KPSS स्थिरता परीक्षण: शून्य परिकल्पना, सांख्यिकी और बैंडविड्थ

Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin परीक्षण को संक्षेप में KPSS कहते हैं। यह प्रचलित Dickey–Fuller परीक्षणों की शून्य परिकल्पना उलट देता है। KPSS की शून्य परिकल्पना है कि श्रृंखला परीक्षण में चुने गए नियतात्मक पदों के आसपास स्थिर है। मूल रूपरेखा में वैकल्पिक परिकल्पना धनात्मक innovation variance वाला random-walk component स्वीकार करती है।

यह चुनाव नतीजे को पढ़ने का तरीका बदलता है। पर्याप्त बड़ा KPSS सांख्यिकी चुनी गई स्तर या प्रवृत्ति-स्थिरता की शून्य परिकल्पना के विरुद्ध साक्ष्य देता है। छोटा सांख्यिकी बताता है कि चुनी गई व्यवस्था में नमूने ने उस परिकल्पना को खारिज करने के लिए पर्याप्त साक्ष्य नहीं दिया। इससे यह सिद्ध नहीं होता कि प्रक्रिया स्थिर है, उसका औसत हमेशा स्थिर रहेगा या कीमत कारोबार के योग्य स्तर पर लौटेगी।

स्थिरता और इकाई-मूल मार्गदर्शिका संबंधित अवधारणाओं का परिचय देती है। ADF और Phillips–Perron की तुलना ऐसे दो परीक्षण समझाती है जो इसके बजाय शून्य परिकल्पना में इकाई मूल रखते हैं। ये एक-दूसरे के पूरक प्रश्न हैं, एक ही परीक्षण के अदला-बदली योग्य रूप नहीं।

KPSS देखी गई श्रृंखला को इस रूप में लिखता है:

\[ y_t = d_t + r_t + \epsilon_t,\qquad r_t=r_{t-1}+u_t. \]

यहाँ \(d_t\) नियतात्मक भाग, \(r_t\) random-walk component और \(\epsilon_t\) स्थिर त्रुटि है। स्तर-स्थिरता परीक्षण में \(d_t\) में एक intercept होता है। प्रवृत्ति-स्थिरता परीक्षण में intercept और रैखिक समय-प्रवृत्ति दोनों होते हैं।

शून्य परिकल्पना random walk के innovation variance को शून्य रखती है: \(\sigma_u^2=0\)। तब श्रृंखला चुने गए स्थिरांक या नियतात्मक प्रवृत्ति के आसपास उतार-चढ़ाव करती है। वैकल्पिक परिकल्पना \(\sigma_u^2>0\) की अनुमति देती है, इसलिए झटके चुने गए पथ के आसपास मिटने के बजाय stochastic trend बना सकते हैं।

यह परीक्षण का बनाए रखा गया मॉडल है, यह दावा नहीं कि हर वैकल्पिक स्थिति पाठ्यपुस्तक वाला random walk होगी। संरचनात्मक टूट, fractional persistence, nonlinear dynamics, बदलता variance और गलत चुने गए नियतात्मक पद भी स्थिरता मॉडल को नमूने के लिए अनुपयुक्त बना सकते हैं। परीक्षण अपनी मान्यताओं के साथ तनाव दिखाता है, लेकिन कोई एक वैकल्पिक मॉडल पहचानता नहीं।

पहले चुने गए नियतात्मक पदों पर प्रेक्षणों का regression करें और अवशेषों को \(\hat e_t\) कहें। उनके संचयी आंशिक योग हैं:

\[ S_t=\sum_{j=1}^{t}\hat e_j. \]

KPSS सांख्यिकी आम तौर पर इस रूप में लिखा जाता है:

\[ \eta=\frac{1}{n^2\hat{\omega}^{\,2}}\sum_{t=1}^{n}S_t^2, \]

जहाँ \(n\) नमूने का आकार और \(\hat{\omega}^{\,2}\) अवशेषों के दीर्घकालिक विचरण का अनुमान है। यदि अवशेष कुछ समय तक एक ही चिह्न रखते हैं, तो \(S_t\) शून्य से दूर जाता है। आंशिक योगों का वर्ग करने से लगातार विचलन, अलग-अलग चिह्न-परिवर्तनों से अधिक योगदान देते हैं।

सांख्यिकी ऋणात्मक नहीं हो सकता। अनुमानित दीर्घकालिक विचरण की तुलना में संचयी विचलन जितने बड़े होते हैं, स्थिरता की शून्य परिकल्पना बनाए रखना उतना कठिन होता है। हर महत्वपूर्ण है: अवशेषों की serial dependence, स्थिर प्रक्रिया में भी, आंशिक योग के अपेक्षित उतार-चढ़ाव को बदल देती है।

