CAViaR 解說：條件自回歸 Value at Risk

令 \(L_t=-r_t\) 表示組合損失，因此損失為正、回報為負。對於置信水平 \(\alpha\)，單期 VaR 預測是條件上分位數： \[ v_t^\alpha=Q_\alpha(L_t\mid\mathcal F_{t-1}), \] 其中 \(\mathcal F_{t-1}\) 表示觀察到 \(t\) 期損失之前可獲得的資訊。若 \(\alpha=0.99\)，在條件分位數模型設定正確時，未來損失中大約有 \(1-\alpha=1\%\) 會超過這一閾值。實際損失超過 VaR 的幅度沒有上限；VaR 不是最大損失限額。

CAViaR 是 Conditional Autoregressive Value at Risk 的縮寫，用遞歸關係規定這個分位數如何隨時間變化。它不先估計完整的條件分布、再從尾部取出一個點，而是直接建模這個點。Engle 和 Manganelli 提出了這一類模型，並使用分位數回歸估計參數（他們 2004 年的論文）。選擇的分位數水平很重要：分別估計的 95% 和 99% 模型可能具有不同動態，而且任何一個模型都不能描述整個尾部。

一般的一步模型可以寫成 \[ v_t^\alpha=f(v_{t-1}^\alpha,L_{t-1},X_{t-1};\beta), \] 其中 \(X_{t-1}\) 表示其他允許使用的預測變量，\(\beta\) 是待估參數向量。滯後分位數讓預測保留過去的狀態；滯後損失或其他預測變量則讓新資訊能夠推動閾值變化。它和波動率遞歸模型相似之處在於都利用過去狀態，但這裡更新的是分位數，而不是條件方差。

例如，對稱絕對值（SAV）設定為 \[ v_t^\alpha=\beta_0+\beta_1v_{t-1}^\alpha+\beta_2|L_{t-1}|. \] 該形式會對前期變動幅度作出反應，但絕對值會讓回報和損失受到對稱處理。自回歸項使衝擊在後續時期繼續影響預測；隨著新的輸入發生變化，閾值可能逐步回落。持續性需要估計和檢驗；一條平滑的預測曲線並不能說明分位數已經校准。

CAViaR 還有其他形式，例如根據前一期觀察是否越過前一期閾值進行調整的自適應模型，以及包含類似方差遞歸的間接 GARCH 形式。這些是不同的模型設定，不能當作可互換的名稱。函數形式決定哪些歷史資訊能夠改變分位數，以及模型能表達何種反應。

為了讓下行和上行觀察對下一期損失分位數產生不同影響，定義 \(L^+=\max(L,0)\) 和 \(L^-=\max(-L,0)\)。一種非對稱斜率形式為 \[ v_t^\alpha=\beta_0+\beta_1v_{t-1}^\alpha+\beta_2L_{t-1}^{+}+\beta_3L_{t-1}^{-}. \] 正的組合損失通過 \(L^+\) 進入模型；回報則通過 \(L^-\) 進入。兩個估計斜率不必相同。如果模型改為針對回報和回報的下分位數，而不是正值損失來設定，符號約定也會變化。因此，研究或實現應明確說明因變量，以及正部和負部的定義。

這種靈活性並不能證明市場存在非對稱槓桿效應。它只允許所選條件分位數在給定遞歸形式和樣本下，對兩種分支作出不同反應。系數需要通過估計獲得，並不是已知常數；系數符號和大小取決於變量單位和參數化方式。應將該形式與對稱基準比較，並在估計樣本之外評估兩者。

<!-- Illustration placement: after section 3; text-free conceptual view of a conditional loss-quantile ribbon moving over time, responding more after a large loss than after an upside move, with a few conceptual threshold crossings. No axes, labels, values, or market data. -->

