כיווץ הקווריאנציה של Ledoit–Wolf: נוסחה, מטרות וסיכון תיק

עבור \(T\) תצפיות תשואה על \(N\) נכסים, מטריצת הקווריאנציה המדגמית \(S\) אומדת את השונות של כל נכס ואת הקווריאנציה של כל זוג נכסים מתוך היסטוריה סופית אחת. מספר האיברים הייחודיים גדל בקירוב ביחס ל־\(N^2\). כאשר מספר הנכסים אינו קטן ביחס למספר התצפיות, אומדני קווריאנציה רבים עלולים לשאת רעש דגימה ניכר.

הרעש חשוב במיוחד כאשר הליך בניית התיק הופך את המטריצה. המטריצה ההופכית עלולה להעצים שגיאות אמידה: שינוי קטן במתאמים הנאמדים עשוי לגרום לשינוי גדול במשקולות האופטימליות. בקווריאנציה מדגמית רגילה לאחר החסרת הממוצע, דרגת מטריצת הנתונים אינה עולה על \(T-1\), ולכן \(S\) סינגולרית כאשר \(N\geq T\). גם לפני שהיא נעשית סינגולרית, ההתניה שלה עלולה להיות גרועה. Ledoit ו־Wolf דנים בקושי הזה של ממדים גבוהים בעבודתם על אומדן קווריאנציה מותנה היטב (200400096-4)).

כיווץ מוסיף מבנה לאומדן המדגמי הרועש. זו בחירה של רגולריזציה לקלט הקווריאנציה, ולא ראיה שהנכסים אכן מצייתים למודל המטרה; זו גם אינה דרך לאמוד תשואות צפויות. הבעיה הרחבה יותר של השפעת הערכים העצמיים של קווריאנציה מדגמית על סיכון התיק קשורה למדריך על ערכים עצמיים וסיכון פיננסי.

צורה ליניארית נפוצה היא

\[ \widehat{\Sigma}_{\mathrm{lin}}=(1-\widehat{\delta})S+\widehat{\delta}F,\qquad 0\leq\widehat{\delta}\leq1, \]

כאשר \(S\) היא הקווריאנציה המדגמית, \(F\) היא מטרה מובנית, ו־\(\widehat{\delta}\) הוא עוצמת הכיווץ הנאמדת. כאשר היא אפס, האומדן הוא מטריצת המדגם; כאשר היא אחת, האומדן הוא המטרה. ערכי ביניים יוצרים צירוף קמור.

הבחירה ב־\(F\) מגדירה אילו דפוסים האומדן מתייחס אליהם כאל יציבים מספיק כדי לשמר. העוצמה מגדירה כמה משקל לתת למבנה הזה לעומת המדגם. עבור מטרה והפסד מוגדרים, הליכי Ledoit–Wolf אומדים את העוצמה מתוך הנתונים במקום לדרוש תמהיל שנבחר באופן שרירותי. נוסחאות הצבה מדויקות משתנות לפי המטרה וההנחות; אין \(\widehat{\delta}\) יחיד, שאינו תלוי במטרה, שמגדיר כל שיטה המכונה “Ledoit–Wolf”.

התוצאה המקורית למטרת יחידה בממדים גבוהים מראה שצירוף קמור מסוים הוא אסימפטוטית אופטימלי תחת הפסד ריבועי ומשטר אסימפטוטי מוגדרים; היא אינה הבטחה אוניברסלית לכל מדגם או מטרה (Ledoit ו־Wolf, 200400096-4)). לכן תיאור האומדן צריך לציין גם את פונקציית ההפסד וגם את המטרה.

כמה אומדנים קשורים משתמשים באותו רעיון של צירוף, אך מקודדים מבני קווריאנציה שונים.

• מטרת מדד יחיד: גורם שוק מסביר את התנועה המשותפת, והמודל מטפל בשאר המבנה. Ledoit ו־Wolf הציעו צירוף בעל משקל אופטימלי של קווריאנציה מדגמית ושל קווריאנציה של מדד יחיד לאמידת קווריאנציית תשואות מניות (200300007-0)).
• מטרת מטריצת יחידה מסוקללת: באלכסון מופיעה רמת שונות משותפת, ומחוץ לאלכסון מופיעה קווריאנציה אפס. המטרה מושכת את הערכים העצמיים לעבר מרכז משותף ועשויה לשפר את ההתניה; היא כופה הנחות חזקות יותר של שונות שווה והיעדר קווריאנציה מאשר מטרת מתאם קבוע.
• מטרת מתאם קבוע: כל שונות מדגמית נשמרת, ואילו המתאמים הזוגיים מוחלפים במתאם ממוצע אחד. כך התנודתיות של הנכסים יכולה להיות שונה, בעוד דפוס התלות מפושט. מאמר מעשי מ־2004 מפתח כיווץ לעבר מטרה זו (Ledoit ו־Wolf, 2004).

