VaR 回溯測試：Kupiec 與 Christoffersen 檢驗解說

Value at Risk（VaR，風險值）是在指定信心水平和期限下的虧損門檻。例如一天期 99% VaR 為 10,000 美元，代表模型根據其資料及假設，估計一天虧損超過 10,000 美元的機率為 1%。這不是虧損上限，也不代表越過門檻後虧損最多會有多少。

回溯測試將一系列預測及結果轉成 VaR 例外指示序列。若一天期 99% VaR 模型校準良好，在反覆觀察相若情況時，長期例外比率應接近 1%。這包含兩個不同要求：長期頻率要接近目標，而例外的先後次序亦不應與模型的條件風險預測矛盾。Kupiec 的失敗比例（POF）檢驗集中於頻率；Christoffersen 的獨立性及條件涵蓋檢驗則會將時序納入分析。

這項分別在實際應用中很重要。一個模型一年可能出現四次例外，而且四次都落在市場波動劇烈的一星期；另一模型同樣有四次，卻分散在全年。只計次數的檢驗會將兩者都視為四次，時序檢驗則會看到不同序列。這些測試有助描述預測的特點，但不能取代對持倉、市場資料、模型假設或虧損嚴重程度的檢視。如想了解 GARCH 模型如何描述波動聚集，可參閱 GARCH 與波動聚集指南；波動模型刻畫波動過程，回溯測試則比較風險預測與實際結果。

整個分析應採用一致的正負號慣例。令 Lₜ 為第 t 日實際錄得的虧損，VaRₜ|ₜ₋₁ 為根據 t 日之前可用資料預測的一天期虧損門檻。當 Lₜ > VaRₜ|ₜ₋₁ 時，例外指示變數 Iₜ = 1，否則為 0。99% VaR 的目標例外機率為 α = 1 − 0.99 = 0.01。有些資料以回報定義指示變數，或定義結果是否仍在涵蓋範圍內；只要正負號和機率配合調整，意思相同。請清楚交代採用哪種定義。

預測及結果必須指向同一投資組合、期限、估值時間及虧損定義。若收市後預測下一個交易日 VaR，便要按預先設定的估值規則，與下一個交易日的虧損比較。應預先決定如何處理剛好等於 VaR、假期、缺漏數據、市場休市、日內資料修訂及投資組合變動。例外甚少時，單一分類差異也足以明顯改變結果。

模型選擇和最終評估亦應分開。若看過用於檢驗的同一段期間後才選擇參數或風險門檻，所得 p 值便不再是乾淨的樣本外檢查。滾動預測要記錄每次預測的產生時間，以及當時可用的資料。多日預測互相重疊，可能令例外指示序列出現依賴。以下標準檢驗不會自動處理期限不一致、前視資料、其後修訂的輸入或模型選擇造成的問題。

假設有 T 組可比較的預測與結果，當中出現 x 次例外。觀察例外率為 p̂ = x/T。Kupiec 的失敗比例檢驗（見 Kupiec 1995 年論文）亦稱無條件涵蓋檢驗，會比較兩個二項似然：一個將例外機率固定為目標 α，另一個以 p̂ 自由估計。似然比統計量為：

LRᵤ꜀ = −2 ln [ (1−α)^(T−x) α^x / ((1−p̂)^(T−x) p̂^x) ]

在零假設下，例外指示變數是互相獨立、機率為 α 的 Bernoulli 事件。樣本夠大時，統計量近似服從自由度為 1 的卡方分布。統計量偏大，便是拒絕所指定例外頻率的證據。由於對立模型會自由估計觀察比率，例外過多或過少都可能令檢驗拒絕。幾乎從不超過 VaR 門檻的模型，不一定校準良好；它可能過分保守，未能達到原定用途。

POF 使用 x 這個次數，不會使用例外日期。調換同一批指示變數的先後，統計量仍然不變。因此單看 POF，無法知道四次例外是分散出現，還是連續發生。二項參考分布亦假設例外互相獨立。若要檢查例外有否聚集，應加入專門檢查依賴性的檢驗，而不是從 POF 推斷時序。

