Realized GARCH: रिटर्न और realized volatility का संयुक्त मॉडल

ARCH और GARCH मॉडल रिटर्न की श्रृंखला से वेरिएंस में बदलाव का अनुमान लगाते हैं। एक रिटर्न अपने समयखंड में हुई हलचल का शोरयुक्त संकेत है: असामान्य रूप से छोटा close-to-close रिटर्न यह नहीं बताता कि पूरा सत्र शांत था, और बड़ा रिटर्न यह नहीं दिखाता कि उस तक पहुँचने का रास्ता क्या था। दिन के भीतर के भाव realized variance जैसा अलग माप दे सकते हैं, जिसमें सत्र की हलचल के बारे में अधिक जानकारी हो।

Realized GARCH उस माप को वेरिएंस की गतिशीलता में शामिल करता है। मूल स्पेसिफिकेशन में पिछला कंडीशनल वेरिएंस और पिछला realized measure—दोनों वर्तमान कंडीशनल वेरिएंस को अपडेट करने में मदद करते हैं। मॉडल realized measure के लिए भी एक समीकरण देता है। यह अतिरिक्त समीकरण केंद्रीय है: यह माप और छिपे हुए वेरिएंस तथा रिटर्न शॉक के बीच संबंध बताता है, बजाय इसके कि माप को बिना व्याख्या वाला बाहरी इनपुट छोड़ दिया जाए।

मूल शोध में Dow Jones Industrial Average के शेयरों और एक ETF के नमूने में केवल दैनिक रिटर्न इस्तेमाल करने वाले GARCH की तुलना में बेहतर empirical fit रिपोर्ट किया गया। यह उसी नमूने का परिणाम है, हर एसेट या अवधि में Realized GARCH बेहतर पूर्वानुमान देगा इसकी गारंटी नहीं। केवल रिटर्न पर आधारित शुरुआती मॉडल के लिए GARCH गाइड देखें।

मान लें (rₜ) अवधि (t) का रिटर्न है, और यदि मॉडल में कंडीशनल मीन है तो उसे घटाने के बाद का रिटर्न। (hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁)) अवधि की शुरुआत में ज्ञात कंडीशनल वेरिएंस है, और (xₜ) अवधि (t) के दौरान या अंत में देखा गया धनात्मक realized measure है। उदाहरण के लिए, (xₜ) दिन के भीतर के रिटर्नों के वर्गों का योग हो सकता है और इसे (hₜ) जैसी squared-return इकाई में व्यक्त करना चाहिए।

समय का क्रम महत्वपूर्ण है। (hₜ) का पूर्वानुमान अवधि (t) शुरू होने से पहले उपलब्ध जानकारी से बनता है। (rₜ) और (xₜ) देखने के बाद मॉडल अगली अवधि के वेरिएंस पूर्वानुमान (hₜ₊₁) को अपडेट करता है। (xₜ) लेकर यह दावा न करें कि अवधि (t) पूरी होने से पहले (hₜ) का पूर्वानुमान था।

Realized GARCH रिटर्न और मापे गए वोलैटिलिटी proxy का गतिशील मॉडल है। यह MIDAS regression जैसा नहीं है, जो अलग-अलग frequency के डेटा को संरचित lag-weight function से जोड़ता है। दोनों intraday जानकारी उपयोग कर सकते हैं, लेकिन तुलना से पहले उनकी समीकरण, पूर्वानुमान लक्ष्य और समय-उपलब्धता पहचानें।

Realized GARCH(1,1) का एक आम रूप रिटर्न, वेरिएंस और मापन समीकरणों से बना है:

rₜ = √hₜ zₜ log hₜ = ω + β log hₜ₋₁ + γ log xₜ₋₁ log xₜ = ξ + φ log hₜ + τ(zₜ) + uₜ

यहाँ (zₜ) standardized return innovation है, (uₜ) measurement error है, और (τ(zₜ)) देखे गए माप को रिटर्न शॉक पर निर्भर होने देती है। पहला समीकरण इकाई वेरिएंस वाले शॉक को कंडीशनल standard deviation से गुणा करता है। दूसरा पिछले log variance और पिछले log realized measure से वर्तमान log variance अपडेट करता है। तीसरा देखे गए log measure को वर्तमान छिपे log variance, रिटर्न शॉक और measurement innovation से जोड़ता है।

Log रूप सुविधाजनक है क्योंकि धनात्मक (hₜ) और (xₜ) को बिना सीमा वाले log scale पर लिखा जा सकता है; वेरिएंस पूर्वानुमान का exponent लेने पर धनात्मक मान मिलता है। इसलिए (ω), log-variance समीकरण का intercept है, दीर्घकालीन वेरिएंस स्वयं नहीं। मूल मॉडल में पैरामीटर अलग-अलग पढ़ने के बजाय एक साथ estimate किए जाते हैं।

t−1 की measurement equation को variance update में रखने से दिखता है कि realized measure log variance पर feedback कैसे देता है:

log hₜ = (ω + γξ) + (β + γφ) log hₜ₋₁ + γτ(zₜ₋₁) + γuₜ₋₁

इस (1,1) specification में log variance की persistence को केवल β से नहीं, बल्कि β + γφ से संक्षेप में बताया जाता है। Measurement relation feedback जोड़ता है: पहले का variance अधिक होने पर realized measure भी अधिक होने का संबंध है, और वही measure अगले update में आता है। यह बीजगणित fitted coefficients को समझने में मदद करता है, लेकिन Realized GARCH के हर extension की stationarity सिद्ध नहीं करता। Inference के लिए अनुमान किए गए specification की शर्तें ही लागू करें।