אין לצמצם את הגרסאות האלה לטענה אחת שלפיה “Ledoit–Wolf מכווץ מתאמים לאפס”. בהתאם ל־\(F\), המטרה עשויה לשמר קווריאנציה של גורם משותף, למשוך ערכים עצמיים לעבר ממוצע או להזיז מתאמים זוגיים לעבר הממוצע שלהם בחתך הרוחב. גם שלב רגולריזציה של קווריאנציה לאחר שילוב אומדנים זוגיים, למשל בתהליך קווריאנציה לא־סינכרונית, הוא בחירת מודל נפרדת.

נסמן \(S_{ii}\) כשונות המדגמית של נכס \(i\), ו־\(s_i=\sqrt{S_{ii}}\). עבור \(N\) נכסים, חשבו כל מתאם מדגמי \(\widehat{\rho}_{ij}=S_{ij}/(s_is_j)\), ואז חשבו ממוצע של כל המתאמים הייחודיים מחוץ לאלכסון:

\[ \bar{\rho}=\frac{2}{N(N-1)}\sum_{i<j}\widehat{\rho}_{ij}. \]

מטרת המתאם הקבוע מוגדרת כך:

\[ F_{ii}=S_{ii},\qquad F_{ij}=\bar{\rho}\,s_is_j\quad(i\ne j). \]

לכן המטרה משמרת את השונויות המדגמיות באלכסון ומקצה את אותו מתאם \(\bar{\rho}\) לכל זוג נכסים. אומדן הקווריאנציה הסופי משלב את המטרה עם מטריצת המדגם המקורית; הוא אינו מחליף את כל התנודתיות בערך משותף אחד. בניית המטרה והעוצמה שלה שונות מאומדן למטרת מטריצת יחידה; המימוש של המחברים מתאר מטרה המשמרת את השונויות המדגמיות ומקצה מתאם משותף (מימוש ייחוס).

<!-- learn:illustration --> <!-- איור מושגי ללא טקסט: שלוש מטריצות קווריאנציה סימטריות בגודל 3×3 שומרות על אותם תאים באלכסון, בעוד קשרי המדגם השונים מחוץ לאלכסון נעים לעבר מטרה אחת של מתאם קבוע; אין אלה נתונים או אומדן. -->

נניח שמטריצת קווריאנציה מדגמית היפותטית, ביחידות של ריבוע נקודת אחוז, היא

\[ S=\begin{bmatrix} 4&3&-2\\ 3&9&6\\ -2&6&16 \end{bmatrix}\%^{2}. \]

סטיות התקן המדגמיות הן \(2\%\), \(3\%\) ו־\(4\%\). המתאמים הזוגיים הם \(3/(2\cdot3)=0.50\), \(-2/(2\cdot4)=-0.25\), ו־\(6/(3\cdot4)=0.50\). הממוצע שלהם הוא

\[ \bar{\rho}=(0.50-0.25+0.50)/3=0.25. \]

המטרה המתקבלת היא

\[ F=\begin{bmatrix} 4&1.5&2\\ 1.5&9&3\\ 2&3&16 \end{bmatrix}\%^{2}. \]

לצורך החישוב בלבד, נבחר \(\delta=0.40\). זהו ערך לימודי, ולא עוצמת Ledoit–Wolf שנאמדה עבור התצפיות המומצאות האלה:

\[ \widehat{\Sigma}=0.60S+0.40F= \begin{bmatrix} 4&2.4&-0.4\\ 2.4&9&4.8\\ -0.4&4.8&16 \end{bmatrix}\%^{2}. \]

האלכסון נשאר \(4,9,16\). איבר \((1,3)\) נע מ־\(-2\) לעבר ערך המטרה שלו, \(2\), ולכן כיווץ אינו אומר שכל קווריאנציה נעה לאפס. שתי המטריצות המוצגות הן חיוביות למחצה, ולכן גם הצירוף הקמור הזה חיובי למחצה. הדוגמה היפותטית וממחישה חשבון בלבד, ולא מטרה מומלצת או קשר שוק שנצפה.

