風險平價：等風險貢獻投資組合

投資組合即使平均分配資金，波幅仍可能集中在一兩項資產上。高波幅資產的10%變動，比同等規模的穩定資產持倉影響更大；資產之間的共同變動，也會改變各持倉為總風險帶來多少增量。風險平價把配置問題由「每項持倉分配多少資金？」改為「所選投資組合風險應由每個組成部分分擔多少？」

風險平價泛指一系列風險預算方法。風險預算是組成部分\(i\)的目標比例\((b_i)\)，所有預算合計為1。對有\(N\)個組成部分的投資組合而言，等風險貢獻是\(b_i=1/N\)這個特例。亦可向不同資產類別或因素分配不同比例。Maillard、Roncalli和Teïletche分析等風險貢獻投資組合，並將之視為等資金及最小變異數配置的替代方案（他們2010年的論文）。

標準定義的「風險」是投資組合估計回報波幅。這項選擇需要明確說明，並非唯一通用定義。以波幅為基礎的ERC，並不等同均衡預期短缺、回撤、流動性風險或風險因素曝險的投資組合。稱某個組合為風險平價前，應說明風險量度及預算分配的組成部分。

風險平價不代表投資組合沒有風險，也不代表所有持倉權重相同。它是在估計輸入和限制下，把所選風險量度分配到各組成部分的規則。單靠這條規則，無法判斷投資組合的預期回報是否足以補償風險。

設\(w\)為投資組合權重向量，\(\Sigma\)為共同時間範圍內回報的協方差矩陣。採用波幅風險平價時，估計投資組合波幅為：

\[ \sigma_p=\sqrt{w^{\top}\Sigma w} \]

資產\(i\)的邊際風險貢獻（MRC），量度該資產權重略微增加時投資組合波幅如何改變：

\[ \mathrm{MRC}_i=\frac{\partial \sigma_p}{\partial w_i}=\frac{(\Sigma w)_i}{\sigma_p} \]

組成部分風險貢獻（RC）則把邊際影響乘以資產權重：

\[ \mathrm{RC}_i=w_i\,\mathrm{MRC}_i=\frac{w_i(\Sigma w)_i}{\sigma_p} \]

對這種一次齊次風險量度，Euler分解得出\(\sum_i \mathrm{RC}_i=\sigma_p\)。因此，組成部分的帶符號風險比例是\(\mathrm{RC}_i/\sigma_p\)，所有比例合計為1。等風險貢獻的目標是每個組成部分均滿足\(b_i=1/N\)，令\(\mathrm{RC}_i=b_i\sigma_p\)。若貢獻非負，每項就是投資組合波幅的一般比例。即使持有正數的長倉，具強大分散效果的持倉也可能有負貢獻；短倉亦可能如此。在這種情況下，該貢獻會抵銷其他組成部分的風險，不應獨立解讀為一般百分比份額。

協方差項很重要。\((\Sigma w)\)描述資產(i)與整個加權投資組合的共同變動，而非只看資產本身的變異數。兩項資產的波幅相同，但其中一項若更能分散其餘持倉，風險貢獻仍會不同。只看各資產的歷史波幅，會忽略這種互動。若要了解另一種隨時間調整總曝險的規則，請參閱波幅目標策略指南。

假設有三項假設資產，年化波幅分別為10%、20%和30%。假設它們的回報互不相關，因此協方差矩陣為對角矩陣。這些數值只是用來展示計算，並非真實證券的估算值。要比較計算結果，各資產的量度期間必須相同。

等權配置會向每項資產分配三分之一資金。投資組合變異數為\((0.01+0.04+0.09)/9\approx0.01556\)，估計波幅約為12.47%。在互不相關的假設下，每項資產佔投資組合變異數的比例，也就是它對波幅的貢獻比例，與\(w_i^2\sigma_i^2\)成正比。風險比例依次為\(1/14\approx7.14\%\)、\(4/14\approx28.57\%\)和\(9/14\approx64.29\%\)。等金額配置令波幅最高的資產承擔近三分之二的估計投資組合風險。