Hansen, Huang और Shek संयुक्त मॉडल के linear तथा log-linear रूप और उसके तीन समीकरणों की संरचना प्रस्तुत करते हैं (2012)। अनुमान किए जा रहे स्पेसिफिकेशन में lag order, realized measure, कंडीशनल मीन का उपचार और innovation संबंधी मान्यताएँ बतानी चाहिए।

मापन समीकरण यह समझने में मदद करता है कि realized measure छिपे हुए वेरिएंस और रिटर्न शॉक—दोनों के साथ क्यों बदल सकता है। एक आम leverage function है:

τ(zₜ) = τ₁ zₜ + τ₂ (zₜ² − 1)

रैखिक और केंद्रित quadratic पद रिटर्न शॉक तथा realized measure के बीच असममित संबंध दिखा सकते हैं। गुणांक उस संबंध का रूप तय करते हैं; केवल सूत्र यह सिद्ध नहीं करता कि नकारात्मक रिटर्न भविष्य की वोलैटिलिटी का कारण है।

मूल शोध के baseline रूप में (zₜ) और (uₜ) अलग innovations हैं; (zₜ) standardized है और दोनों को परस्पर स्वतंत्र माना गया है। यह अनुमान के लिए सुविधाजनक सांख्यिकीय स्पेसिफिकेशन है, हर नमूने में बाजार रिटर्न या measurement error किसी खास distribution को मानते हैं—इसका प्रमाण नहीं। सामान्यता को तथ्य बताए बिना estimation के लिए Gaussian quasi-likelihood का उपयोग किया जा सकता है।

यह समीकरण Realized GARCH को GARCH-X से भी अलग करता है। GARCH-X वेरिएंस अपडेट में observed measure डाल सकता है, लेकिन उसकी अपनी गतिशीलता तय नहीं करता। Realized GARCH उस measure को भी मॉडल करता है, इसलिए भविष्य के realized measure अभी उपलब्ध न होने पर भी एक से अधिक अवधि आगे के पूर्वानुमान संभव होते हैं। मॉडल संयुक्त सांख्यिकीय संबंध बताता है; realized measure को बाहरी कारण नहीं बनाता।

मान लें अनुमानित log-linear मॉडल में (ω=-0.7824), (β=0.75), और (γ=0.15) हैं। अवधि (t) के अंत में वर्तमान कंडीशनल वेरिएंस (hₜ=0.0004) और देखा गया realized measure (xₜ=0.0009) मानें। सभी मान काल्पनिक, धनात्मक और daily decimal-return variance के समान scale पर हैं।

वेरिएंस समीकरण से अवधि (t+1) का पूर्वानुमान अपडेट करें:

log hₜ₊₁ = −0.7824 + 0.75 log(0.0004) + 0.15 log(0.0009) ≈ −7.7024 hₜ₊₁ = exp(−7.7024) ≈ 0.0004517

इसके अनुरूप कंडीशनल standard deviation (√0.0004517 ≈ 0.02125), यानी बताए गए रिटर्न समयखंड के लिए लगभग 2.13% है। अनुमानित गुणांक के माध्यम से realized measure अगली अवधि के वेरिएंस पूर्वानुमान को प्रभावित करता है। यह गणना पैरामीटर दोबारा estimate नहीं करती और measurement equation से (xₜ=hₜ) का दावा नहीं करती।

यह उदाहरण केवल गणित दिखाता है। इसमें पैरामीटर अनिश्चितता, estimation error या out-of-sample observation नहीं हैं, इसलिए इससे statistical significance या benchmark से बेहतर होने का निष्कर्ष नहीं निकलता <!-- learn:illustration -->

Estimation के लिए समय से मेल खाते रिटर्न और realized-measure observation चाहिए। Likelihood या quasi-likelihood रिटर्न समीकरण और मापन समीकरण को जोड़ता है; innovation के distribution या dependence की मान्यताएँ बदलने से अनुमानित पैरामीटर बदल सकते हैं। केवल update recursion देने के बजाय estimation method, innovation assumptions, कंडीशनल मीन का उपचार, realized measure और data-cleaning rules बताएं।

हर अवधि के बाद नया रिटर्न और realized measure लेकर मॉडल अपनी स्थिति अपडेट कर सकता है और अगली वेरिएंस भविष्यवाणी बना सकता है। कई अवधि आगे के forecast में भविष्य के (x) मान अज्ञात होते हैं। पूर्ण Realized GARCH specification realized measure की गतिशीलता बताता है, इसलिए भविष्य की distribution या expectation शामिल करें; test sample से भविष्य के मान सीधे न डालें।