考慮一個假設例子：250 日的一天期 99% VaR 預測。目標機率 α = 0.01，因此零假設下預期例外數為 Tα = 250 × 0.01 = 2.5。假設實際出現四次例外，則 p̂ = 4/250 = 0.016，即 1.6%。這高於 1% 目標，但單憑差距仍未能判斷似然比檢驗會否拒絕。

代入 T = 250、x = 4 及 α = 0.01，得出 LRᵤ꜀ ≈ 0.769。採用漸近卡方(1)參考分布，p ≈ 0.38，而 5% 臨界值約為 3.84。按此近似，例子在 5% 水平下不會拒絕無條件涵蓋。這只是示範計算的假設數字，並非實際市場結果或通用的接納門檻。

兩個對數似然值可顯示統計量的來源。將比率固定在目標時，ℓ₀ = 246 ln(0.99) + 4 ln(0.01) ≈ −20.893。按觀察率自由估計時，ℓ₁ = 246 ln(0.984) + 4 ln(0.016) ≈ −20.508。自由估計的對數似然高約 0.385，因此 LRᵤ꜀ = −2(ℓ₀ − ℓ₁) ≈ 0.769。檢驗衡量目標比率模型的擬合損失，並非以美元計算的誤差。

未能拒絕並不證明模型校準良好。250 日只預期有 2.5 次例外，多一兩次已會明顯改變觀察率。卡方計算屬漸近近似，而此樣本規模下，罕見事件檢驗的功效可能有限。應同時考慮預期次數、預測期限、檢驗設計及樣本量。p 值不是 VaR 模型正確的機率。

比較兩個假設的 250 日序列，各有四次例外。A 序列在第 20、80、140、220 日出現；B 序列則在第 60、61、180、181 日出現。兩者都是 x = 4、p̂ = 1.6%，所以 Kupiec 統計量相同。但 B 有兩對連續例外，A 則沒有。

下方示意圖以概念方式說明為何要保留例外次序，而不只是記錄總數。圖示不是 250 日實際數據，也不是檢驗結果。例外連續出現，可能值得檢查模型能否跟上波動變化，但少數幾個觀察不足以找出成因。模型設定、突發市況、投資組合變更、重疊期限，以及資料和計時規則都可能造成這類模式。

令 nᵢⱼ 表示前一日指示變數為 i、當日為 j 的轉移次數；0 代表沒有例外，1 代表有例外。撇除序列邊界，完整的轉移次數為：A 有 n₀₀ = 241、n₀₁ = 4、n₁₀ = 4、n₁₁ = 0；B 有 n₀₀ = 243、n₀₁ = 2、n₁₀ = 2、n₁₁ = 2。兩者各有四次，但 B 有兩次例外緊接前一日的例外。這就是一階獨立性檢驗使用的時序資料。

前一日沒有例外後的估計機率為 n₀₁/(n₀₀+n₀₁)；前一日有例外後則為 n₁₁/(n₁₀+n₁₁)。A 分別為 4/245 ≈ 1.63% 及 0/4；B 則為 2/245 ≈ 0.82% 及 2/4 = 50%。B 的 50% 只來自例外後四次轉移中的兩次，是這個極小假設序列的特徵，並非對實際模型翌日風險的可靠估計。

Christoffersen 的 1998 年論文 所述獨立性檢驗比較平靜日之後和例外日之後的例外機率。令 π₀ = Pr(Iₜ = 1 | Iₜ₋₁ = 0)，π₁ = Pr(Iₜ = 1 | Iₜ₋₁ = 1)。獨立性零假設為 π₀ = π₁，即昨日有否例外不會改變今日的例外機率。對立模型會按 n₀₀、n₀₁、n₁₀、n₁₁ 分別估計兩種轉移機率。

獨立性似然比統計量比較這兩個模型，通常以自由度為 1 的卡方分布評估。與 POF 不同，它取決於指示變數的先後次序。若例外之後常有另一例外，π₁ 可能高於 π₀。這個檢驗針對二元序列的一階依賴，並不涵蓋過往資料、波動或投資組合狀態預測未來虧損的所有方式。