對互不相關的資產，令\((w_i\sigma_i)\)相同，便可使其平方貢獻相同。把反波幅權重正規化後，結果如下：

\[ w_i=\frac{1/\sigma_i}{\sum_{j=1}^{3}1/\sigma_j} \qquad\Longrightarrow\qquad (w_1,w_2,w_3)=\left(\frac{6}{11},\frac{3}{11},\frac{2}{11}\right) \]

資金權重約為54.55%、27.27%和18.18%，但每項資產對估計投資組合波幅的貢獻都是三分之一。在這些假設下，ERC投資組合波幅約為9.45%。波幅較低的資產得到最大的資金權重，但不會因此主導投資組合風險。

<!-- Illustration placement: after this section; text-free conceptual comparison of equal capital slices with uneven risk streams versus unequal capital slices with balanced risk streams across three abstract asset groups. No labels, axes, or values. -->

這個反波幅捷徑並非適用於任意協方差矩陣的一般解。這個例子沒有資產之間的協方差，因此每項資產只貢獻其本身的加權變異數。存在相關性時，邊際風險是\(((\Sigma w)_i/\sigma_p)\)，ERC權重必須配合整個矩陣調整。兩項資產的情況，以及某些高度對稱的協方差結構，反波幅正規化規則也有封閉形式；一般多資產投資組合則沒有。

假設兩項資產的獨立波幅相同。如果它們彼此高度相關，而第三項資產與兩者的相關性較低，前兩項可能像一個集中的風險來源。等資金權重把它們視為不同持倉，但考慮協方差的ERC會透過\((\Sigma w)\)計入合併曝險。因此，要精確達到風險預算，權重可能不同於等權配置和按獨立波幅倒數配置。

配置的單位同樣重要。為三個主要資產類別設定相同預算，與為類別內持有的每隻ETF或每份期貨合約設定相同預算並不一樣。如果一個類別由十隻高度相關的證券代表，另一個類別只有一種工具，按每隻證券分配一份預算，就令第一個類別得到十倍的份額。組成部分可以是資產、資產類別、投資組合分層或系統性因素。Roncalli和Weisang區分資產之間的風險平價，以及共同與剩餘風險因素的配置（他們的風險因素論文）；因素模型指南介紹因素曝險。

選擇風險量度也會改變結果。波幅對正負偏差採取對稱處理，但投資者可能更關注損失。以預期短缺為基礎的風險預算使用尾部損失量度，依賴不同的分布和情境假設。按近期標準差取得平衡的投資組合，仍可能集中於協方差估算中很少出現的共同崩跌情境。提到「風險平衡」時，應說明風險量度、期間、組成部分和所用資料。VaR與預期短缺指南說明這些尾部量度的不同之處。

若所選風險量度\(R(w)\)對投資組合權重可微，而且具有一次齊次性，一般組成部分貢獻為\((\mathrm{RC}_i=w_i\,\partial R/\partial w_i)\)。風險預算投資組合尋求\((\mathrm{RC}_i=b_iR(w))\)，其中\((b_i>0)\)且\((\sum_i b_i=1)\)。所有\((b_i=1/N)\)時就是ERC。若經濟任務刻意要求某些組成部分承擔較多或較少風險，管理者亦可採用不同預算。

波幅型ERC由最佳化器使用估計變異數和相關性，求解這組非線性關係。協方差估算可採用固定歷史視窗、加權估計量或結構化模型。回看期和更新頻率都重要：視窗較短，反應較快但權重可能跳動；視窗較長，結果較平滑但可能滯後於結構變化。若以短歷史估算許多資產，樣本相關性可能有雜訊，所以部分實作會正規化或收縮協方差矩陣。這些是模型選擇，並非「風險平價」一詞保證的特性。

估計亦必須配合實際工具。使用一致的回報間隔、貨幣、公司行動處理方式和價格慣例。期貨投資組合需要把合約轉換為可比較的名義本金或風險曝險；持有已對沖和未對沖外幣資產時，必須明確處理貨幣風險。陳舊報價和不一致的交易日曆，即使最佳化過程解得正確，也會扭曲量度到的協方差。