במשקולות שוות \(w=(1/3,1/3,1/3)^\top\), השונות במודל היא \(w^\top\Sigma w\). סכום כל תשעת האיברים במטריצת המדגם הוא \(43\), ולכן

\[ w^\top S w=43/9\approx4.7778\ \%^{2}. \]

במטריצה המכווצת להמחשה סכום האיברים הוא \(42.6\), ולכן

\[ w^\top\widehat{\Sigma}w=42.6/9\approx4.7333\ \%^{2}. \]

ההבדל הקטן נובע באופן מכני משינוי קלט הקווריאנציה. הוא אינו ראיה שהאומדן המכווץ מנבא טוב יותר את השונות שתתממש. גם אופטימייזר של שונות מינימלית עשוי לייצר משקולות שונות, כי הוא משתמש בערכי הקווריאנציה ולעיתים קרובות גם במטריצה ההופכית שלהם. בתנאים מתאימים כיווץ עשוי להפוך את הקלטים לרגישים פחות לרעש דגימה, אך עדיין לשנות חשיפות ומחזור מסחר.

בפורטפוליו של שוויון סיכון, הקווריאנציה משפיעה על תרומת כל נכס לסיכון הכולל, ולא רק על השונות המצרפית; ראו את המדריך על תרומת סיכון שווה. אם אומדן סיכון משמש אחר כך להתאמת גודל פוזיציה, כמו במיקוד תנודתיות, עדיין צריך לטפל בנפרד באופק המטרה ובהבחנה בין ערך ממומש לתחזית.

כיווץ ליניארי משתמש בעוצמה סקלרית אחת כדי לשלב את כל מטריצת המדגם עם מטרה שנבחרה. במקרה של מטרת מטריצת יחידה, אפשר לפרש זאת במונחי ערכים עצמיים: ערכי המדגם נמשכים לעבר מרכז משותף, תוך שימור הווקטורים העצמיים המדגמיים. הדבר עשוי לייצב ספקטרום רועש, אך אותו משקל צירוף מגביל את מידת השינוי האפשרית של ערכים עצמיים שונים.

כיווץ לא ליניארי משנה את ערכי המדגם העצמיים בנפרד, ובדרך כלל משמר את הווקטורים העצמיים המדגמיים באומד המשתנה באופן שקול לסיבוב. מאמרם של Ledoit ו־Wolf מ־2012 מפתח טרנספורמציות לא ליניאריות לערכים עצמיים עבור אמידת קווריאנציה בממדים גבוהים (2012). מחקרם על בחירת תיקים מ־2017 בוחן אומדן המותאם למטרה זו (2017). אלה אינן הצירוף הליניארי הסקלרי שמוצג לעיל, ואין לתאר אותן כך.

אומדן גמיש יותר יכול להתאים את מבנה הקווריאנציה בקפידה רבה יותר תחת הנחותיו, אך הגמישות הנוספת אינה הופכת אותו למועדף אוטומטית בכל יקום נכסים או חלון זמן. השוו את האומדן המסוים, הנחותיו, החישוב והביצועים מחוץ למדגם. טרנספורמציית ערכים עצמיים גם אינה תחזית למשטר מתאמים עתידי.

כיווץ מצמצם שונות באמצעות הוספת מבנה, אך המבנה הזה עלול להיות שגוי. מטרת מדד יחיד עשויה להחמיץ קשרים בין מגזרים או סגנונות; מטרת מתאם קבוע עשויה להחמיץ אשכולות; מטריצת יחידה מסוקללת עשויה לדכא קווריאנציה אמיתית. שינוי משטר, שינוי בחשיפות לגורמים או תצפיות שאינן מסונכרנות עלולים להפוך מטרה מחלון היסטורי יחיד לתיאור גרוע של החלון הבא. השיטה אינה הופכת את תצפיות התשואה לעצמאיות או לסטציונריות.

