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條件估值約12分鐘
期權定價中的鞅詳解
理解條件期望、折現可交易價格為何在定價測度下成為鞅，以及這個概念不代表甚麼
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
鞅是在指定資訊和概率測度下，未來值的條件期望等於目前值的隨機過程。在期權定價中，為消除融資增長而適當折現的可交易資產價格會在風險中性測度下具有這種性質，但實現路徑仍可大幅波動
條件期望是定義核心
設 Mₜ 為隨機過程、Fₜ 為 t時刻可用資訊，對每個較後時刻 u，鞅滿足 E[Mᵤ | Fₜ] = Mₜ 和可積條件
條件二字十分重要。預測使用目前已知的全部資訊，而非只有長期無條件平均值
定義總要指定概率測度和資訊流。同一過程在一個測度下可能是鞅，在另一測度下可能不是
鞅可以波動而且仍有風險
公平遊戲並非下一個數值等於目前數值，而是正負條件變化在期望上互相平衡
只要所需期望存在，大幅跳躍、寬闊分布和路徑依賴不確定性都可與鞅性質共存
鞅亦不表示增量獨立。只要符合條件平均限制，過程仍可保留依賴關係
折現消除融資增長
交易資產通常包含持有成本、股息或融資效應，所以未折現價格在定價測度下不一定是鞅
把總回報價值除以貨幣市場帳戶等計價基準。適當無套戥假設下，折現過程成為鞅
更換計價基準會改變相關測度和哪些相對價格是鞅，價值單位本身就是命題一部分
期權價值變成條件期望
對 T時刻可複製收益 H，今天的折現價值等於定價測度下折現收益的條件期望
這不是按歷史頻率取平均。選擇該測度是為了令折現可交易價格符合無套戥
公式濃縮動態複製論證，並未消除對交易、模型狀態、股息與融資的假設
二項樹直接展示運作方式
選擇上升與下跌定價權重，令折現相關資產的下一期望值等於目前折現價值
把相同權重用於期權下一節點價值，再折現向後遞推，重複後得到根節點價格
樹中的風險中性概率是鞅權重，並非表示現實股票的預期超額回報為零
次鞅與上鞅表達不等式
次鞅的未來條件期望至少等於目前值，上鞅的未來條件期望最多等於目前值
在限制、消費、美式行使和超級對沖中，精確等式或由單邊界取代，這些概念便會出現
名稱本身不預測可交易利潤，測度、折現、可接受性和可積性仍決定解讀
可選停止需要符合條件
人們容易以為任何停止公平遊戲的規則都保持期望，但可選停止定理要求有界性、可積性等條件
不斷把注碼加倍的策略可能違反可接受性或需要無限資本，不能從鞅定義創造實際套戥
美式期權停止問題使用嚴格定義的行使時刻與價值過程，並不承諾擇時無關重要
模型與真實市場不是同一對象
觀察價格包含差價、過時報價、限制與離散交易。模型鞅只是在明確理想化條件內的陳述
嚴格局部鞅、泡沫、無界收益和測度存在問題說明技術條件並非總可省略
應用公式前要說明過程、測度、計價基準、資訊流、收益可積性與可用交易策略
常見問題
簡單來說甚麼是鞅？
給定目前資訊後，其未來值在指定概率測度下的期望等於目前值
鞅價格會保持不變嗎？
不會。實現路徑可劇烈波動，受限制的只是未來值的條件平均
鞅定價為何要折現資產價格？
按計價基準折現可消除模型融資增長，令相對交易價值能夠符合鞅條件
現實股價是鞅嗎？
脫離測度不能回答。必須同時說明價格過程、股息、計價基準、資訊和概率測度
資料來源與延伸閱讀
把這個概念應用到一份期權
選擇合約和目標，讓價格、時間與波幅假設在同一份分析中清晰呈現
分析我的期權