Stochastic Discount Factor को समझें
जानें कि stochastic discount factor समय और states के across payoffs को कैसे price करता है, risk premia को covariance से जोड़ता है और risk-neutral valuation से संबंधित है
सीधा जवाब
Stochastic discount factor या pricing kernel एक positive random variable m है जो future payoff X को P = E[mX] के माध्यम से value करती है। यह time discounting को उन states में delivered payoffs की extra value से जोड़ती है जो economics में costly हैं
एक equation कई assets को price करती है
One-period payoff X के लिए current price P physical probability measure के तहत P = E[mX] satisfy करती है
Model में शामिल हर asset को वही m price करना चाहिए। यह common restriction securities compare करने के लिए concept को useful बनाती है
Units और timing matter करते हैं: m future payoff की one unit को state by state present value में बदलती है, एक constant discount rate से नहीं
Marginal utility economic interpretation देती है
Representative-consumer model में m discounted future marginal utility को current marginal utility से divide करने के proportional होती है
जब consumption scarce और marginal utility high होती है, तब उस state में payoff खास valuable होती है, इसलिए m high होती है
यह interpretation preferences, consumption और equilibrium assumptions पर निर्भर करती है। Pricing equation को one utility model accept किए बिना भी इस्तेमाल किया जा सकता है
Covariance expected excess return तय करती है
Return R के लिए pricing condition E[mR] = 1 है। Expand करने पर E[m]E[R] + Cov(m,R) = 1 मिलता है
जो asset m high होने पर poor pay करती है वह little insurance देती है और उसे hold करने के लिए सामान्यतः higher expected return चाहिए
जो asset bad states में pay करती है वह higher price और lower expected return पा सकती है क्योंकि उसका payoff m के साथ positively covary करता है
Risk-free rate mean fix करती है
Known gross risk-free return R_f के लिए one-period setting में E[m]R_f = 1, इसलिए E[m] = 1/R_f
Mean ordinary time discounting संभालता है, जबकि m की states के बीच variation risk adjustments बनाती है
Deterministic m उस model में केवल time के माध्यम से price करेगी और covariance-based risk premia imply नहीं करेगी
State prices और risk-neutral probabilities rescalings हैं
Discrete states और physical probabilities p_s में state price q_s, state के discount factor m_s से p_s को multiply करने पर q_s = p_s m_s होती है
State prices को bond price से normalize करने पर risk-neutral probabilities मिलती हैं। SDF, state prices और pricing measure एक ही pricing functional को अलग तरह से encode करते हैं
उनकी interpretations अलग हैं: p_s physical frequency input है, q_s present-value weight है और normalized q_s pricing probability है
Incomplete market में SDF unique होना जरूरी नहीं
यदि traded payoffs हर state को span नहीं करतीं, तो कई positive stochastic discount factors उन्हीं observed assets को price कर सकती हैं
Unspanned payoffs के लिए extra model या criterion एक kernel चुनता है, जैसे वह one martingale measure चुनता है
Unconstrained statistical methods में estimated m negative भी हो सकती है, जो strong no-arbitrage interpretation के लिए जरूरी positive-kernel condition violate करती है
Empirical tests moment restrictions इस्तेमाल करते हैं
Candidate models हर tested return के लिए E[mR_i] = 1 imply करते हैं। Sample analogues pricing errors दिखाते हैं, लेकिन estimation और data uncertainty भी रखते हैं
Hansen–Jagannathan bound किसी valid m की volatility को attainable Sharpe ratios से जोड़ता है और overly smooth consumption-based kernels को constrain करता है
Model judge करने से पहले asset set, horizon, conditioning information, return convention, sampling error और m positive रहती है या नहीं report करें
आम सवाल
Simple terms में stochastic discount factor क्या है?
यह state-dependent weight है जो future payoff को today's price में बदलती है और costly states में payoffs को अधिक value देती है
Discount factor stochastic क्यों है?
Scarce या bad state में delivered one dollar abundant state में delivered one dollar से अधिक valuable हो सकता है
SDF risk premia को कैसे explain करती है?
जब m high हो तब poor perform करने वाली assets little insurance देती हैं और सामान्यतः higher expected returns मांगती हैं
क्या stochastic discount factor unique है?
Relevant payoff space complete हो तो unique होती है; unspanned risks के साथ कई kernels same traded assets को price कर सकती हैं