לטענת החיוביות למחצה יש תנאים. אם \(S\) ו־\(F\) שתיהן חיוביות למחצה ו־\(0\leq\delta\leq1\), הצירוף הקמור שלהן חיובי למחצה. אין בכך כשלעצמו הבטחה לחיוביות ממש: למטרה עשויים להיות ערכים עצמיים אפסיים, או שמשקלה יהיה אפס. מחיקה זוגית של ערכים חסרים, עם תאריכים שונים לכל זוג נכסים, עלולה גם ליצור מטריצת מדגם \(S\) שאינה חיובית למחצה; במקרה כזה טיעון הקמירות אינו חל אלא אם מתקנים או מחליפים את הקלט הזה.

ציינו את הגדרת התשואה, תדירות הדגימה, חלון התצפיות, כלל הטיפול בנתונים חסרים, אופן הטיפול בממוצע, המטרה והליך קביעת העוצמה. היכן שמתאים, יישרו את כל הנכסים לפי סכמת תצפיות משותפת. אל תבחרו מטרה רק מפני שהיא מפיקה את בדיקת העבר האטרקטיבית ביותר על אותם נתונים שמשמשים להערכה; בחירת המטרה ותכנון התיק הם בעצמם החלטות מחקר.

הערכה מועילה קובעת את יקום הנכסים, אופק התשואה, כלל האיזון מחדש ומועד חיתוך המידע, ואז משווה באותם חלונות אימון את מטריצת המדגם, את אומדן הכיווץ שנבחר ואת אמת המידה הרלוונטית. אפשר לנקד תחזיות קווריאנציה מול מדד ממומש מאוחר יותר או להעריך תחזיות תיק על תקופות שהושארו מחוץ למדגם. דווחו על פונקציית ההפסד ועל אופן שקילתן של שגיאות בשונויות לעומת שגיאות בקווריאנציות. שגיאת מטריצה קטנה יותר במדגם תחת הפסד אחד אינה מעידה בהכרח על אומדן טוב יותר של סיכון תיק עתידי תחת מטרה אחרת.

ביישום לתיק, דווחו גם על ההשפעה על המשקולות, ריכוזיות, מחזור מסחר, אילוצים ועלויות עסקה משוערות. מטריצת הקווריאנציה היא קלט אחד בלבד להחלטה: תשואות צפויות, מימון, מגבלות סיכון והנחות ביצוע עשויים לשנות את התיק המתקבל. מספר תנאי נמוך יותר הוא תכונה של המטריצה, ולא ערובה לתשואה או לסיכון ממומשים.

הפסד באמידת מטריצה והפסד בהחלטת תיק אינם בני־החלפה. הפסד המסכם שגיאות ריבועיות על פני איברי המטריצה מתייחס לזוגות הנכסים באופן רחב, ואילו \(w^\top\Sigma w\) משקלל את איברי השונות והקווריאנציה לפי תיק מוגדר. ציינו אם המחקר מעריך שחזור של המטריצה עצמה או תחזיות סיכון לחשיפה מסוימת, ואז בחרו קריטריון תואם וחשפו אותו. עוצמת כיווץ שנבחרה למטרה אחת אינה אופטימלית אוטומטית למטרה האחרת.

שמרו על הערכה תקינה בזמן. בכל מועד תחזית, אמדו את עוצמת הכיווץ, בחרו את יקום הנכסים וכוונו פרמטרים אחרים רק בעזרת מידע שהיה זמין עד אותו מועד. אמידת העוצמה על המדגם המלא ולאחר מכן ניקוד תקופות מוקדמות יותר מכניסה מידע עתידי לבחירה. בהערכה מתגלגלת, חשבו מחדש את האומדן בכל נקודת התחלה באמצעות תשואות זמינות בלבד, ורשמו את אורך החלון ואת מרווח האיזון מחדש. ציינו גם אם מדד הקווריאנציה הממומשת שבו משתמשים חופף לאופק התחזית או עושה שימוש חוזר בתשואות.

הפרשנות המבוססת ביותר מוגבלת בהיקפה: שיטות Ledoit–Wolf מספקות דרכים מבוססות נתונים לשלב קווריאנציה מדגמית רועשת עם מטרה או טרנספורמציה שנבחרה. התועלת בתוצאה תלויה בהתאמה בין המטרה, הנחות הדגימה וההערכה לבין בעיית הסיכון המיועדת. זהו אומדן של מבנה קווריאנציה, לא אות מסחר עצמאי ולא הבטחה לביצועים עודפים.