對於候選參數 \(\beta\)，先生成完整的遞歸分位數路徑 \(v_t^\alpha(\beta)\)，然後最小化分位數損失，也稱 check loss： \[ \widehat\beta=\arg\min_\beta\sum_{t=1}^{T}\rho_\alpha\!\left(L_t-v_t^\alpha(\beta)\right), \qquad \rho_\alpha(u)=u\left(\alpha-\mathbf 1\{u<0\}\right). \] 對於損失的上分位數，低估時 \(u>0\)，權重為 \(\alpha\)；高估時 \(u<0\)，權重為 \(1-\alpha\)。當 \(\alpha=0.99\) 時，這個損失函數會讓漏報大額損失比多留出同等幅度的緩衝代價更高。它不是平方誤差損失，也不會讓系數以擬合條件均值為目標。

這是 Koenker 和 Bassett 提出的分位數回歸思想（1978 年論文），此處應用於遞歸生成的分位數路徑。在線性分位數回歸中，目標函數具有有用的凸性結構；而 CAViaR 的遞歸非線性形式可能對起始值和局部極小值敏感。實際估計應記錄目標函數、參數限制、優化流程、收斂檢查和不同起始值的結果。普通最小二乘輸出不能替代分位數回歸推斷。

遞歸的第一個值 \(v_0^\alpha\) 必須給定或估計。一種透明做法是，使用一個在評估期開始之前結束的預樣本窗口，計算其中的經驗損失上分位數。也可以聯合估計初始值，或使用有明確說明的預熱期。無論採用哪種規則，都應一致地用於各候選模型，並披露用於初始化遞歸的觀察數量。如果滯後分位數項具有較強持續性，初始值可能影響後續許多期的預測。

即使展示出的方程看起來簡單，遞歸分位數模型對參數也可能是非線性的。不同起始向量可能收斂到不同局部解；優化器報告收斂，只表示它滿足了數值停止條件。必要時應嘗試多個合理起始值，並檢查生成的分位數路徑。還要區分數值約束（例如要求損失閾值非負）和經濟事實。不存在一個能保證所有 CAViaR 設定穩定的統一系數界限。穩定條件取決於模型形式、識別和輸入過程的特性；原論文中的漸近結果也依賴明確假設，並排除了爆炸情形。

不確定性同樣重要。尾部觀察很少，尤其在 99% 水平下；目標分位數附近的條件密度會影響估計精度。非線性遞歸分位數參數的標準誤需要採用適用於該問題的方法，例如合適的漸近估計或精心設計的 bootstrap。不要因為擬合曲線看起來精確，就認定尾部風險已經被精確掌握。

在 \(t-1\) 的預測時點，使用截至當時可得的回報和協變量估計參數並生成 \(v_t^\alpha\)。等該期結束後，再將預測與 \(L_t\) 比較。如果模型使用滾動或擴展窗口重新估計，每個窗口都必須在所聲明的預測時點截止。用 \(L_t\) 構造 \(v_t^\alpha\)，或使用當時尚未發佈、後來被修訂的數據，都會把未來資訊洩漏到預測中。

預測目標應與實際組合和期限一致。固定權重組合的日 VaR 並不自動等於日內持倉變化賬戶的 VaR；單日分位數也不是多日風險預測。應報告回報構造方式、計價貨幣、期限、市場收盤時點、組合再平衡規則，以及每個預測變量何時可用。變量轉換、公司行動、陳舊價格和缺失交易日都會改變資訊集和分位數動態。

常見遞歸形式自然適用於一步預測，因為 \(v_t\) 使用已觀察到的 \(L_{t-1}\)。多步預測時，未來損失尚不可見。如果遞歸時填入後來實際發生的未來損失，就構成前視偏差。多期 VaR 需要明確處理未知未來路徑的程序，例如模擬或另行指定的多期限模型，並應單獨評估其中的假設。

