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測度密度12分鐘
金融中的Radon–Nikodym導數：如何改變概率權重
解釋Radon–Nikodym導數如何重新加權概率、轉換期望，以及密度過程在風險中性定價中的作用
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
Radon–Nikodym導數dQ/dP是非負隨機變量，表示概率測度Q相對P如何重新給予每個結果權重。它把Q下的期望轉為P下的加權期望；在金融中，它不改變哪些事件可能發生，卻能連結現實測度與定價測度
絕對連續性容許密度存在
若P視為概率零的每個事件在Q下亦為零，Q便對P絕對連續，記作Q ≪ P
Radon–Nikodym定理此時給出非負密度Z = dQ/dP，除P零測集外唯一
若P與Q互相絕對連續，兩者等價，並對哪些事件不可能發生有一致判斷
密度逐狀態分配概率
對任何事件A，Q(A) = E_P[Z 1_A]；若兩者都是概率測度，E_P[Z] = 1
Z大於1的結果在Q下相對權重增加，低於1則減少
這裏的導數不是對時間或價格微分，而是一個測度相對另一測度的密度
期望透過乘以密度轉換
在所需可積條件下，支付X滿足E_Q[X] = E_P[ZX]
等式只改變權重，不改變支付或樣本空間；同一個X以另一套權重平均
若測度等價且Z為正，dP/dQ = 1/Z在Q下幾乎處處成立，密度轉換亦有連鎖法則
它是連續版本的似然比
有限狀態中，p_s為正時Z_s = q_s/p_s，因此q_s = p_s Z_s
這與重要性抽樣相同：在一個分佈取樣，再用似然比修正平均值
密度波動過大會把權重集中到少數狀態，即使等式準確，Monte Carlo估計亦可能不穩定
密度過程展示資訊如何展開
給定終值密度Z_T，定義Z_t = E_P[Z_T | F_t]，它是非負P鞅
當Z_t為正時，E_Q[X | F_t] = E_P[Z_T X | F_t] / Z_t
資訊流很重要，因為Z_t記錄時點t已有資訊能揭示多少終值重新加權
定價測度使用等價密度
資產定價模型尋找等價測度Q，使妥善折現後的可交易價格成為鞅或局部鞅
Girsanov定理描述密度如何改變Brown運動漂移，同時保留擴散不確定性和零概率事件
以貨幣市場戶口為計價基準時，適當假設下隨機折現因子可寫成折現項乘以dQ/dP
解讀與估計需要核對條件
風險中性Q是定價測度，不必等於現實測度P對實際發生頻率的預測
候選密度須非負、平均為1、配合資訊流，並令目標折現資產成為鞅
使用轉換期望前，應列明基礎與目標測度、計價基準、期限、密度方向、可積性和數值診斷
常見問題
如何簡單理解Radon–Nikodym導數？
它是似然比，說明一套概率體系對每個結果的權重是另一套體系的多少倍
為何Q必須對P絕對連續？
若Q向P視為不可能的事件給予正概率，便無法用相對P的有限密度重建該概率
dQ/dP是時間導數嗎？
不是；它是Q相對P的測度密度，隨時間的密度過程由終值密度的條件期望形成
它與風險中性定價有何關係？
它把現實概率權重換成定價權重，使折現交易價格可在Q下成為鞅
資料來源與延伸閱讀
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