Volatility forecast में QLIKE बनाम squared error: noisy proxies

Volatility model यह forecast करता है कि भविष्य का return कितना फैला हो सकता है, यह नहीं कि return positive होगा या negative। मूल्यांकन से पहले target तय करें: उदाहरण के लिए, अगले दिन का conditional return variance, squared basis points में। Standard-deviation forecast, variance forecast और intraday realized-variance estimate आपस में जुड़े हैं, लेकिन स्पष्ट transformation और horizon के बिना एक-दूसरे की जगह नहीं ले सकते।

यह सवाल model द्वारा forecast बनाने के तरीके से अलग है। GARCH guide past returns से conditional variance update करने का एक तरीका बताती है। यह guide तब शुरू होती है जब दो या अधिक models forecast बना चुके हों; सवाल यह है कि बाद में हुई variance के imperfect measure के सामने उन्हें कैसे score करें।

Target, evaluation sample और loss function तय होने से पहले “best forecast” का एक ही अर्थ नहीं होता। एक loss पर model पहले और दूसरे पर दूसरे स्थान पर आ सकता है, क्योंकि हर loss forecast miss को अलग cost देता है

Target return की अनदेखी conditional variance को vₜ, उस return से पहले उपलब्ध जानकारी के आधार पर बने forecast को hₜ, और evaluation के लिए इस्तेमाल observed proxy को xₜ कहें। Squared return एक आम proxy है, लेकिन variance के लिए यह तभी conditionally unbiased होता है जब conditional return mean शून्य हो। Conditional mean शून्य न हो तो raw squared return conditional variance नहीं, conditional second moment estimate करता है; इसके बजाय conditional mean हटाने के बाद के returns से proxy बनाया जा सकता है। Intraday returns से बनी realized variance session के दौरान variation की अधिक जानकारी दे सकती है, लेकिन वह भी एक interval की measurement है और sampling तथा price-data rules पर निर्भर करती है।

Conditional mean का अनुमान लगाकर demeaning करने से proxy bias अपने-आप दूर नहीं होता। यदि mₜ = E[rₜ | Fₜ₋₁], hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁), और estimated mean m̂ₜ forecast origin पर उपलब्ध जानकारी से तय हो, तो E[(rₜ − m̂ₜ)² | Fₜ₋₁] = hₜ + (mₜ − m̂ₜ)²। इसलिए mean-estimation की हर forecastable error proxy में nonnegative term जोड़ती है। Conditional-unbiasedness result का उपयोग करने से पहले बताएँ कि mean कैसे estimate किया गया और proxy variance को target करता है या second moment को।

xₜ और hₜ का asset, return definition, time window, horizon और units एक जैसे रखें। xₜ bp² में हो तो hₜ भी bp² में होना चाहिए; तब squared-error score की unit bp⁴ होगी। Close-to-close daily variance forecast को ऐसे realized measure पर score न करें जो overnight interval छोड़ता हो, जब तक वही तय target न हो।

एक ही evaluation origin के proxy values और सभी models के forecasts सुरक्षित रखें। यदि किसी model का किसी तारीख पर forecast नहीं है, तो पहले से common sample या missing-data का उचित rule तय करें। अलग-अलग तारीखों पर निकाले averages की तुलना में model performance के साथ उन market conditions का फर्क भी शामिल हो सकता है जिनका हर model ने सामना किया

Nonnegative variance proxy xₜ और positive variance forecast hₜ के लिए squared-error loss है:

L_MSE(xₜ, hₜ) = (xₜ − hₜ)²

QLIKE loss है:

L_QLIKE(xₜ, hₜ) = log(hₜ) + xₜ / hₜ

Score जितना कम, उतना बेहतर। xₜ strictly positive हो तो QLIKE को ratio form xₜ/hₜ − log(xₜ/hₜ) − 1 में भी लिखा जाता है। दोनों formulas में फर्क एक ऐसे term का है जो observed proxy पर निर्भर है, forecast पर नहीं; इसलिए common sample में model ranking एक जैसी रहती है। hₜ positive हो तो log(hₜ) वाला form xₜ शून्य होने पर भी defined रहता है। Patton variance losses की ये definitions देते हैं और imperfect proxies के साथ इनके व्यवहार का अध्ययन करते हैं (Patton, 2011)।

QLIKE variance forecasts के लिए Gaussian quasi-likelihood score से मेल खाता है (Hansen and Lunde, 2005)। इससे यह साबित नहीं होता कि returns Gaussian हैं, और कम score model की distributional assumptions को verify नहीं करता। Squared error proxy और forecast के absolute gap का square मापता है। मुख्य बात यह है कि कौन-सा scoring rule comparison goal और proxy assumptions के अनुकूल है