स्तर वाला रूप पूछता है कि क्या श्रृंखला किसी स्थिरांक के आसपास स्थिर है। प्रवृत्ति वाला रूप पहले intercept और रैखिक समय-प्रवृत्ति हटाता है, फिर पूछता है कि बचा हुआ घटक स्थिर है या नहीं। कुछ प्रचलित implementations इन स्थितियों को mu और tau कहते हैं, लेकिन नाम और output का तरीका सॉफ़्टवेयर पर निर्भर करता है।

यह चुनाव अवशेषों और संदर्भ वितरण, दोनों को बदलता है। प्रवृत्ति के आसपास स्थिर श्रृंखला से नियतात्मक प्रवृत्ति हटाना भूलने पर अवशेषों में लंबा pattern बच सकता है और सांख्यिकी बढ़ सकता है। बिना कारण प्रवृत्ति जोड़ने से जाँचा जा रहा मॉडल बदल जाता है और कुछ विकल्पों का पता लगाने की शक्ति घट सकती है। डेटा की परिभाषा और आर्थिक प्रश्न के आधार पर चुनाव करें और उसे दर्ज करें; मनचाहा नतीजा आने तक सेटअप न बदलें।

KPSS के critical value स्तर और प्रवृत्ति मामलों के लिए अलग nonstandard asymptotic distributions से आते हैं। सांख्यिकी की तुलना सामान्य t या chi-square cutoff से न करें, और एक याद किया हुआ threshold सभी नियतात्मक विनिर्देशों पर लागू न करें। उपयुक्त तालिका या सॉफ़्टवेयर output का उपयोग करें और significance level बताएं।

कुछ implementations केवल p-value की सीमा बताते हैं, क्योंकि वे सांख्यिकी की तुलना सीमित critical-value table से करते हैं। ऐसे में output से समर्थित सीमा ही दें; बिना आधार के अतिरिक्त decimal न गढ़ें। दूसरे पाठक के लिए निर्णय दोहराना संभव हो, इसलिए स्तर या प्रवृत्ति का मामला और critical value का स्रोत बताएं।

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दीर्घकालिक विचरण का एक सामान्य estimator अवशेषों के weighted autocovariance का उपयोग करता है:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{\ell}w_j\hat{\gamma}_j. \]

यहाँ, \(\hat{\gamma}_j=n^{-1}\sum_{t=j+1}^{n}\hat e_t\hat e_{t-j}\) lag \(j\) पर sample autocovariance को denominator \(n\) के साथ परिभाषित करता है; अलग-अलग implementations में finite-sample conventions बदल सकती हैं।

Bartlett weights के लिए \(w_j=1-j/(\ell+1)\)। Truncation bandwidth \(\ell\) तय करती है कि कितने residual autocovariance शामिल होंगे और उनके weights कितनी तेजी से घटेंगे। Implementations में kernel, bandwidth rule और finite-sample convention अलग हो सकते हैं; नतीजे को दोहराने योग्य बनाने के लिए इन सेटिंगों का उल्लेख करें।

यह bandwidth ADF regression में जोड़े गए lagged differences की संख्या नहीं है। KPSS में यह long-run variance estimate नियंत्रित करती है; ADF में augmentation lags सीधे regression का हिस्सा होते हैं। सॉफ़्टवेयर दोनों के लिए lag शब्द इस्तेमाल कर सकता है, इसलिए केवल “lag 4” कहना दोहराने योग्य विवरण नहीं है।

बहुत छोटी bandwidth, दीर्घकालिक विचरण के अनुमान से महत्वपूर्ण short-run dependence छोड़ सकती है। बहुत लंबी bandwidth noisy sample autocovariance जोड़ सकती है। दोनों में से कोई भी सांख्यिकी, test size या power बदल सकती है; दिशा हर residual pattern के लिए एक जैसी नहीं होती। Kernel और lag-selection rule बताएं, फिर जाँचें कि पहले से तय कोई उचित विकल्प व्याख्या बदलता है या नहीं।

यह long-run variance adjustment heteroskedasticity-and-autocorrelation-consistent covariance estimation से संबंधित है। इससे KPSS हर तरह की dependence, structural break या गलत deterministic specification के प्रति robust नहीं हो जाता। Newey–West covariance मार्गदर्शिका HAC estimates की व्यापक भूमिका और सीमाएँ बताती है।

मान लें कि छह synthetic observations पर trend regression से अवशेष \(1,-1,0,0,-1,1\) मिलते हैं। उनका योग शून्य है और linear time trend के साथ उनका inner product भी शून्य है, जैसा trend-regression residual के लिए होना चाहिए। उनके partial sums \(1,0,0,0,-1,0\) हैं, इसलिए squared partial sums का योग \(2\) है।

गणित दिखाने के लिए denominator-\(n\) sample autocovariance convention और bandwidth एक वाले Bartlett weight का उपयोग करें। Residual variance term \(\hat{\gamma}_0=4/6=2/3\) है। Lag-one autocovariance \(\hat{\gamma}_1=-2/6=-1/3\) है और उसका Bartlett weight \(1/2\) है। इसलिए:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\frac{2}{3}+2\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}, \qquad \eta=\frac{2}{6^2(1/3)}=\frac{1}{6}\approx0.167. \]

