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數值定價閱讀約12分鐘
期權定價的蒙地卡羅模擬詳解
了解風險中性路徑如何轉換成期權價值、抽樣誤差怎樣變化，以及如何處理路徑依賴與提早行使
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
蒙地卡羅期權定價在指定價格模型下模擬大量路徑，計算和折現每條路徑的支付，再取平均值。它是帶有抽樣誤差的模型價值估算，並不會發現市場的真實隨機過程，也不會預測最終發生的唯一未來路徑
價格成為折現期望值
在選定風險中性模型下，可複製衍生工具價值可寫成未來支付在模型狀態之間的平均現值
簡單申索權可用封閉積分求解。蒙地卡羅以隨機數產生的樣本平均代替難以計算的積分
支付可依賴多個資產、日期、平均值、障礙或路徑特徵，毋須為每種產品重新推導封閉公式
路徑必須服從定價模型
選定相關資產因素動態，再從今日起模擬至各觀察日與支付日的增量
價格測度的漂移採用模型持有成本，而非分析員方向預測。相關性、股息、利率與波幅動態必須一致
以網格近似連續過程會引入離散偏差。障礙、跳躍和快速波幅轉變或需更細或專用步驟
每條路徑產生一個折現支付
歐式認購只需要終值，其支付是終值減行使價與零之間的較大值
亞式期權還要樣本平均，障礙期權要知道有否觸及水平，籃子期權則要共同模擬各成分
折現路徑支付的平均值就是估算值。支付時間與折現因子必須符合合約，不能當作最後附加的細節
抽樣誤差不是模型誤差
有限樣本有隨機性，改變種子會令估值略為不同。標準誤差大致與路徑數量的平方根成反比
路徑增加一百倍，普通抽樣誤差約縮小十倍而非一百倍，精度愈高計算代價愈大
置信區間描述程式模型內樣本平均的不確定性，不包括錯誤動態、輸入、離散化或程式缺陷
方差縮減提高每條路徑的精度
對偶變量把相反衝擊配對使用；控制變量借助價值已知的相關支付去除共同雜訊
分層、準隨機序列、條件計算和共同隨機數亦可使用，效果取決於支付平滑度、維度與實作
應同時報告方法和誤差。沒有獨立基準卻看似穩定的數字，可能隱藏偏差而非有較高精度
提早行使需要繼續持有價值
順向模擬適合到期決定的支付，但美式期權會在多個日期比較即時行使與繼續持有
Longstaff–Schwartz把未來折現現金流回歸至目前狀態函數，再逆向套用行使規則
結果依賴基礎函數、路徑、行使日與狀態變量。即使終值模擬正確，差劣回歸也會令政策偏差
驗證需要多種收斂檢查
先重現有可靠封閉公式或獨立方法的合約，再改變路徑數、時間步長、種子和方差縮減設定
分開追蹤估算值、標準誤差、運行時間和離散趨勢。更多路徑只減少抽樣雜訊，不能修復有偏網格或模型
實際運作應固定慣例、測試邊界、記錄種子和版本，並比較價格與希臘值的可重現性
常見問題
蒙地卡羅需要多少條路徑？
沒有通用數量，應報告標準誤差、檢查更大樣本的收斂，並採用符合決策的容許誤差
蒙地卡羅會預測未來股價嗎？
不會。定價路徑只在風險中性模型中抽樣以評估支付，並非預測最終發生的一條現實路徑
為何蒙地卡羅收斂較慢？
普通抽樣誤差大致按路徑數平方根的倒數下降，因此多取得一位精度可能需要大量額外計算
蒙地卡羅可為美式期權定價嗎？
可以，但不能只平均終值。Longstaff–Schwartz等方法會逆向估算繼續持有價值和行使政策
資料來源與延伸閱讀
把這個概念應用到一份期權
選擇合約和目標，讓價格、時間與波幅假設在同一份分析中清晰呈現
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