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毋須寫出密度也可為期權定價閱讀時間 15 分鐘
以特徵函數進行期權定價詳解
了解風險中性特徵函數如何編碼分布，並透過 Fourier 逆變換與支付變換產生期權價格
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
特徵函數 φ(u)=E[e^{iuX}]唯一編碼所選定價測度下對數價格的分布，Fourier 逆變換把該函數與變換後的支付結合，從而恢復貼現期權價值，而毋須先寫出完整轉移密度
特徵函數保存完整分布
對實隨機變數 X，φ(u)=E[e^{iuX}]在每個實頻率 u 上都有定義，因為複指數的模恆為一
它與矩母函數不同，僅在實軸上存在並不要求有限的指數矩
所有頻率上的取值唯一決定 X 的分布，並同時編碼位置、離散程度、非對稱性、尾部與不連續性
先確定定價測度與狀態變數
對歐式支付 h(S_T)，基本風險中性價格在適當條件下為 E^Q[e^{-∫r ds}h(S_T)]
變換法常設 X_T=log S_T 或遠期對數價格，但貼現與計價基準慣例必須和變換一致
若未正確訂明測度變換，便不能把現實測度的特徵函數直接代入風險中性價格
Fourier 逆變換恢復概率與密度
在足夠正則的條件下，可從 φ 的逆 Fourier 積分恢復密度，也可用其他逆變換公式恢復分布函數
Gil–Pelaez 公式透過含 e^{-iux}φ(u)/u 虛部的積分表示累積概率或尾部概率
這些是廣義積分，零附近的極限與高頻行為都需要解析處理和數值控制
支付函數也需要專門變換
認購期權支付隨 S_T 增長，若不作阻尼或移動積分路徑，其 Fourier 變換在整條實軸上不可積
可變換阻尼後的價格、在適當條帶內變換支付，或把認購期權拆成貼現資產項與行使價項的概率
數學等價的公式也可能採用不同符號、歸一化、狀態變數和複數參數慣例
模型可計算性透過 φ 體現
Black–Scholes、Heston、仿射跳躍擴散與多個 Lévy 模型，往往較容易給出特徵函數而非轉移密度
特徵函數反映模型假設、風險中性參數、期限、初始狀態、相關性與跳躍補償項
知道 φ 只是計算優勢，並不能證明所選動態符合觀察到的期權價格或未來回報
數值逆變換帶來誤差預算
有限積分邊界產生截斷誤差，頻率間距產生求積誤差，FFT 網格還會加入混疊與插值誤差
若振盪抵消與複對數分支處理不一致，結果可能平滑但錯誤
自適應求積、控制變量、阻尼、替代公式和更高精度分別針對不同誤差，而非同一通用缺陷
驗證不能只看一個價格
應檢查 φ(0)=1、共軛對稱 φ(−u)=overline{φ(u)}，以及資產價格慣例要求的鞅矩條件
把結果與 Black–Scholes 等已知極限、認沽認購平價、單調性、凸性和獨立數值方法比較
改變邊界、網格、阻尼、容差、期限與行使價後，可信有效數字仍應保持穩定
常見問題
甚麼是特徵函數？
它是 φ(u)=E[e^{iuX}]，是一種能唯一決定 X 概率分布的複值變換
為甚麼用它為期權定價？
多個現實模型能給出閉式或半閉式 φ，卻不能直接給出轉移密度或支付期望
特徵函數與矩母函數相同嗎？
不同。特徵函數使用虛數參數並在實 u 上存在，而指數矩發散時矩母函數可能不存在
直接逆變換 φ 便能得到認購期權價格嗎？
不能，仍須處理支付、測度、貼現與可積性，通常需要阻尼、路徑移動或概率分解
資料來源與延伸閱讀
把這個概念應用到一份期權
選擇合約和目標，讓價格、時間與波幅假設在同一份分析中清晰呈現
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