Squared-error loss की unit variance की squared unit होती है और proxy तथा forecast में दूरी बढ़ने पर यह तेजी से बढ़ता है। इसलिए कुछ बहुत बड़े proxy values average पर हावी हो सकते हैं। Variance units में बड़े absolute misses को बहुत अधिक cost देना हो तो यह व्यवहार ठीक हो सकता है, पर इससे नतीजा extreme observations के प्रति sensitive होता है।

xₜ और hₜ को एक ही positive unit-conversion constant c से गुणा करने पर log(hₜ) + xₜ/hₜ में log(c) जुड़ता है। यही जोड़ एक ही proxy sample पर score किए गए सभी forecasts के लिए समान होता है, इसलिए ranking नहीं बदलती; हालांकि log term का absolute value चुनी गई unit पर निर्भर करता है। QLIKE, xₜ/hₜ के जरिए forecast-to-proxy ratio और log(hₜ) के जरिए hₜ के level पर निर्भर करता है। बड़े proxy की तुलना में forecast बहुत कम हो तो ratio term तेज़ी से बढ़ता है। Overprediction की cost भी log(hₜ) बढ़ने पर बढ़ती है, लेकिन comparable proportional errors में धीमी गति से। QLIKE outlier-resistant loss नहीं है: extreme proxy भी xₜ/hₜ के जरिए score में शामिल होता है।

हर निर्णय में कोई एक loss बेहतर नहीं होता। Squared error variance units के बड़े absolute misses को अधिक weight देता है, जबकि QLIKE relative errors को अलग रूप में देखता है। Patton का proxy-robustness नतीजा यह नहीं कहता कि दोनों losses models को एक ही ranking देंगे या कोई भी outliers से अप्रभावित है

मान लें observed variance proxies x = [1, 4] bp² हैं। Model A के forecasts hᴬ = [1, 1] bp² और Model B के hᴮ = [4, 2] bp² हैं। Loss बदलने पर ranking कैसे बदल सकती है, यह दिखाने के लिए values काल्पनिक हैं।

MSE Model A को favor करता है: उसका average score 4.5 bp⁴ है, Model B के 6.5 bp⁴ के मुकाबले। QLIKE Model B को favor करता है: उसका average करीब 2.165 है, A के 2.5 से कम। ये दो periods केवल arithmetic दिखाते हैं। Uncertainty estimate करने, forecast को बेहतर साबित करने या trading strategy के बारे में कुछ कहने के लिए observations बहुत कम हैं <!-- learn:illustration -->

Volatility proxy noisy हो सकता है और फिर भी conditionally unbiased रह सकता है। मान लें E[xₜ | Fₜ₋₁] = vₜ, जहाँ Fₜ₋₁ forecast बनाते समय उपलब्ध जानकारी है। उसी जानकारी से बने forecast hₜ के लिए expected squared-error loss है:

E[(xₜ − hₜ)² | Fₜ₋₁] = (vₜ − hₜ)² + Var(xₜ | Fₜ₋₁)

Variance term इस बात पर निर्भर नहीं करता कि कौन-सा forecast score हो रहा है। इसलिए यह दोनों forecasts के expected MSE में एक ही राशि जोड़ता है और expected losses की तुलना में cancel हो जाता है। QLIKE के लिए conditional unbiasedness से मिलता है:

E[log(hₜ) + xₜ/hₜ | Fₜ₋₁] = log(hₜ) + vₜ/hₜ

Latent variance को proxy की जगह रखने पर यही score मिलता। इन conditions में हर loss latent target के मुकाबले competing variance forecasts की expected ranking बनाए रखता है। Patton (2011) इसे proxy-robust ranking कहते हैं; यहाँ अर्थ expected ranking पर noise का असर है, outliers के प्रति resistance नहीं।

यह नतीजा same conditional information set, conditionally unbiased proxy, QLIKE के लिए positive forecasts और finite expected losses मानता है। इसका मतलब यह नहीं कि MSE और QLIKE models को एक ही तरह rank करेंगे। दो-period example में दोनों losses उन्हीं noisy observations पर निकाले जाते हैं, लेकिन forecast errors को अलग importance देते हैं

Expected ranking invariance यह guarantee नहीं है कि हर observed sample में latent-variance ranking ही मिलेगी। Proxy noise observed losses में variation बढ़ाता है और forecast comparison की test power घटा सकता है। छोटा evaluation period कुछ proxy values के संयोग से असामान्य रूप से ऊँचे या नीचे होने पर model ranking बदल सकता है, भले ही औसतन conditional unbiasedness सही हो।

