 增加 log(c)。這個增量對同一代理變數樣本上評分的所有預測都相同，因此排名不變；不過，對數項的絕對值取決於所選單位。QLIKE透過 xₜ/hₜ 反映預測相對代理值的比率，並透過 log(hₜ) 反映 hₜ 的尺度。如果預測遠低於一個很大的代理值，比率項會急升；預測過高也會因 log(hₜ) 增加而付出代價，但在比例誤差相若時升幅較慢。QLIKE並非抗離群值的損失：極端大的代理值仍會推高 xₜ/hₜ。

沒有一種損失適用於所有決策。平方誤差會較着重方差單位下較大的絕對誤差，而QLIKE會以不同方式處理相對誤差。Patton關於代理變數排名穩健性的結果，不代表兩種損失會為模型排出相同次序，也不代表它們不受離群值影響

假設觀察到的方差代理變數為 x = [1, 4] bp²。模型A預測 hᴬ = [1, 1] bp²，模型B預測 hᴮ = [4, 2] bp²。以下是假設數值，目的是展示選擇不同損失函數如何改變排名。

MSE較支持模型A：其平均分為4.5 bp⁴，低於模型B的6.5 bp⁴。QLIKE則較支持模型B：其平均分約為2.165，低於A的2.5。這兩個期間只用來示範計算，數量太少，不足以估算不確定性或證明某個預測較佳，亦不能說明任何交易策略的表現 <!-- learn:illustration -->

波幅代理變數可以帶有噪音，但仍然條件無偏。設 E[xₜ | Fₜ₋₁] = vₜ，而 Fₜ₋₁ 是作出預測時可用的資訊。根據這些資訊建立的預測 hₜ，其平方誤差損失的條件期望為

E[(xₜ − hₜ)² | Fₜ₋₁] = (vₜ − hₜ)² + Var(xₜ | Fₜ₋₁)

方差項不取決於正在評估哪個預測，因此會以相同幅度增加所有預測的期望MSE，並在比較期望損失時互相抵銷。對QLIKE而言，條件無偏會得出

E[log(hₜ) + xₜ/hₜ | Fₜ₋₁] = log(hₜ) + vₜ/hₜ

這與用潛在方差取代代理變數時得到的評分相同。在這些條件下，兩種損失各自都會保留競爭方差預測相對於潛在目標的期望排名。Patton（2011）將此稱為對代理變數噪音的排名穩健性；這是指含噪時期望排名不變，並非能抵抗離群值。

這項結果假設條件資訊集相同、代理變數條件無偏、QLIKE所用預測為正，而且期望損失有限。它不代表MSE與QLIKE會把模型排成相同次序。如前面的兩期例子所示，兩種損失使用相同的含噪觀察值，但會以不同方式衡量預測誤差

期望排名不變，不保證每個觀察樣本的排名都和使用潛在方差時相同。代理變數噪音會增加觀察到的損失變化，亦可能降低預測比較的檢定力。評估期間較短時，即使條件無偏在平均意義上成立，少數偶然偏高或偏低的代理值仍可能改變模型排名。

如果代理變數相對於指定目標有條件偏差，這項保證亦會失效。高頻已實現方差可能受買賣報價跳動、過時或不同步的報價、抽樣頻率，以及遺漏隔夜回報影響。以日內積分方差為目標的代理變數，未必是收市至收市條件方差的無偏量度。已實現波幅計算指南介紹指標構建選擇；雙尺度已實現波幅指南介紹一種旨在處理部分高頻市場微觀結構噪音的估計量。Hansen與Lunde（2006）研究市場微觀結構噪音對已實現方差量度的影響。

此處「穩健」的意思很窄：代理變數條件無偏時，期望排名會保留。它不代表樣本評分會忽略離群值、所有已實現波幅指標都無偏，或目標不匹配時比較仍然可靠。請說明代理變數量度甚麼，以及它在甚麼假設下與 vₜ 相關

對於在同一預測起點確定的兩個預測 hᴬₜ 和 hᴮₜ，期望 MSE 差為 E[L_MSE(xₜ,hᴬₜ) − L_MSE(xₜ,hᴮₜ) | Fₜ₋₁] = (vₜ − hᴬₜ)² − (vₜ − hᴮₜ)²。在相同的代理變數條件下，期望 QLIKE 差為 log(hᴬₜ) + vₜ/hᴬₜ − log(hᴮₜ) − vₜ/hᴮₜ。這些式子說明代理變數排名穩健性消除的是甚麼：代理變數期望評分中的額外雜訊。兩種預測比較仍然不同，因為 MSE 和 QLIKE 對誤差賦予不同代價。

選定評分後，為每個共同預測起點計算配對損失差。設 dₜ = L_A,ₜ − L_B,ₜ，平均值為正代表B的損失較低。Diebold–Mariano檢定利用配對差值的時間序列，評估其期望值是否為零。它不會代你選擇QLIKE或MSE，也不會決定應該關注哪個目標。Diebold–Mariano指南介紹較一般的推論框架。

如果多期預測期限重疊，或評分差值因其他原因存在序列相關，請使用能考慮相依性的標準誤，例如合適的HAC估計。Newey與West（1987）提出正半定的HAC協方差估計量。請報告預測期限、評估起點、損失差的正負方向、協方差方法，以及適用時的核函數和帶寬。檢定得出較低的p值，並不能補救代理變數有偏或與目標不匹配的問題

採用按時間排序的樣本外設計，並保存每個模型在各個預測起點實際會產生的預測。在查看哪個模型得分較佳之前，先固定目標、代理變數構建方法、預測期限、單位、共同樣本和損失函數。記錄估計窗口、重新估計規則、缺失觀察處理方式，以及評估期間是否被反覆用來調整模型。如果同時比較MSE和QLIKE但只報告勝者，請披露這項選擇，不要把結果描述成唯一且預先指定的檢定。

報告各模型的平均損失、配對差值、樣本量、代理變數定義和推論方法。QLIKE要求 hₜ > 0；如要為預測設定下限，應在評估前確定，因為下限可能改變分數。檢查結果對合理的代理變數和抽樣選擇是否敏感，同時指出嘗試多種選擇本身也會引起結果選擇問題。

較低的波幅損失只代表在指定評分和代理變數下的表現。它不能證明某個預測因子導致波幅變化、回報服從常態分佈，或使用該預測的策略在扣除差價、費用、滑價、融資成本並考慮風險限制後仍會賺錢。預測能力和交易結果是兩項不同主張，應分開評估