DCC-GARCH 解說：如何估計資產間隨時間變化的相關性

協方差矩陣不只是長期關係的列表。在某個決策時點，投資者可能需要根據當時可取得的資料，估算每項資產回報的條件方差，以及任意兩項資產之間的條件協方差。如果波動和共同變動隨時間改變，以整段樣本估算的單一矩陣便會把平靜時期、受壓時期和可能的結構轉變平均在一起。

DCC-GARCH 是一種既容許條件相關矩陣隨時間變動、又能保持模型精簡的方法。Robert Engle 於 2002 年提出動態條件相關規格，將單變量波動模型與參數不多的相關性遞迴結合（Engle，2002）。這個方法處理一項實際的擴展問題：資產範圍愈大，完全不受限制的協方差模型所需的參數便愈多。

如果問題是：在容許每條序列的波動各自變動後，條件相依關係會如何變化，這種方法就有用。不過，它不會說明資產為何一起變動。單一序列的時變方差入門，可參閱[波動聚集與 GARCH](/zh-HK/learn/volatility-clustering-garch-explained)；至於外匯貨幣對相關性，以及把它解讀為共同風險承擔時的限制，可參閱[外匯貨幣對相關性指南](/zh-HK/learn/forex-pair-correlation-shared-exposure-returns-limits-explained)。

令 \(r_t\) 為 \(N\) 項資產的回報向量，\(\mu_t\) 為其條件平均值，並以 \(\epsilon_t=r_t-\mu_t\) 表示創新值。DCC 將創新值的條件協方差矩陣分解如下：

\[ H_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal{F}_{t-1})=D_tR_tD_t, \]

其中 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 代表觀察 \(t\) 時點之前已知的資料；\(D_t=\operatorname{diag}(\sigma_{1,t},\ldots,\sigma_{N,t})\) 是包含條件標準差的對角矩陣；\(R_t\) 則是條件相關矩陣。

每個 \(\sigma_{i,t}^2\) 都可用單變量 GARCH 系列方程式建模，例如：

\[ \sigma_{i,t}^{2}=\omega_i+\alpha_i\epsilon_{i,t-1}^{2}+\beta_i\sigma_{i,t-1}^{2}. \]

這個邊際模型回答資產 \(i\) 的創新值幅度如何隨本身的歷史變化，卻不代表它與資產 \(j\) 的相關性亦有改變。反過來說，\(R_t\) 改變本身也不表示任何一項資產的波動正上升。

這項分解之所以重要，是因為協方差結合兩種影響：

\[ H_{ij,t}=\sigma_{i,t}\sigma_{j,t}\rho_{ij,t}. \]

即使 \(\rho_{ij,t}\) 不變，只要一項或兩項資產的邊際波動上升，協方差也可能增加。DCC 嘗試另行估算條件相關性的時變部分。這正是多變量 DCC 與「分別擬合獨立 GARCH，再把原始協方差視為固定值」之間的主要分別。

估算條件平均值和邊際方差後，計算標準化創新值：

\[ z_t=D_t^{-1}\epsilon_t. \]

若邊際模型適合資料，\(z_t\) 每個分量的條件方差應大約為一。不過各分量仍可在同一時間互相相依；相關性更新所用的資料，正是它們共同變動的模式。標準化避免原本波動較大的資產出現大幅原始變動時，就自動被視為比其他資產中幅度相近的標準化變動更有力的相依證據。

實際上，標準化殘差是估算值，並非直接觀察到的事實。平均模型不合適，可能令可預測結構留在 \(\epsilon_t\)；波動模型不合適，則可能令時變幅度留在 \(z_t\)。相關性階段可能吸收這些問題，令 \(R_t\) 失真。厚尾、離群值、日期缺漏、交易時段不同步、公司行動及過時價格，也會影響輸入遞迴的殘差。

Engle 與 Sheppard 說明了一種兩階段方法：先估算單變量 GARCH 模型，再根據其標準化殘差估算相關性參數（Engle 與 Sheppard，2001）。分開擬合邊際模型是 DCC 計算上較方便的原因之一；同時，第二階段的相關性結果，須配合第一階段的規格和輸入序列的實際對齊方式解讀。

