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計價基準與測度變換詳解
理解計價基準選擇如何改變概率測度、哪些相對價格成為鞅，以及遠期測度為何可簡化定價
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
計價基準是用作價值單位的嚴格為正可交易資產。把所有價格除以該資產並轉往其對應測度後，合資格相對價格成為鞅，從而可一致整理隨機折現並簡化特定衍生工具收益的條件期望估值
價格總是以某種單位表達
港元價格以貨幣作為可見單位，而資產定價模型常以貨幣市場帳戶作為動態計價基準
若 Nₜ 是計價基準，資產 X 的相對價格為 Xₜ/Nₜ，即購買 X 所需的 N 數量
更換單位不會創造價值，只是重組相同經濟收益並選擇較方便的條件期望
有效計價基準必須嚴格為正
它在相關期限內必須可交易和嚴格為正，才能定義除法並保持測度密度有效
可能觸及零的資產一般不能作全域基準，除非採用局部化或縮窄狀態空間
定義總回報價值時，融資、抵押、股息與再投資必須一致納入
每個計價基準都有對應測度
由貨幣市場基準 B 與測度 Qᴮ 出發，另一個 N 透過以 N/B 為基礎的密度定義 Qᴺ
在 Qᴺ 下，每個合資格交易價格除以 N 後是鞅；在 Qᴮ 下，則是除以 B 後有該性質
原始資產價格沒有脫離測度的鞅結論，計價基準與測度必須成對出現
估值恆等式保留原有價格
T時刻收益 H 可寫成 Nₜ 乘以 Qᴺ 下 H/N_T 的條件期望
更換基準同時改變收益單位與概率權重，若假設一致，最後的貨幣價值相同
這是定價變換，並非預測某個測度的事件概率在現實中更可能發生
零息債券產生遠期測度
選擇 T到期零息債券 P(t,T) 作基準，在 T遠期測度下，合資格 T交付遠期價格成為鞅
它可從 T支付收益中消除隨機折現，簡化利率上限、掉期期權、債券期權等產品
到期日要與支付日配合，多筆現金流要審慎拆分；一個測度不能同時簡化所有日期
合理選擇可減少代數與模擬方差
選擇類似收益中正因子的基準，除法後或可把產品變成較簡單指標或交換期權
蒙地卡羅中，變換收益或有較低方差或毋須另行模擬折現因子，但改善並非必然
數值方便不能修正模型不一致，變換後漂移、協方差與密度動態仍要正確
股息與外匯說明經濟含義
股票計價基準要包含再投資股息，不能只用報價的除息價格
在外匯市場，本地與外國貨幣市場帳戶自然產生本地和外國風險中性測度
Quanto與跨幣種請求權展示匯率、資產、利率和所選基準相關性造成的漂移調整
驗證應恢復相同貨幣價值
在兩個基準下為同一合約定價，換回原貨幣後應在解析或數值誤差內一致
檢查密度標準化、相對資產鞅、支付日、總回報慣例與模擬漂移調整
記錄計價基準、對應測度、Radon–Nikodym導數、交收貨幣與所有現金流日期
常見問題
金融中的計價基準是甚麼？
它是用來表達其他資產價格與收益的嚴格為正可交易價值單位
為何更換計價基準會改變概率測度？
測度要重新加權，令相對新基準而非舊基準的價格符合鞅性質
甚麼是遠期測度？
它是與特定到期零息債券基準關聯的測度，令合適遠期價格成為鞅
計價基準選擇會改變期權價值嗎？
模型與轉換一致時不會，它只改變計算同一價值所用的表達方式
資料來源與延伸閱讀
把這個概念應用到一份期權
選擇合約和目標，讓價格、時間與波幅假設在同一份分析中清晰呈現
分析我的期權