假設一個假設性的 99% 日損失 VaR 使用上述非對稱斜率遞歸。損失和 \(v\) 以百分點計量；用於演示、並非估計所得的參數為 \(\beta_0=0.10\)、\(\beta_1=0.80\)、\(\beta_2=0.35\) 和 \(\beta_3=0.10\)。若上一期預測為 \(2.00\%\)，而組合昨日損失為 \(3.00\%\)，則 \[ v_t^{0.99}=0.10+0.80(2.00)+0.35(3.00)+0.10(0)=2.75\%. \] 在這個例子中，較大的損失會提高今日閾值。若昨日組合不是虧損而是獲利 \(3.00\%\)，則 \(L_{t-1}=-3.00\%\)，另一分支給出 \[ v_t^{0.99}=0.10+0.80(2.00)+0.35(0)+0.10(3.00)=2.00\%. \] 這些系數僅用於說明遞歸計算；不同樣本或參數化可能產生不同反應。

如果今日實際損失為 \(3.20\%\)，它超過 \(2.75\%\) 的預測，因此例外指標為 1。單次命中不能證明模型表現不佳，某一天沒有命中也不能驗證模型。如果條件校准正確，給定預測時點資訊後，例外指標的條件均值應為 \(1-\alpha\)。在長期樣本中，考慮抽樣波動後，其平均值應接近這一比例。

VaR 是一種風險量度，表示給定概率和期限下的條件損失分位數。CAViaR 是預測這個量度的一種方法。Expected Shortfall 回答的是另一個問題：按照相應定義，選定尾部中超過 VaR 的平均損失是多少。單獨一條 CAViaR 分位數路徑並不能確定這個尾部均值，也不能確定閾值之外損失的分布形狀。[VaR 與 Expected Shortfall 指南](/zh-HK/learn/value-at-risk-vs-expected-shortfall-explained)對這兩種量度作了比較。

GARCH 遞歸建模條件方差或波動率；要從方差得到 VaR 分位數，還需要對標準化創新項作出分布假設。ARCH 和 GARCH 分別與 Engle 的 ARCH 模型和 Bollerslev 的 GARCH 擴展90063-1)相關。CAViaR 直接建模分位數，不要求完整的條件密度，但所選動態形式仍然包含假設。間接 GARCH-CAViaR 設定是連接兩種方法的一種特殊形式，不能據此說所有 CAViaR 模型都是 GARCH。另請參閱 [GARCH 與波動聚集指南](/zh-HK/learn/volatility-clustering-garch-explained)。

樣本內分位數損失較低，並不代表樣本外風險預測可靠。應保留一個按時間順序劃分的評估期，僅用過去資訊生成每個預測，並報告例外率，以及命中是否會聚集或能否被過去的資訊預測。Kupiec 的無條件頻率檢驗（1995）和 Christoffersen 的條件覆蓋檢驗（1998）回答不同問題；Engle 和 Manganelli 的動態分位數檢驗則考察圍繞零中心化的例外指標及所選工具變量上的特定限制。這些檢驗都不能覆蓋所有模型設定錯誤。[VaR 回測指南](/zh-HK/learn/value-at-risk-backtesting-kupiec-christoffersen-explained)介紹了例外序列檢驗的原理。若要比較兩個分位數預測，應在相同日期用同一 check loss 為兩者評分，再用 [Diebold–Mariano 檢驗](/zh-HK/learn/diebold-mariano-test-forecast-accuracy-explained)比較相關的損失差；該檢驗評估的是相對預測損失，不是 VaR 校准或交易利潤。

結果會隨尾部概率、遞歸形式、初始化、估計窗口、組合和評估日期而變化。一個在某個分位數上擬合良好的模型，在另一個分位數上可能表現不佳；分別估計的分位數也可能交叉。結構突變、極端波動聚集、尾部樣本稀少、持倉變化、市場跳空、流動性和執行成本都不會因遞歸 VaR 方程而消失。VaR 也不說明發生例外後損失有多嚴重。應將結果視為需要持續監控的模型風險閾值，而不是損失上限、獲利預測或獨立交易規則。