छह बिंदुओं वाली यह गणना केवल तरीका दिखाती है। सामान्य asymptotic KPSS निर्णय के लिए नमूना बहुत छोटा है; इस सांख्यिकी की तुलना प्रकाशित critical value से ऐसे न करें जैसे यह empirical finding हो।

ADF-प्रकार के परीक्षण के साथ KPSS चलाने से पता चल सकता है कि निष्कर्ष शून्य परिकल्पना पर कितना निर्भर है। दोनों को दो अलग मॉडलों के तहत साक्ष्य की तरह पढ़ें:

Lag correction, deterministic specification, उपयोग किए गए नमूने और finite-sample approximation में परीक्षण अलग हो सकते हैं। जहाँ संभव हो चुनावों को मिलाएँ और अपरिहार्य अंतर दर्ज करें। चार परिणामों को अपने-आप लागू होने वाला differencing rule न बनाएँ। किसी null को खारिज न करना यह नहीं बताता कि वह सही है।

औसत में एक बार का बदलाव, बदलती प्रवृत्ति या variance break, हर regime में स्थिर प्रक्रिया को पूरी अवधि के नमूने में nonstationary दिखा सकता है। दूसरी ओर, सीमित डेटा में एक के निकट root और unit root में अंतर करना कठिन हो सकता है। छोटे नमूने, outlier, heavy tails, nonlinear adjustment और fractional integration भी reference approximation को भटका सकते हैं।

परीक्षण बताने से पहले स्तर, चुना गया deterministic fit और residuals का plot बनाएं। Break संभव हो तो ऐसा break-aware design अपनाएँ जिसमें null, break treatment और critical values साफ बताए गए हों। यदि कई break date या bandwidth खोजे गए हों, तो यह चयन बताएँ; खोज में सबसे छोटा p-value एक अप्रभावित परीक्षण-नतीजा नहीं है।

किसी प्रस्तावित pair या spread के लिए KPSS यह नहीं जाँचता कि दो assets cointegrated हैं या नहीं। Engle–Granger मार्गदर्शिका residual-based cointegration प्रक्रिया और उसकी अलग critical-value समस्या समझाती है। Johansen cointegration rank मार्गदर्शिका system approach बताती है। किसी एक price series पर KPSS नतीजा इनमें से किसी का विकल्प नहीं है।

यदि अनुमानित hedge ratio, ARMA model या चुनी हुई break date से मिले residuals पर KPSS लगाते हैं, तो ये residuals पहले की fitting step से आए हैं। Parameter estimation और model selection null distribution बदल सकते हैं। यह न मानें कि सामान्य critical values पूरे pipeline पर लागू हैं; fitted model के लिए calibrated residual test या ऐसा bootstrap उपयोग करें जो estimation steps को दोहराता हो।

Variable और उसका transformation, observations की संख्या, level या trend null, deterministic terms, long-run variance kernel, bandwidth rule, statistic, उपयुक्त critical values या p-value और significance level बताएँ। Sensitivity check तभी दिखाएँ जब उसके विकल्प उचित आधार पर और पारदर्शी ढंग से चुने गए हों; कई windows और versions आज़माकर सबसे आकर्षक नतीजा न चुनें।

Market data के लिए sample dates, frequency, session alignment, missing values का उपचार और यह बताएँ कि series price, return, residual या spread है। KPSS null को खारिज न करना इस बात का साक्ष्य नहीं है कि spread जल्दी converge करेगा। Mean-reversion strategy के लिए परिभाषित equilibrium, out-of-sample evaluation, लाइव समय पर उपलब्ध signal timing और spread, funding, borrow तथा execution की यथार्थ लागत भी चाहिए।

लॉग-मूल्य के स्तर पर परीक्षण और लॉग-मूल्य के प्रथम अंतर, यानी प्रतिफल, पर परीक्षण अलग-अलग प्रश्न पूछते हैं। कुछ मॉडलों में अंतर लेने से stochastic trend हट सकता है, लेकिन इससे अध्ययन का चर बदलता है और दो परिसंपत्तियों के बीच दीर्घकालिक संबंध सिद्ध नहीं होता। लक्ष्य मात्रा और मॉडल के अनुसार रूपांतरण चुनें और उसे स्पष्ट रूप से दर्ज करें।

Kwiatkowski, Phillips, Schmidt और Shin का 1992 का लेख90104-Y) इस परीक्षण को random-walk component का variance शून्य होने की LM जाँच के रूप में प्रस्तुत करता है। HAC covariance estimation के लिए Newey और West का 1987 का लेख positive-semidefinite विधि का प्राथमिक स्रोत है। इकाई-मूल शून्य से तुलना के लिए Dickey और Fuller का 1979 का लेख देखें।