Proxy तय target के लिए conditionally biased हो तो guarantee भी खत्म हो जाती है। High-frequency realized variance पर bid–ask bounce, stale या asynchronous quotes, sampling frequency और छूटे हुए overnight returns का असर हो सकता है। Intraday integrated variance के लिए बना proxy close-to-close conditional variance का unbiased measure नहीं भी हो सकता। Realized-volatility calculation guide construction choices समझाती है, और two-scale realized-volatility guide high-frequency data के microstructure noise के कुछ हिस्से को address करने के लिए design किया गया एक estimator बताती है। Hansen और Lunde (2006) बताते हैं कि market microstructure noise realized-variance measurement को प्रभावित कर सकता है (Hansen and Lunde, 2006)।

“Robust” का यहाँ सीमित अर्थ है: proxy conditionally unbiased होने पर expected ranking बनी रहती है। इसका मतलब यह नहीं कि sample score outliers को नज़रअंदाज़ करता है, हर realized-volatility measure unbiased है, या comparison target mismatch से सुरक्षित है। साफ़ बताएँ कि proxy क्या मापता है और कौन-सी assumptions उसे vₜ से जोड़ती हैं

एक ही forecast origin पर तय दो forecasts hᴬₜ और hᴮₜ के लिए expected MSE gap है E[L_MSE(xₜ,hᴬₜ) − L_MSE(xₜ,hᴮₜ) | Fₜ₋₁] = (vₜ − hᴬₜ)² − (vₜ − hᴮₜ)²। उसी proxy condition के तहत expected QLIKE gap है log(hᴬₜ) + vₜ/hᴬₜ − log(hᴮₜ) − vₜ/hᴮₜ। ये expressions दिखाते हैं कि proxy robustness क्या हटाती है: proxy के expected score में अतिरिक्त noise। फिर भी दोनों forecast comparisons अलग रहते हैं, क्योंकि MSE और QLIKE errors की अलग costs तय करते हैं।

Score चुनने के बाद हर common forecast origin पर paired loss difference बनाएँ। dₜ = L_A,ₜ − L_B,ₜ हो तो positive average B के पक्ष में है, क्योंकि B का loss कम है। Diebold–Mariano test paired differences की time series से जाँचता है कि expected difference शून्य है या नहीं; यह QLIKE और MSE में से नहीं चुनता और न यह तय करता है कि कौन-सा target महत्वपूर्ण होना चाहिए। Diebold–Mariano guide व्यापक inference framework समझाती है।

अगर multi-period forecasts overlap करते हैं या score differences में किसी और कारण से serial correlation है, तो उपयुक्त HAC estimate जैसा dependence-aware standard error इस्तेमाल करें। Newey और West (1987) ने positive semi-definite HAC covariance estimator दिया। Horizon, evaluation origins, loss-difference sign, covariance method और ज़रूरत पड़ने पर kernel तथा bandwidth बताएँ। Test का छोटा p-value biased या target से mismatched proxy को ठीक नहीं करता

Chronological out-of-sample design अपनाएँ और हर origin पर model जो forecast वास्तव में देता, उसे सहेजें। कौन-सा model बेहतर score करता है यह देखने से पहले target, proxy construction, horizon, unit, common sample और loss तय करें। Estimation windows, re-estimation rules, missing observations और evaluation period को बार-बार model tuning में इस्तेमाल किया गया या नहीं—यह सब दर्ज करें। अगर MSE और QLIKE दोनों की तुलना करके सिर्फ winner report करते हैं, तो उस चयन का खुलासा करें; उसे पहले से तय एकमात्र test की तरह न दिखाएँ।

हर model का mean loss, paired difference, sample size, proxy definition और inference method report करें। QLIKE के लिए hₜ > 0 होना चाहिए; forecast floor score बदल सकता है, इसलिए उसे evaluation से पहले तय करें। उचित proxy और sampling choices के प्रति sensitivity जाँचें, और यह भी स्पष्ट करें कि कई विकल्प आज़माने से selection problem बनती है।

कम volatility loss चुने गए score और proxy के तहत performance मापता है। इससे यह साबित नहीं होता कि कोई predictor volatility का कारण बनता है, returns normal distribution में हैं, या forecast पर आधारित strategy spreads, fees, slippage, financing और risk constraints के बाद लाभ देगी। Forecast skill और trading outcomes को अलग दावों के रूप में जाँचें