例外次數少時，轉移機率尤其不穩定。若沒有連續例外，π₁ 的估計可能落在零的邊界，但這不代表第二次例外不可能，只表示樣本沒有出現。應連同統計量查看轉移次數及樣本量，不要把稀疏的表格當作翌日尾部風險的精確估計。

條件涵蓋檢驗將 Kupiec 頻率統計量與 Christoffersen 獨立性統計量相加：LR꜀꜀ = LRᵤ꜀ + LRᵢₙd。聯合零假設要求例外機率等於 α，且例外在時間上互相獨立。在標準大樣本設定下，總和會與自由度為 2 的卡方分布比較。

除整體檢驗外，亦應報告各個組成結果。拒絕條件涵蓋代表在檢驗假設下，兩項要求與觀察序列不相符，但不會指出原因。若 POF 被拒絕而獨立性未被拒絕，例外次數可能是較清晰的訊號。若獨立性被拒絕，即使總數接近目標，也應留意例外的時序。若兩者均未被拒絕，樣本仍可能太短，未能發現模型問題。

檢驗的解讀範圍有限。它將每日虧損壓縮成 0/1 指示，無法分辨超過 VaR 一美元與一百萬美元；亦不能驗證整個虧損分布，或證明 Expected Shortfall 正確。VaR 與 Expected Shortfall 回答不同尾部風險問題，可參閱 VaR 與 Expected Shortfall 比較。

99% VaR 的 250 日樣本只預期 2.5 次例外。假設 1% 例外互相獨立，在 249 對相鄰日之間，預期「例外接例外」的轉移數約為 249 × 0.01² = 0.025。即使模型校準良好，大部分這類樣本也不會出現連續例外。事件稀少令轉移機率難以準確估計，也可能令依賴性檢驗功效偏低。

Christoffersen 和 Pelletier 2004 年的研究 指出，現有 VaR 回溯檢驗在實際的小樣本中可能功效有限，並研究以例外間隔時間建模的 duration 檢驗。這些結果支持考慮額外診斷，但不代表 duration 檢驗在所有情況都較優，也不代表毋須按風險預測和樣本設計選擇檢驗。觀察數量少時，應明言限制，不要將未能拒絕當成模型可靠的證明。

目標尾部率亦會影響證據量。95% VaR 在 250 日預期有 12.5 次例外；99.9% VaR 則只有 0.25 次。檢驗名稱相同，不代表不同設計下的證據可以直接比較。請報告信心水平、預測期限、觀察數目、目標及實際次數、轉移次數，以及採用漸近計算還是有限樣本方法。

選擇下一個診斷時，先問兩項基本檢驗捨棄了哪些資料。若要測試例外能否由滯後例外、VaR 預測或預測當時已知的其他變數預測，Engle 和 Manganelli 的 CAViaR 論文提出的動態分位數（DQ）檢驗會檢驗中心化例外指示變數及所選工具變數的限制。結論取決於變數選擇及其可用時間；DQ 不是檢驗所有條件失效的通用方法。duration 檢驗則分析例外之間的等待時間，補充的是另一種資料。

若關注超過 VaR 門檻後的虧損幅度，只看頻率和獨立性並不足夠。應檢查超額虧損大小，並選用符合預測及假設的 Expected Shortfall 評估方法。若問題是試過多個模型後挑選歷史表現最佳者，VaR 回溯測試無法處理策略選擇問題；PBO 與 CSCV介紹另一種以候選模型排名為基礎的診斷。

有用的報告應列出投資組合及虧損慣例、預測期限、信心水平、評估日期、預測產生方式、例外定義、預期及實際次數、POF 統計量、轉移次數、獨立性與條件涵蓋結果，並交代短樣本或期限重疊等限制。按時間繪出預測門檻和實際虧損；選擇模型時應保留其後的評估資料，不讓它參與選擇。這些做法有助解讀歷史證據，但不能保證未來風險受控。