ADF बनाम Phillips–Perron: यूनिट-रूट परीक्षणों में क्या अंतर है

स्वप्रतिगामी स्तर समीकरण में यूनिट रूट का अर्थ है कि कोई आघात स्तर से घटे, यह आवश्यक नहीं। प्रथम अंतर को विलंबित स्तर पर प्रतिगमन के रूप में लिखने से परिकल्पना स्पष्ट होती है: यदि विलंबित स्तर का गुणांक शून्य है, तो निर्दिष्ट मॉडल के अंतर्गत स्तर प्रक्रिया का मूल एक है। नियतात्मक पदों और अन्य मान्यताओं के अधीन ऋणात्मक गुणांक स्थिर वैकल्पिक परिकल्पना की दिशा में साक्ष्य है।

इसलिए सामान्य ADF और PP कार्यान्वयन में शून्य परिकल्पना “श्रृंखला स्थिर है” नहीं होती। शून्य परिकल्पना यूनिट रूट की है; विकल्प चुने गए नियतात्मक घटक के आसपास स्थिरता का है। सांख्यिक मान पर्याप्त ऋणात्मक न होने से शून्य परिकल्पना को अस्वीकार न करना यूनिट रूट का प्रमाण नहीं है। नमूने में यूनिट रूट और एक के निकट स्वप्रतिगामी मूल वाली अत्यधिक स्थिर प्रक्रिया में अंतर करने के लिए पर्याप्त जानकारी न भी हो सकती है।

यह KPSS जैसे उस परीक्षण से अलग है जिसकी शून्य परिकल्पना स्थिरता है, और प्रत्यक्ष सहसमेकन परीक्षण से भी अलग है। स्थिरता और यूनिट-रूट मार्गदर्शिका व्यापक अवधारणाएँ समझाती है; Engle–Granger मार्गदर्शिका उस विशेष स्थिति को देखती है जहाँ गैर-स्थिर श्रृंखलाओं का रैखिक संयोजन स्थिर होता है।

यूनिट-रूट प्रतिगमन में कोई नियतात्मक पद न रखना, केवल स्थिरांक रखना, या स्थिरांक के साथ रैखिक समय-प्रवृत्ति रखना संभव है। ये दिखावे के विकल्प नहीं हैं। स्थिरांक यूनिट-रूट शून्य के अंतर्गत drift और स्थिर विकल्प के अंतर्गत गैर-शून्य माध्य की अनुमति देता है। समय-प्रवृत्ति स्थिर विकल्प को नियतात्मक trend के आसपास उतार-चढ़ाव करने देती है। चुने गए पदों से मॉडल और शून्य वितरण बदलता है।

अनावश्यक trend जोड़ने से अतिरिक्त पैरामीटर अनुमानित होते हैं और परीक्षण की शक्ति घट सकती है। वास्तविक drift या trend हटाने से परीक्षण का आकार और व्याख्या विकृत हो सकती है। डेटा-जनन प्रक्रिया के प्रश्न और श्रृंखला के ग्राफ़ के आधार पर विनिर्देश चुनें, उसे स्पष्ट लिखें और उसी के अनुरूप क्रांतिक मान लें। मनचाहा अस्वीकार मिलने वाला विकल्प बाद में न चुनें।

लॉग कीमत, spread, ब्याज दर और प्रतिफल पर भी यही बात लागू होती है। कीमत के स्तर में ऊपर की trend उचित हो सकती है, पर प्रतिफल में नहीं। कौन-सा आर्थिक चर जाँचा जा रहा है, यह परीक्षण स्वयं नहीं चुनता। नियतात्मक घटक परिकल्पना का हिस्सा हैं, छिपा हुआ preprocessing विकल्प नहीं।

Augmented Dickey–Fuller प्रतिगमन इस प्रकार लिखा जा सकता है:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + Σᵢ₌₁ᵖ φᵢΔyₜ₋ᵢ + εₜ

