Variance Ratio Test: Random Walk, अवधि और ट्रेडिंग

मान लें \(P_t\) देखी गई कीमत है और \(x_t=\ln(P_t)\) उसका log price है। एक-अवधि का log return \(r_t=x_t-x_{t-1}\) है। \(q\)-अवधि का log return लगातार \(q\) एक-अवधि के रिटर्न जोड़ता है। यदि ये increments असंबद्ध हों और उनका variance स्थिर हो, तो योग का variance \(q\) के अनुपात में बढ़ता है।

Population variance ratio है

\[ \operatorname{VR}(q)=\frac{\operatorname{Var}(r_t+r_{t-1}+\cdots+r_{t-q+1})}{q\operatorname{Var}(r_t)}. \]

इस variance-scaling शर्त के तहत, \(\operatorname{VR}(q)=1\)। Lo–MacKinlay प्रक्रिया इस संबंध को sample statistic और random-walk restriction के परीक्षण में बदलती है। “एक” असंबद्ध increments से मिलने वाला variance-scaling benchmark है; इसका मतलब यह नहीं कि कीमतें सहज या पूर्वानुमेय हैं। उनके मूल अध्ययन ने ऐतिहासिक U.S. equity data में random-walk specification को अस्वीकार किया था, साथ ही साफ चेतावनी दी थी कि सिर्फ अस्वीकृति से mean-reverting price model स्थापित नहीं होता।

स्थिर गुणों वाले एक-अवधि के रिटर्न में lag \(j\) का autocorrelation \(\rho_j\) हो, तो उसी population ratio को इस तरह लिख सकते हैं:

\[ \operatorname{VR}(q)=1+2\sum_{j=1}^{q-1}\left(1-\frac{j}{q}\right)\rho_j. \]

हर autocorrelation को मिलने वाला weight उसके lag के साथ घटता है। इसलिए यह ratio \(q-1\) तक के serial correlation का weighted सार है; यह किसी एक खास lag के autocorrelation के बराबर नहीं है।

\(q=4\) के लिए मान लें कि एक काल्पनिक return process में \(\rho_1=0.10\), \(\rho_2=0.04\), और \(\rho_3=0\)। तब

\[ \operatorname{VR}(4)=1+2\left(\frac{3}{4}\times0.10+\frac{2}{4}\times0.04\right)=1.17. \]

एक से ऊपर का मान उन अवधियों में सकारात्मक weighted dependence के अनुरूप है। यदि पहले दो autocorrelation क्रमशः \(-0.10\) और \(-0.04\), और तीसरा शून्य होता, तो ratio \(0.83\) होता। ये काल्पनिक population गणनाएँ हैं। Sampling variation, बदलती volatility और estimator के finite-sample सुधारों के कारण देखा गया sample estimate अलग हो सकता है।

अलग-अलग autocorrelation patterns से एक ही अवधि पर समान ratio मिल सकता है। सकारात्मक और नकारात्मक योगदान एक-दूसरे को काट सकते हैं, इसलिए ठीक एक का ratio पाने के लिए शामिल हर autocorrelation का शून्य होना जरूरी नहीं है। पहले से तय कई अवधियों को देखने पर अलग pattern दिख सकता है, हालांकि परिणामों की एक साथ जाँच के लिए joint inference चाहिए।

यह परीक्षण आम तौर पर समान अंतराल वाले log prices या उनके first differences पर लगाया जाता है। यदि observations daily close हैं, तो \(q=5\) पाँच trading sessions का return है, न कि अलग संख्या वाले trading sessions वाला calendar week। छूटे हुए sessions, overnight gaps और अनियमित timestamps “एक अवधि” का अर्थ बदल देते हैं। Market calendar बताएं और यह भी कि prices में distributions या अन्य corporate actions शामिल हैं या नहीं।

Log return के बजाय simple return चुनना modeling choice है; हर horizon पर यह केवल नाम बदलना नहीं है। Log returns समय के साथ सीधे जुड़ते हैं, जबकि simple returns compound होते हैं। छोटे बदलावों में संख्याएँ करीब हो सकती हैं, लेकिन परिभाषा शोध-प्रश्न से मेल खानी चाहिए और उदाहरण, estimation तथा backtest में एक जैसी रहनी चाहिए। Price level पर ऐसे formula न लगाएँ मानो वह return series हो।

अधिकांश implementations में overlapping \(q\)-अवधि के returns बनाए जाते हैं, ताकि हर उपलब्ध observation estimate में योगदान दे। इससे aggregated observations बढ़ते हैं, लेकिन पास-पास की windows कई एक-अवधि के returns साझा करती हैं और स्वतंत्र नहीं होतीं। परीक्षण का standard error अपनी maintained assumptions के तहत इस बनावट को ध्यान में रखता है; overlapping returns को स्वतंत्र मानने से uncertainty कम आंकी जाएगी।