標準 DCC 會先更新輔助正定矩陣 \(Q_t\)：

\[ Q_t=(1-a-b)\bar{Q}+a z_{t-1}z_{t-1}^{\top}+bQ_{t-1}. \]

\(\bar Q\) 是標準化創新值的長期矩陣；\(a\) 控制近期共同變動對更新的影響；\(b\) 則控制前一期 \(Q\) 帶來的持續性。在常見的純量 DCC 規格中，若 \(a\)、\(b\) 非負且 \(a+b<1\)，再加上 \(\bar Q\) 和初始值均為正定，通常的遞迴可維持正定。不過，嚴格平穩性和有效推論仍取決於整個模型及其假設。這些限制是所選規格的一部分，並非適用於所有變體的通用保證。

\(Q_t\) 通常本身不是相關矩陣：其對角元素不一定等於一。令 \(S_t=\operatorname{diag}(Q_t)\)，再作標準化：

\[ R_t=S_t^{-1/2}Q_tS_t^{-1/2}. \]

這樣可令對角元素變成一，非對角元素則成為沒有單位的條件相關性。然後用 \(H_t=D_tR_tD_t\) 得到條件協方差。區分 \(Q_t\)、\(R_t\) 和 \(H_t\)，可避免常見的解讀錯誤：遞迴更新輔助相依矩陣，標準化產生相關性，邊際標準差再把相關性轉回各項資產的回報尺度。標準化的作用是 Engle（2002）所述方法的核心。

<!-- learn:illustration --> <!-- 無文字概念插圖：具有不同且不斷變動波動範圍的獨立回報流，匯入一條共同而平滑變化的相依關係帶；這是概念圖，並非市場資料或預測。 -->

常見的兩階段實作會先為每項資產擬合條件平均值及單變量 GARCH 系列方差模型，再用這些模型計算 \(z_t\)，並根據概似或準概似的相關性部分估算 DCC 參數。即使回報並非高斯分布，第一階段仍可能採用高斯概似；在合適的正則條件下，這仍可作準最大概似估算。不過，標準誤和推論必須配合實際估算方法與假設。

與估算完全不受限制的多變量 GARCH 系統相比，分階段估算在計算上較方便，但各階段仍互相影響：邊際參數的不確定性會影響標準化殘差，進而影響第二階段的估算。報告的 \(a\) 或 \(b\) 並非對不變市場常數的直接測量，其解讀取決於樣本、邊際模型、初始值、分布假設，以及相關性動態是否穩定。

長期輸入 \(\bar Q\) 通常按標準化殘差的樣本協方差計算，但具體定義與修正會因程序而異。實作必須說明如何估算 \(\bar Q\)、如何初始化 \(Q_0\)、如何處理缺失觀察值、施加甚麼限制，以及如何計算概似。當 \(a+b\) 接近一、\(\bar Q\) 接近奇異，或資產範圍過大時，數值最佳化可能不穩定。應報告收斂診斷，並測試結果對合理的替代邊際規格和樣本期間是否敏感。

若交易時間不規則，標準 DCC 所需的同步回報輸入，在沒有周詳抽樣設計下可能不合適。處理非同步觀察值可能需要另一種估算方法，可參閱 [Hayashi–Yoshida 協方差指南](/zh-HK/learn/hayashi-yoshida-asynchronous-covariance-estimator-explained)。至於 [Ledoit–Wolf 協方差收縮](/zh-HK/learn/ledoit-wolf-covariance-shrinkage-portfolio-estimation-explained)所述的雜訊協方差目標收縮，亦是另一個步驟，不應與 DCC 的動態相關性遞迴混淆。

考慮兩項標準化創新值，以及一個為了說明而虛構的 DCC 更新。設定 \(a=0.05\)、\(b=0.90\)、\(\bar q_{12}=0.10\)、\(q_{12,t-1}=0.30\)、\(z_{1,t-1}=1.5\)、\(z_{2,t-1}=1.0\)。這些輸入只為示範算式而虛構，並非來自市場資料的估算。非對角元素的更新如下：

\[ q_{12,t}=(1-0.05-0.90)(0.10)+0.05(1.5)(1.0)+0.90(0.30)=0.350. \]