यहाँ dₜ में चुने गए नियतात्मक पद हैं और शून्य परिकल्पना H₀: γ = 0 है। अतिरिक्त विलंबित अंतर इस उद्देश्य से जोड़े जाते हैं कि बचा हुआ disturbance परीक्षण के सन्निकटन के लिए पर्याप्त रूप से उपयुक्त हो। वे प्रतिगमन में अल्पकालीन गतिशीलता को पैरामीट्रिक ढंग से मॉडल करते हैं; यूनिट-रूट पर कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं लगाते।

लैग क्रम p महत्वपूर्ण है। बहुत कम लैग से εₜ में क्रमिक सहसंबंध बच सकता है और अपेक्षित सन्निकटन कमज़ोर पड़ सकता है। बहुत अधिक लैग स्वतंत्रता की डिग्री लेते हैं और विशेषकर छोटे नमूने में शक्ति घटा सकते हैं। घोषित अधिकतम लैग से शुरुआत करें, उचित सूचना-मापदंड की तुलना अवशेष निदान से करें, और बताएँ कि पास के लैग विकल्प परिणाम बदलते हैं या नहीं। चुना गया छोटा लैग यह साबित नहीं करता कि बची निर्भरता हानिरहित है। Harris (1992)90022-Q) ADF लैग संरचना, आकार और शक्ति के संचालन-संबंधी विकल्पों का अध्ययन करता है।

कुछ प्रक्रियाओं में लैग चुनना कठिन होता है। Ng और Perron दिखाते हैं कि −1 के पास moving-average root होने पर उनके अध्ययन किए गए यूनिट-रूट तरीकों में पारंपरिक AIC या BIC आवश्यकता से बहुत कम augmentation lag चुन सकते हैं। उनके संशोधित सूचना मापदंड GLS detrending वाले यूनिट-रूट तरीकों और संबंधित परीक्षणों के लिए बनाए गए हैं। यह विशेष गतिशीलता के लिए चेतावनी है, कोई सार्वभौमिक नियम नहीं कि कोई एक मापदंड या लंबा लैग हमेशा बेहतर है।

Phillips–Perron परीक्षण ADF के विलंबित-अंतर योग के बिना Dickey–Fuller शैली के प्रतिगमन से शुरू होता है:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + uₜ

इसके बाद वह अल्पकालीन विचरण और दीर्घकालीन सहप्रसरण के अनुमानों से परीक्षण सांख्यिक मान सुधारता है। दीर्घकालीन विचरण अनुमान का एक सामान्य रूप है:

Ω̂ₗ = γ̂₀ + 2Σⱼ₌₁ˡ K(j/(ℓ+1))γ̂ⱼ

यहाँ γ̂ⱼ अवशेष स्व-सहप्रसरण हैं, K kernel weight है और ℓ बैंडविड्थ या truncation चुनाव है। PP सांख्यिक मान और सॉफ़्टवेयर परंपरा के अनुसार सटीक परिभाषा बदलती है। वैचारिक अंतर स्थिर है: ADF प्रतिगमन में विलंबित अंतर जोड़ता है; PP छोटे प्रतिगमन के सांख्यिक मान पर निर्भरता का nonparametric सुधार लागू करता है।

PP केवल “robust standard errors वाला ADF” नहीं है। इसका सुधार यूनिट-रूट सांख्यिक मान और उसके asymptotic उपचार को बदलता है; सामान्य robust regression output से साधारण t critical value वैध नहीं हो जाती। Kernel और bandwidth तय करते हैं कि सुधार कितनी निर्भरता पकड़ेगा। बहुत छोटी bandwidth प्रासंगिक सहसंबंध छोड़ सकती है; बहुत बड़ी bandwidth दीर्घकालीन विचरण के अनुमान को शोरयुक्त बना सकती है।

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यूनिट-रूट शून्य के अंतर्गत विलंबित स्तर स्थिर regressor नहीं, stochastic trend से आता है। इसलिए DF-परिवार के सांख्यिक मानों के limiting distributions गैर-मानक होते हैं। बड़े नमूने में भी पारंपरिक t तालिका उचित संदर्भ नहीं है। क्रांतिक मान इस पर निर्भर करते हैं कि स्थिरांक, समय-प्रवृत्ति, कौन-सा सांख्यिक मान और कौन-सा कार्यान्वयन चुना गया है।