मान लें किसी काल्पनिक asset का एक-session return variance \(0.0001\) है, जो एक-session standard deviation 1% के बराबर है। असंबद्ध increments में चार-session return variance \(4\times0.0001=0.0004\) होगा, इसलिए standard deviation 2% और ratio \(0.0004/(4\times0.0001)=1\) होगा।

अब मान लें एक-session estimate \(0.0001\) है, जबकि अनुमानित चार-session variance \(0.000468\) है। Sample ratio \(0.000468/(4\times0.0001)=1.17\) होगा। यह गणना चुनी हुई अवधियों में dispersion की तुलना बताती है। इसका अर्थ यह नहीं कि अपेक्षित return 17% अधिक है, कल का return सकारात्मक होने की संभावना 17% अधिक है, या चार-session position का expected payoff 17% है।

Inference का दावा करने के लिए estimated ratio की तुलना उसके test distribution और uncertainty estimate से करें। Ratio 1 के करीब हो, तब भी price process के दूसरे पहलू पूरे random-walk model का उल्लंघन कर सकते हैं। शोर वाले या छोटे sample में 1 से दूर ratio भी सांख्यिकीय रूप से 1 से अलग न हो। Estimate, test statistic, p-value और आर्थिक व्याख्या अलग रखें।

क्लासिक homoskedastic Lo–MacKinlay statistic, \(\widehat{\operatorname{VR}}(q)-1\) को constant-variance increments के तहत निकले asymptotic variance से studentize करता है। यदि returns की conditional volatility बदलती है, तो उस standard error से test size गलत आंका जा सकता है। Lo और MacKinlay variance-ratio statistic के लिए heteroskedasticity-consistent variance estimate भी विकसित करते हैं।

“Heteroskedasticity-consistent” का दायरा खास है: परीक्षण की assumptions के भीतर return variance में व्यापक बदलाव के लिए यह inference समायोजित करता है। यह गलत price series, हर संभव अवधि पर dependence, structural breaks, stale quotes या बहुत छोटे sample को ठीक नहीं करता। कुछ software दोनों विकल्पों को \(Z\) और \(Z^*\) जैसे चिह्नों से दिखाते हैं; कौन-सा null और standard-error formula लागू है, यह documentation से जाँचें।

1989 के finite-sample अध्ययन ने पाया कि प्रदर्शन चुने गए null और alternative पर निर्भर करता है। उसमें जाँचे गए कुछ प्रतिस्पर्धी tests की तुलना में heteroskedastic random-walk null के तहत बेहतर reliability रिपोर्ट की गई। यह हर sample या implementation के लिए सार्वभौमिक गारंटी नहीं है। छोटे sample में bootstrap या अन्य finite-sample तरीका उपयोगी हो सकता है, लेकिन resampling design को भी प्रश्न से जुड़ी dependence और volatility विशेषताएँ बनाए रखनी चाहिए।

एक चुने हुए \(q\) का test पूछता है कि क्या उस खास अवधि पर variance-scaling restriction लागू होती है। यदि कई horizons देखने के बाद \(q\) चुना गया, तो रिपोर्ट किया गया p-value उस खोज का हिसाब नहीं रखता। \(q=2,4,8,16\) आजमाकर सिर्फ सबसे significant नतीजा दिखाने से false positive की संभावना बढ़ती है।

Joint variance-ratio procedure पहले से तय horizons के समूह को एक साथ जाँचता है और multiple comparisons के अनुसार निर्णय समायोजित करता है। Chow और Denning ने ऐसा multiple test इसलिए विकसित किया क्योंकि कई individual ratios पर अलग-अलग unadjusted निर्णय कुल Type I error rate को बहुत बढ़ा सकते हैं। Joint नतीजा जाँचे गए horizons के समूह के बारे में है; यह नहीं बताता कि कौन-सा lag, mechanism या market participant विचलन का कारण था।

Sampling frequency और शोध-प्रश्न से जुड़े कारण के आधार पर horizons चुनें। एक दिन, एक सप्ताह और एक महीने की तुलना उपयोगी हो सकती है, लेकिन हर एक का information set और overlapping-return ढाँचा अलग होता है। केवल सबसे अनुकूल horizon नहीं, जाँची गई पूरी सूची रिपोर्ट करें और exploratory scan को confirmatory test से अलग रखें।

एक से ऊपर का estimated ratio चुने हुए lags में सकारात्मक weighted serial dependence के अनुरूप है। एक से नीचे का मान नकारात्मक weighted dependence के अनुरूप है। इनमें से कोई भी अकेले momentum, mean reversion, कीमत का देर से समायोजन, inventory effects, bid–ask bounce, nonsynchronous trading या volatility process की विशिष्ट पहचान नहीं करता।

