Ledoit–Wolf 協方差收縮：公式、目標矩陣與投資組合風險

對 \(N\) 項資產的 \(T\) 個回報觀測值而言，樣本協方差矩陣 \(S\) 會用同一段有限歷史資料估計各項資產的變異數，以及每對資產之間的協方差。不同矩陣元素的數量大致隨 \(N^2\) 增長。如果資產數量相對於觀測數並不算少，許多個別協方差估計便可能帶有相當大的樣本噪音。

當投資組合程序需要將矩陣求逆時，這種噪音尤其重要。求逆可能放大估計誤差：估計相關係數即使只輕微改變，優化後的權重也可能大幅波動。對去平均後的常規樣本協方差而言，中心化資料矩陣的秩最多為 \(T-1\)，所以當 \(N\geq T\) 時，\(S\) 會變成奇異矩陣；在奇異前亦可能已經病態。Ledoit 和 Wolf 在有關良態協方差估計的研究中探討了這個高維問題(200400096-4))。

收縮是在有噪音的樣本估計上加進結構，作為協方差輸入的正則化選擇；它不證明資產真正服從目標模型，也不是估計預期回報的方法。樣本協方差特徵值如何影響投資組合風險這個較廣泛的問題，可參閱[特徵值與金融風險指南](/zh-HK/learn/eigenvalues-eigenvectors-financial-risk-explained)。

一種常見的線性形式是

\[ \widehat{\Sigma}_{\mathrm{lin}}=(1-\widehat{\delta})S+\widehat{\delta}F,\qquad 0\leq\widehat{\delta}\leq1, \]

其中 \(S\) 是樣本協方差，\(F\) 是結構化目標矩陣，而 \(\widehat{\delta}\) 是估計的收縮強度。強度為零時，結果就是樣本矩陣；強度為一時，結果就是目標矩陣；介乎兩者之間的數值會形成凸組合。

選擇 \(F\) 代表估計量認為哪些模式足夠穩定、值得保留；收縮強度則表示相對於樣本資訊，應給予該結構多少權重。對指定的目標矩陣和損失函數，Ledoit–Wolf 程序會從資料估計強度，而毋須任意手選混合比例。具體的 plug-in 公式會因目標矩陣和假設而異；不存在一個不受目標影響、可定義所有「Ledoit–Wolf」方法的 \(\widehat{\delta}\)。

最初針對高維單位矩陣目標的結果，是在特定二次損失和漸近條件下漸近最優的凸組合，並非適用於每個樣本或每種目標的普遍保證(Ledoit 和 Wolf，200400096-4))。因此，描述估計量時，應一併說明損失函數和目標矩陣。

幾種相關估計量採用相同的混合概念，但編入了不同的協方差結構。

• 單指數目標： 市場因素解釋共同變動，其餘結構由模型處理。Ledoit 和 Wolf 提出，對樣本協方差和單指數協方差作最優加權組合，用來估計股票回報的協方差(200300007-0))。
• 縮放單位矩陣目標： 對角線上是共同的變異數水平，非對角線則為零。這會把特徵值拉向共同中心，並可能改善條件性；與常相關目標相比，它施加更強的等變異數、零協方差結構假設。
• 常相關目標： 保留每項資產的樣本變異數，並以單一平均相關係數取代各對資產的相關係數。它容許各項資產的波幅不同，同時簡化依存結構。2004 年的實務文章介紹了向此目標收縮的方法(Ledoit 和 Wolf，2004)。

不應把這些版本一概稱為「Ledoit–Wolf 會把所有相關係數收縮至零」。視乎 \(F\) 而定，目標可以保留共同因素協方差、把特徵值拉向平均值，或把成對相關係數推向橫截面平均值。在[非同步協方差流程](/zh-HK/learn/hayashi-yoshida-asynchronous-covariance-estimator-explained)中先彙總成對估計，再進行協方差正則化，也是另一項獨立的模型選擇。