限制會改變可達到的結果。只做多規則、權重上限、槓桿上限、流動性上限、最低交易量和融資可用性，都可能令目標貢獻無法準確達到。若限制生效，應報告實際達到的風險比例，而不是把數值目標稱為投資組合的實際配置。再平衡門檻和交易成本也很重要：每次估計後都作出數學上精確的更新，可能增加換手，卻未必可靠改善協方差輸入。

等權配置選擇\((w_i=1/N)\)這類資金權重，其風險比例可能很不平均。ERC為了達到風險比例目標而選擇相對權重，因此權重通常不相同。最小變異數配置則在指定限制下最小化\((w^{\top}\Sigma w)\)。它不一定會平均各組成部分的風險；若估計協方差矩陣偏向少數資產，權重可能集中於那些資產。Markowitz最初的投資組合選擇框架把預期回報和協方差視為有效投資組合選擇的核心（Markowitz，1952）；基本風險預算針對不同目標，不需要預期回報向量。

波幅目標策略回答另一個問題：投資組合在某個時間應承擔多少總曝險？常見做法是用\(g_t=\sigma^*/\hat\sigma_{p,t}\)調整基礎配置，其中\(\sigma^*\)是所選目標，\(\hat\sigma_{p,t}\)是以相同單位和期間估算的目前波幅。如果套用共同的正數乘數，總風險會改變，但各組成部分的相對風險比例會維持不變。風險平價設定各組成部分的相對比例；波幅目標策略則隨時間調整曝險。兩項規則可以並用。Moreira和Muir的波幅管理投資組合研究另行探討曝險隨時間變化的問題；後續研究也評估波幅管理策略的表現（Cederburg等人）。這些不是與ERC相同的配置規則。

風險平價也不同於根據預期回報預測作出的配置。[Kelly準則指南](/hk/learn/kelly-criterion-position-sizing-trading-explained)討論如何按特定目標，利用估計回報和風險設定持倉規模；ERC則以所選風險模型分配預算，不會按預期回報為資產排序。兩種方法都不能消除估計不確定性，權重規則也不代表推薦某項資產。

ERC說明所選風險量度如何在投資組合內分配，卻不會說明各組成部分預期帶來甚麼回報，也不會決定投資者應接受多少總波幅。把較多資金分配給低波幅資產，仍可能令總波幅低於政策目標。增加規模可能需要槓桿、衍生工具或融資，並帶來簡單協方差計算沒有包括的抵押品、基差、流動性、對手方和資金風險。風險平價不一定需要槓桿，但必須另外考慮整個投資組合的曝險決定。

估計風險比例取決於資料視窗和模型。市場受壓時相關性可能上升，波幅估計可能追不上急劇變動，過往協方差矩陣亦無法描述所有未來共同損失。事前比例相同，不代表每個期間的實際損失相同。應檢視各時期的貢獻、對協方差假設進行壓力測試，並以估計樣本中沒有或罕見的情境檢查投資組合。

風險平價亦不會自動提升回報。由於基本方法不納入預期回報，可能大量配置到估計風險低、但前瞻回報欠吸引的資產。Asness、Frazzini和Pedersen討論槓桿厭惡作為風險平價的一種可能經濟理據，並在其研究範圍內提供證據（他們2012年的論文）；這不是普遍解釋，也不保證未來跑贏大市。應以固定的樣本外評估設計和實際淨成本，將任何建議投資組合與合適基準比較。

可重現的風險平價說明應列出組成部分、風險量度、目標預算、協方差估計方法、回看期、回報期間、再平衡時間、貨幣慣例和限制。資金權重和組成部分風險比例都要展示；兩者不能互相推算。如果限制令目標比例無法達到，應說明實際達到的數值及生效的限制。

如要實際交易，亦應報告槓桿、抵押品或融資、換手、執行假設和成本。估計風險與實際風險應分開衡量，因為事前風險預算是模型輸出，事後回報路徑則是觀察結果。總波幅目標要與相對風險預算分開，不要從平衡貢獻推論預期盈利。

風險平價有助顯示估計投資組合風險的集中情況，並制定透明的配置規則。但它是否有用，仍取決於所選組成部分、風險量度、協方差估算和實際執行。它不會令不同資產變得同樣安全、不會消除回撤、不會找出最佳回報預測，也不保證底層關係改變時投資組合仍具韌性。