PP सांख्यिक मान निर्भरता के लिए रूपांतरित किए जाते हैं, लेकिन यूनिट-रूट शून्य का मूल्यांकन फिर भी उपयुक्त गैर-मानक संदर्भ वितरण से होता है। ऐसे मान्य कार्यान्वयन के critical value या p-value लें जो नियतात्मक पदों और सांख्यिक मान से मेल खाता हो। एक विनिर्देश के ADF मान की तुलना दूसरे विनिर्देश के PP critical values से न करें और दिखाए गए coefficient t-ratio को साधारण Student t न मानें।

Asymptotic calibration हर finite sample में अच्छे व्यवहार की गारंटी नहीं देती। Schwert का Monte Carlo अध्ययन यूनिट-रूट प्रक्रियाओं की model misspecification के प्रति संवेदनशीलता और विधियों के अलग finite-sample व्यवहार की रिपोर्ट करता है। इसलिए p-value को नमूने की अवधि, डेटा की निर्भरता, लैग या bandwidth और प्रतिगमन विनिर्देश के साथ पढ़ें।

परीक्षण का आकार सही यूनिट-रूट शून्य को अस्वीकार करने की संभावना है; शक्ति किसी निर्दिष्ट स्थिर विकल्प के अंतर्गत अस्वीकार करने की संभावना है। वास्तविक निर्भरता संरचना में आकार गलत होने पर कोई परिणाम नमूने में निर्णायक दिखकर भी भटका सकता है। ADF लैग और PP का long-run covariance सुधार संबंधित निर्भरता समस्याओं के लिए अलग सन्निकटन हैं; एक का परिणाम दूसरे की मजबूती की गारंटी नहीं है।

ADF में देखें कि लैग जोड़ने के बाद अवशेषों में स्व-सहसंबंध बचा है या नहीं और एक और लैग से निष्कर्ष बदलता है या नहीं। PP में kernel और bandwidth rule बताएं और उचित विकल्प जाँचें। ये sensitivity checks हैं, अनेक विनिर्देश चलाकर सबसे अनुकूल p-value रखने की अनुमति नहीं। Ng–Perron के नतीजे यह भी चेताते हैं कि लैग चयन का disturbance process और deterministic detrending से अंतःक्रिया होती है; कोई यांत्रिक सूचना-मापदंड हर design का समाधान नहीं है।

बहुत persistent लेकिन स्थिर विकल्पों के विरुद्ध दोनों परीक्षणों की शक्ति कम हो सकती है। शून्य को अस्वीकार न करना इस बात का सकारात्मक प्रमाण नहीं कि differencing आवश्यक है। नमूना छोटा हो, root एक के पास हो या निष्कर्ष मॉडल के लिए केंद्रीय हो, तो ADF और PP को स्वतंत्र वोट मानने के बजाय स्पष्ट assumptions वाली पूरक जानकारी और अन्य तरीकों पर विचार करें।

स्तर में छलांग, trend change, policy regime, मुद्रा पेग का बदलाव या market structure का परिवर्तन श्रृंखला को बहुत persistent दिखा सकता है, जबकि बदलते नियतात्मक पथ के आसपास स्थिर खंड बेहतर वर्णन हो सकते हैं। बड़े ऐतिहासिक बदलावों पर Perron का विश्लेषण दिखाता है कि break को अनुमति देने पर यूनिट-रूट निष्कर्ष बदल सकता है। मानक ADF और PP हर break को अपने-आप नहीं खोजते।

श्रृंखला का ग्राफ़ देखें, ज्ञात संस्थागत बदलाव लिखें और पूछें कि break-aware test या segmented model वास्तविक प्रश्न का उत्तर देता है या नहीं। उसी नमूने को देखकर बाद में break ढूँढ़ना inference को प्रभावित कर सकता है; खोज के लिए सही critical value वाला तरीका अपनाएँ या विश्लेषण को exploratory कहें। Bai–Perron मार्गदर्शिका regression-break estimation समझाती है; यह अपरिवर्तित ADF या PP का सीधा सुधार नहीं है।