令 \(S_{ii}\) 為資產 \(i\) 的樣本變異數，\(s_i=\sqrt{S_{ii}}\)。對 \(N\) 項資產，先計算樣本相關係數 \(\widehat{\rho}_{ij}=S_{ij}/(s_is_j)\)，再對不重複的非對角相關係數取平均：

\[ \bar{\rho}=\frac{2}{N(N-1)}\sum_{i<j}\widehat{\rho}_{ij}. \]

常相關目標的定義是

\[ F_{ii}=S_{ii},\qquad F_{ij}=\bar{\rho}\,s_is_j\quad(i\ne j)。 \]

因此，目標矩陣會保留對角線上的樣本變異數，並為每對資產設定相同的相關係數 \(\bar{\rho}\)。最終協方差估計會把此目標與原本的樣本矩陣混合；它不會把所有波幅改成同一數值。此目標的構造及其收縮強度有別於單位矩陣目標估計量；作者的實作亦指出，這個目標會保留樣本變異數並設定共同相關係數(參考實作)。

<!-- learn:illustration --> <!-- 無文字概念插圖：三個對稱 3×3 協方差矩陣保留相同的對角線格子，同時令不同的樣本非對角關係逐步移向同一個常相關目標；並非資料或估計結果。 -->

假設一個以百分點平方為單位的樣本協方差矩陣如下。這只是虛構例子：

\[ S=\begin{bmatrix} 4&3&-2\\ 3&9&6\\ -2&6&16 \end{bmatrix}\%^{2}。 \]

樣本標準差分別為 \(2\%\)、\(3\%\) 和 \(4\%\)。成對相關係數為 \(3/(2\cdot3)=0.50\)、\(-2/(2\cdot4)=-0.25\) 和 \(6/(3\cdot4)=0.50\)，其平均值為

\[ \bar{\rho}=(0.50-0.25+0.50)/3=0.25。 \]

由此得到的目標矩陣是

\[ F=\begin{bmatrix} 4&1.5&2\\ 1.5&9&3\\ 2&3&16 \end{bmatrix}\%^{2}。 \]

純粹為了示範計算，取 \(\delta=0.40\)。這是教學用數值，並非從這些虛構觀測值估計出的 Ledoit–Wolf 強度：

\[ \widehat{\Sigma}=0.60S+0.40F= \begin{bmatrix} 4&2.4&-0.4\\ 2.4&9&4.8\\ -0.4&4.8&16 \end{bmatrix}\%^{2}。 \]

對角線仍然是 \(4,9,16\)。\((1,3)\) 位置的協方差由 \(-2\) 移向目標值 \(2\)，所以收縮不代表每項協方差都向零移動。這裏展示的兩個矩陣均為半正定矩陣，因此其凸組合亦為半正定矩陣。這個假設例子只展示計算，並非建議的目標矩陣或觀察到的市場關係。

對等權重 \(w=(1/3,1/3,1/3)^\top\)，模型變異數是 \(w^\top\Sigma w\)。上面的樣本矩陣九個元素之和為 \(43\)，所以

\[ w^\top S w=43/9\approx4.7778\ \%^{2}。 \]

示範用收縮矩陣的元素總和為 \(42.6\)，因此

\[ w^\top\widehat{\Sigma}w=42.6/9\approx4.7333\ \%^{2}。 \]

這個小幅差異只是更改協方差輸入後的機械計算結果，並不證明收縮估計能更準確預測已實現變異數。最小變異數優化器亦可能產生不同權重，因為它會用到協方差數值，而且往往會用其反矩陣。在合適情況下，收縮可以降低輸入對樣本噪音的敏感度，但仍會改變風險承擔和換手率。

對風險平價投資組合而言，協方差不只影響整體變異數，還會影響各項資產的風險貢獻；詳見[等風險貢獻指南](/zh-HK/learn/risk-parity-equal-risk-contribution-portfolio-explained)。如果其後像[波幅目標倉位管理](/zh-HK/learn/volatility-targeting-position-sizing-quant-trading-explained)那樣用風險估計調整倉位，仍須另外處理目標時期，並區分已實現值和預測值。