मूल्यांकन लक्ष्य forecast से मेल खाना चाहिए: उदाहरण के लिए अगली अवधि का conditional return variance या उसी interval का realized measure। लक्ष्य, proxy, इकाई, horizon और मूल्यांकन तिथियाँ एक-दूसरे से मिलाएँ। In-sample likelihood मॉडल की fitting की तुलना करता है; यह क्रमिक out-of-sample forecast मूल्यांकन का विकल्प नहीं है।

हर forecast को उसी समय सहेजें जब वह उपलब्ध होता, केवल उस समय तक मिली जानकारी से दोबारा estimate करें और समान sample पर पहले से चुने benchmark से तुलना करें। परिणाम देखने से पहले loss function चुनें और जहाँ ज़रूरी हो dependence को ध्यान में रखने वाले uncertainty estimate के साथ paired loss difference बताएँ। QLIKE और squared-error गाइड बताती है कि proxy के गुण और loss का चुनाव तुलना को कैसे प्रभावित करते हैं।

मॉडल का उपयोग चुने गए measure और interval पर निर्भर करता है। Intraday prices से बना realized measure overnight movement छोड़ सकता है, जबकि (rₜ) close-to-close return हो सकता है। मूल पेपर return interval से छोटा measurement window स्वीकार करता है; मापन समीकरण यह अनिवार्य नहीं करता कि (xₜ), (hₜ) का unbiased estimate हो। फिर भी अलग windows का अर्थ महत्वपूर्ण है: (φ) की व्याख्या, forecast target और कोई भी तुलना इन intervals पर निर्भर करती है।

पेपर एक ठोस उदाहरण देता है: लगभग 6.5 trading hours से बना measure, 24-hour close-to-close return के conditional variance के साथ जोड़ा जा सकता है। इस स्थिति में लेखक φ < 1 की अपेक्षा करते हैं, क्योंकि intraday measure पूरे return interval का केवल एक भाग पकड़ता है। इसलिए fitted φ की व्याख्या measure, session और return definition पर निर्भर करती है; यह कोई universal calibration coefficient नहीं जिसे दूसरे asset या sampling design पर बिना बदलाव लागू किया जा सके।

High-frequency data में bid–ask bounce, asynchronous trading, price discreteness, stale quotes और recording errors हो सकते हैं। दो-स्केल realized volatility गाइड high-frequency microstructure noise के कुछ प्रभावों से निपटने के लिए बने एक estimator को समझाती है। Hansen और Lunde बताते हैं कि market microstructure noise realized variance के मापन को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित कर सकता है (2006)। Proxy बदलने से model fit, forecast और leverage estimates बदल सकते हैं।

Log-linear specification में (log xₜ) है, इसलिए चुना गया measure strictly positive होना चाहिए। यदि डेटा शून्य या ऋणात्मक हो सकता है, तो उचित transformation या filter के बिना log specification लागू नहीं होगी। Floor लगाने से मॉडल बदलता है; उसका कारण बताएँ। जाँचें कि measure में jumps हैं या नहीं, कौन-सा session शामिल है, missing bars कैसे संभाली गईं और उसकी इकाई return variance से मेल खाती है या नहीं। अधिक intraday observations अपने-आप measurement error नहीं हटातीं।

सामान्य GARCH lagged returns या squared innovations और पिछला variance इस्तेमाल करता है। Realized GARCH variance dynamics में realized measure जोड़ता है और latent variance तथा return shock से जुड़ी equation के माध्यम से उस measure को भी मॉडल करता है। GARCH-X आम तौर पर जोड़े गए measure को बाहरी input मानता है। MIDAS regression अलग-अलग frequencies के lags पर parameterized weight curve लगाता है; GARCH-MIDAS संबंधित hybrid है जिसकी equations अलग से देखनी चाहिए। ये नाम एक-दूसरे के स्थान पर नहीं हैं।

मॉडल अपनी मान्यताओं के अंतर्गत परिभाषित conditional variance या realized measure का पूर्वानुमान देता है। यह return direction नहीं बताता, intraday measure अगली अवधि का variance कारण बनता है यह सिद्ध नहीं करता और लाभकारी strategy स्थापित नहीं करता। बेहतर in-sample likelihood भविष्य में बेहतर forecast की गारंटी नहीं है। Trading निष्कर्ष के लिए अलग signal और spread, fees, market impact, financing तथा risk limits के बाद लागत सहित मूल्यांकन चाहिए।

पुनरुत्पादन योग्य रिपोर्ट में asset और sample, return definition और conditional mean, realized-measure construction और session window, model equations और lag order, innovation assumptions, estimation window, forecast origin और horizon, benchmark, scoring loss तथा uncertainty method दें। यथार्थसंगत वैकल्पिक realized measures के प्रति संवेदनशीलता दिखाएँ और data exclusion या positivity adjustment की जानकारी दें