रूपांतरण भी मायने रखता है। कीमत का स्तर, log price, price spread और return अलग आर्थिक चर हैं। यूनिट-रूट जैसे स्तर को differencing करने से अधिक स्थिर श्रृंखला मिल सकती है; स्थिर स्तर को differencing करने से जानकारी छूट सकती है और अनावश्यक noisy विनिर्देश बन सकता है। Pairs research में cointegration analysis अलग stochastic trend और संभावित स्थिर spread में अंतर करने में मदद करता है। कोई diagnostic अकेला लाभदायक strategy सिद्ध नहीं करता।

मान लें एक काल्पनिक स्तर इस प्रकार चलता है:

yₜ = yₜ₋₁ + μ + εₜ

μ स्थिर drift है और εₜ क्रमिक रूप से निर्भर innovations हो सकते हैं। yₜ₋₁ घटाने पर Δyₜ = μ + εₜ मिलता है; संबंधित अंतर-प्रतिगमन में विलंबित स्तर का गुणांक γ शून्य रहता है। यही यूनिट-रूट शून्य का बीजीय रूप है। यह बीजगणित p-value नहीं देता: संदर्भ वितरण गैर-मानक है और नियतात्मक पदों तथा निर्भरता उपचार पर निर्भर है।

ADF fit करने पर विलंबित अंतर प्रतिगमन में अल्पकालीन निर्भरता दर्शाने की कोशिश करते हैं। PP में आधार समीकरण छोटा रहता है और सांख्यिक मान को अनुमानित दीर्घकालीन सहप्रसरण से सुधारा जाता है। यदि डेटा में नियतात्मक trend break है तो सॉफ़्टवेयर का सांख्यिक मान सटीक दिखने पर भी दोनों मानक कार्यान्वयन गलत निर्दिष्ट हो सकते हैं।

तुलना की तीन परतें हैं: substantive null, प्रतिगमन और नियतात्मक विनिर्देश, तथा बची निर्भरता का सुधार। पहली दो स्थिर रखने पर ADF और PP उपयोगी वैकल्पिक निदान हैं; तीनों बदलते हुए किसी एक में rejection ढूँढ़ना robustness check नहीं। परिणामों का अंतर assumptions और tuning देखने का संकेत है, विजेता द्वारा मॉडल तय करने का आधार नहीं।

चर और रूपांतरण, नमूना अवधि और आवृत्ति, नियतात्मक पद, ADF lag rule और चुना order, या PP statistic, kernel और bandwidth बताएं। Null और alternative, statistic, उपयुक्त critical value या p-value, तथा residual autocorrelation और break checks दर्ज करें। उचित settings के अनुसार नतीजा बदलता है तो बताएं; केवल पसंदीदा कथा का समर्थन करने वाला विनिर्देश न दिखाएं।

उपयोगी कार्यप्रवाह में पहले लक्ष्य और आर्थिक मॉडल तय करें, नियतात्मक पद चुनें, सही विनिर्देश वाला ADF या PP चलाएँ, निर्भरता और संभावित break जाँचें और पूरक साक्ष्य से तुलना करें। Variance-ratio मार्गदर्शिका random-walk व्यवहार का अलग निहितार्थ देखती है। उसका null समान नहीं है और वह यूनिट-रूट परीक्षण का स्थान नहीं लेती।

P-value सीमा पार करने पर ADF या PP differencing का आदेश नहीं देता। Differencing श्रृंखला और प्रश्न पर मॉडलिंग निर्णय है: परिवर्तन का पूर्वानुमान, long-run relation का अनुमान, trading spread का परीक्षण या स्तर की जानकारी बनाए रखना अलग चुनाव करा सकते हैं। परीक्षण निर्णय में मदद करता है; अंतिम रूपांतरण में data-generating story, stability, forecast objective और cointegrating structure भी शामिल होने चाहिए।