खास तौर पर, \(\operatorname{VR}(q)<1\) यह साबित नहीं करता कि price level stationary है। किसी खास अवधि पर ratio एक से कम हो सकता है, फिर भी series में stochastic trend हो सकता है। इसके विपरीत, random-walk restriction अस्वीकार करना stationary mean-reverting alternative साबित नहीं करता; Lo और MacKinlay ने साफ कहा कि उनके अध्ययन वाले equity data में अस्वीकृति से यह निष्कर्ष नहीं निकलता।

Inference इस पर भी निर्भर करता है कि जाँची गई चीज return, log price, excess return या कोई दूसरा transformed series है। Daily close-to-close returns का नतीजा intraday quotes या अलग asset universe पर अपने-आप लागू नहीं होता। जाँची गई वस्तु और उसकी व्याख्या सीमित और स्पष्ट रखें।

Transaction-price returns में bid–ask bounce छोटी अवधि पर नकारात्मक dependence बना सकता है, भले ही धीमी आर्थिक value process में reversal न हो। कम liquid securities में quotes अलग-अलग समय पर update हो सकते हैं और विभिन्न venues के closing prices अलग information windows पकड़ सकते हैं। ये बातें सबसे छोटी अवधि को अधिक प्रभावित कर सकती हैं। Pattern को market anomaly कहने से पहले quote quality, trading activity, timestamp alignment और धीमी sampling interval के प्रति sensitivity जाँचें।

जब return signs या levels में स्थायी दिशात्मक pattern न हो, तब भी volatility clustering standard errors को प्रभावित करती है। Mean, volatility, trading hours या market composition में structural change पूरे sample के एक ratio में अलग-अलग regimes मिला सकता है। केवल वह subperiod न चुनें जो पसंदीदा व्याख्या के अनुकूल हो; subperiod stability जाँचें।

Assets, frequencies, horizons, filters और sample endpoints में खोज करना एक और समस्या पैदा करता है: noise के आधार पर चयन। व्यापक खोज के बाद मिला असामान्य variance ratio पहले से तय hypothesis test नहीं होता। मुख्य horizon पहले से घोषित करें या उपयुक्त joint/resampling method अपनाएँ, फिर खोजे गए pattern को बाद के chronological data पर validate करें।

Variance-ratio test अलग-अलग horizons में return variability का सार देता है। यह direction, entry, exit, stop, position size, holding time या execution से पहले signal उपलब्ध होगा या नहीं बताता। स्थिर dependence pattern भी fees, spread, market impact, funding, borrow और turnover के बाद लाभ के लिए बहुत छोटा हो सकता है।

Trading study के लिए भविष्य के returns देखने से पहले signal और decision time तय करें। Formation window पर parameters estimate करके उन्हें स्थिर रखें और बाद के observations पर मूल्यांकन करें। यदि कई securities या horizons आजमाने के बाद नतीजा मिला है, तो सचमुच untouched test period रखें या खोज का हिसाब रखने वाला तरीका अपनाएँ। केवल सैद्धांतिक return forecast नहीं, realistic fills सहित after-cost नतीजों की baseline से तुलना करें।

Plots, autocorrelation checks, unit-root tests और stability analysis के साथ variance ratio को एक diagnostic की तरह इस्तेमाल करें। Variance-scaling से विचलन अधिक विशिष्ट model बनाने की प्रेरणा दे सकता है, लेकिन उस model की अपनी assumptions और out-of-sample evidence चाहिए। यह test एक moment restriction का संक्षिप्त वर्णन है, edge होने का प्रमाण नहीं।

Price की परिभाषा, return transformation, observation frequency, sample dates, उपयोगी observations की संख्या और returns overlapping थे या नहीं—यह बताएं। हर जाँचा गया horizon \(q\), sample variance ratio, standard-error version, test statistic, p-value, significance level और कई horizons के लिए किया गया joint adjustment रिपोर्ट करें।

बताएं कि missing observations, corporate actions, market closures और timestamps को कैसे संभाला। यह भी लिखें कि volatility-robust inference, bootstrap, subperiod या वैकल्पिक sampling intervals से नतीजा बदला या नहीं। Trading application में statistical sample और evaluation period अलग रखें तथा लागत, execution timing, selection rules और आजमाए गए सभी assets व horizons बताएं।

Lo और MacKinlay variance-ratio specification test प्रस्तुत करते हैं और उसका finite-sample size तथा power अध्ययन करते हैं। Chow और Denning बताते हैं कि कई variance ratios की जाँच में joint size control क्यों चाहिए90051-6)। संबंधित अवधारणाओं के लिए stationarity और unit roots, Engle–Granger cointegration, और Johansen cointegration rank test की गाइड देखें।