Arrow–Debreu State Prices को समझें
State-contingent securities समझें, जानें कि state prices probabilities से क्यों अलग हैं और option-price curvature risk-neutral density कैसे दिखाती है
सीधा जवाब
Arrow–Debreu security एक specified future state में one unit pay करती है और बाकी सभी जगह zero। इसकी current state price time discounting, physical likelihood और उस state में wealth की value को combine करती है, इसलिए यह raw probability नहीं है
Elementary claims एक future state isolate करती हैं
मान लें future uncertainty mutually exclusive states में divided है। Security s केवल state s होने पर one unit pay करती है
तब कोई भी state-contingent payoff X state quantities X_s के collection के रूप में लिखी जा सकती है
यदि सभी elementary claims trade या replicate की जा सकती हैं, तो finite state space में हर payoff price करने के लिए वे basis बनती हैं
State prices complete payoff vectors को value करती हैं
मान लें q_s state s में one unit की today's price है। Payoff X की price states के across q_s X_s का sum है
Linearity portfolios combine करने से आती है, जबकि positive state prices possible state में free nonnegative payoff को रोकती हैं
हर state में one unit वाले risk-free unit की price सभी q_s का sum है, जो relevant zero-coupon bond price के बराबर है
State price physical probability नहीं है
यदि p_s physical probability और m_s stochastic discount factor है, तो q_s = p_s m_s
Rare disaster state की per-unit price probability की तुलना में high हो सकती है क्योंकि वहां delivered wealth खास valuable होती है
q_s को bond price से divide करने पर risk-neutral probability मिलती है, जो original present-value state price से normalization को अलग करती है
Option spreads state claims approximate करती हैं
Tight butterfly spread मुख्यतः तब pay करती है जब underlying middle strike के पास end हो, इसलिए narrow state-contingent claim approximate करती है
Strike spacing shrink होने पर smooth European call-price curve का second strike derivative standard assumptions में discounted risk-neutral density recover करता है
यह Breeden–Litzenberger result observable cross-strike curvature को state prices से जोड़ता है, physical beliefs से directly नहीं
No-arbitrage shape restrictions लगाता है
Call prices strike के साथ decrease और convex रहनी चाहिए क्योंकि digital और butterfly state claims की prices negative नहीं हो सकतीं
Surface interpret करने से पहले calendar consistency और correct forward, discount, dividend तथा settlement treatment भी चाहिए
Violations stale quotes, bid-ask noise, discrete strikes, early exercise या genuine input inconsistency reflect कर सकती हैं, tradable arbitrage जरूरी नहीं
Incomplete markets state prices को underdetermined छोड़ती हैं
यदि traded payoffs सभी states को span नहीं करतीं, तो कई state-price vectors same observed prices reproduce कर सकते हैं
Untraded claim के bounds उन portfolios से मिलते हैं जो उसे subreplicate या superreplicate करती हैं, लेकिन एक price के लिए another criterion चाहिए
Strikes के across options जोड़ने से represented payoff space improve होती है, हालांकि finite और noisy contracts ideal continuum automatically नहीं बनाते
Extraction statistical inverse problem है
Real option chains sparse, noisy, asynchronous और limited strike range वाली होती हैं। Second derivatives इन imperfections को amplify करती हैं
Interpolation, smoothing, tail extrapolation, American exercise, rates और dividend assumptions inferred density को materially बदल सकती हैं
State prices इस्तेमाल करने से पहले repricing, positivity, bond price तक integration, forward consistency और smoothing sensitivity validate करें
आम सवाल
Arrow–Debreu security क्या है?
यह contingent claim है जो one specified future state होने पर one unit pay करती है और हर दूसरे state में zero
क्या state prices probabilities के समान हैं?
नहीं। इनमें likelihood, हर state में wealth की value और time discounting शामिल होते हैं
Options state prices कैसे दिखाती हैं?
Smooth European call-price curve का strike के respect में second derivative discounted risk-neutral density से correspond करता है
Estimated state prices unstable क्यों हो सकती हैं?
Sparse noisy prices को differentiate करना पड़ता है, इसलिए वे interpolation, tails, carry और exercise treatment पर heavily depend करती हैं