為展示標準化，假設虛構的對角值為 \(\bar q_{11}=\bar q_{22}=1\)，而且 \(q_{11,t-1}=q_{22,t-1}=1\)。同一遞迴會得出：

\[ q_{11,t}=0.05(1)+0.05(1.5^2)+0.90(1)=1.0625,\qquad q_{22,t}=0.05(1)+0.05(1.0^2)+0.90(1)=1. \]

因此，標準化後的相關性為：

\[ \rho_{12,t}=\frac{0.350}{\sqrt{1.0625\cdot1}}\approx0.340. \]

輔助矩陣的非對角元素由 0.30 升至 0.35，但由於 \(Q_t\) 的對角亦有變動，最終報告的相關性約為 0.34。略過標準化、直接把 \(q_{12,t}=0.35\) 稱為相關性並不正確。這個計算只示範一次遞迴更新，無法說明統計顯著性、未來持續性、最佳投資組合權重或交易價值。

標準 DCC 使用的參數較少，因為通常會對所有資產對採用相同的純量反應和持續性參數。資產很多時，這種限制相當實用，但若不同資產對以不同速度調整，限制便可能過強。此外，同樣名為 DCC 的模型可能採用不同參數化方式、限制、估算程序或初始化慣例，因此必須清楚標明實際使用的規格。

Aielli 的 corrected DCC 研究指出，當資產橫截面擴大，傳統 DCC 估算量和相關性參數的解讀可能出現問題，並提出採用修訂遞迴的 cDCC（Aielli，2013）。cDCC 並非標準 DCC 的另一個名稱。擴展至大量資產或希望從結構角度解讀估算係數時，兩者的分別尤其重要。

非對稱廣義 DCC 規格處理另一項限制：正向和負向的標準化衝擊可能對未來相關性造成不同影響。Cappiello、Engle 和 Sheppard 的 AG-DCC 模型容許各序列有其特定的消息影響與平滑參數，亦容許條件相關性出現非對稱（Cappiello、Engle 和 Sheppard，2006）。AG-DCC 比共用純量參數的標準 DCC 遞迴靈活，因此參數數目、限制和解讀亦會改變。未經評估，不應暗中以 AG-DCC 取代標準 DCC，亦不應預設它一定較佳。

配適的 \(R_t\) 描述模型在特定資料頻率、樣本期間、平均值規格、邊際波動模型及 DCC 變體下所隱含的條件相關性。它不會識別具因果關係的溢出效應。經濟下滑時相關性上升，可能由共同消息、資產組成變化、流動性影響、波動模型錯誤設定或其他機制造成；單憑估算值不能分辨。

用於風險衡量時，應把動態協方差預測與合理基準比較，例如滾動樣本協方差或固定相關模型。每個預測起點只使用當時可得的資料，採用相同資產範圍和預測期限，並報告損失函數。如打算用於投資組合，應追蹤權重、集中度、交易周轉、融資和交易成本的後續變化。某個風險模型下估算的相關性較高，可能降低分散投資的效益，但並不代表預測任何一項資產會下跌。

檢查估算相關性是否在有效範圍內、隱含的 \(R_t\) 是否保持正定，以及邊際標準化殘差是否仍有序列相依或時變方差。亦要檢查結果對資產範圍、初始化、離群值、樣本期間和模型變體的敏感度。持續性接近一時，估算可能很慢才對結構轉變作出反應；平滑的遞迴也可能落後於突如其來的狀態轉變。多張資產配對圖或多個候選變體容易導致選擇性解讀，因此應預先說明選擇準則，並保留樣本外比較。

DCC-GARCH 最恰當的理解，是一個精簡的條件協方差模型：邊際方程估算變動中的幅度，依賴遞迴追蹤標準化創新值的共同變動，而標準化則把輔助矩陣轉成相關性。假設明確、預測亦經評估後，配適矩陣可為風險分析提供資訊；但它本身不能證明對沖穩定、解釋衝擊成因，或證明某項策略會有回報。