線性收縮用一個純量強度，將整個樣本矩陣與所選目標混合。若採用單位矩陣目標，可從特徵值角度理解：樣本特徵值會被拉向共同中心，同時保留樣本特徵向量。這可以穩定含噪頻譜，但個別特徵值可移動的幅度受同一混合權重限制。

非線性收縮會逐一轉換樣本特徵值；在旋轉等變估計量中，通常會保留樣本特徵向量。Ledoit 和 Wolf 的 2012 年論文提出以非線性特徵值轉換估計高維協方差(2012)。兩人的 2017 年投資組合選擇研究則探討針對該目標調整的估計量(2017)。這些方法並非上述純量線性混合，不應混為一談。

更靈活的估計量可以在其假設下更仔細地配合協方差結構，但這不代表它在每個資產範圍或樣本視窗中都自動較適合。應比較具體估計量、假設、計算量和樣本外表現。特徵值轉換也不是對未來相關性狀態的預測。

收縮透過加入結構降低變異，但該結構可能有誤。單指數目標可能漏掉行業或風格關係；常相關目標可能漏掉關聯群組；縮放單位矩陣可能壓掉真實協方差。市場狀態轉變、因素風險承擔變化或不同步觀測，都可能令以某段歷史視窗建立的目標無法準確描述下一段時期。此方法不會令回報觀測變成獨立或平穩序列。

半正定性的說法有條件限制。若 \(S\) 和 \(F\) 均為半正定，且 \(0\leq\delta\leq1\)，兩者的凸組合亦為半正定。但這本身不保證嚴格正定：目標可能有零特徵值，或目標權重為零。若按每對資產各自刪除缺失值，而且採用不同日期，樣本矩陣 \(S\) 本身亦可能不是半正定；除非修正或替換該輸入，否則凸性論證便不適用。

應交代回報定義、取樣頻率、觀測視窗、缺失資料規則、平均值處理方式、目標矩陣和收縮強度估計方法。在合適情況下，應按共同觀測方案整理所有資產。不要只因為某個目標在同一批評估資料上有最吸引的回測結果，就選用它；選擇目標和設計投資組合本身都是研究決策。

實用的評估會先固定資產範圍、回報時期、再平衡規則及資訊截止時間，再於相同訓練視窗比較樣本矩陣、所選收縮估計量和合適基準。可用其後已實現的量度為協方差預測評分，或在保留時段評估投資組合預測。應報告損失函數，以及它如何處理變異數與協方差誤差。按一種損失計算的樣本內矩陣誤差較低，不代表按另一目標評估時，未來投資組合風險估計亦會較好。

用於投資組合時，也要報告它對權重、集中度、換手率、限制條件和估算交易成本的影響。協方差矩陣只是決策輸入之一；預期回報、融資、風險限制和執行假設都可能改變最終投資組合。條件數較低是矩陣的性質，不是已實現回報或風險的保證。

矩陣估計損失和投資組合決策損失不能互換。把矩陣各元素的平方誤差加總，會較平均地衡量各資產對；而 \(w^\top\Sigma w\) 則按指定投資組合的風險承擔，為變異數和協方差項賦予不同權重。應說明研究評估的是矩陣本身的重構，還是某個特定持倉的風險預測，再選擇和披露相應準則。為某一目標選出的收縮強度，不會自動成為另一目標的最優值。

評估必須符合時間順序。每個預測日期估計收縮強度、選擇資產範圍及調校其他參數時，只能使用該日或之前已取得的資訊。若先用完整樣本估計強度，再為較早時段評分，選擇過程便會洩漏未來資訊。在滾動評估中，應在每個起點只使用當時已有的回報重新計算估計量，記錄視窗長度和再平衡間隔，並交代已實現協方差代理是否與預測時期重疊或重複使用了回報資料。

最穩妥的解讀有明確界限：Ledoit–Wolf 方法提供了按資料把有噪音的樣本協方差，與指定目標或轉換結合的方法。結果是否有用，取決於目標、取樣假設和評估方式是否符合預定的風險問題。這是協方差結構的估計，不是獨立交易訊號，也不承諾超額表現。