הסבר על מודל התמחור הבינומי של אופציות

התחילו במחיר נכס בסיס S. לאחר מרווח אחד הוא הופך ל־Su במצב עלייה או ל־Sd במצב ירידה, כאשר u גדול מ־d

האופציה משלמת Cᵤ או C_d במצבים האלה. אפשר לבחור פוזיציה בנכס הבסיס ובמזומן שתשחזר את שני התשלומים

מכיוון שלתיק המשכפל יש אותם תשלומים בכל מצב, היעדר ארביטראז׳ נותן לו את אותו ערך נוכחי כמו לאופציה

יחס הגידור הוא הפרש התשלומים חלקי הפרש מחירי נכס הבסיס: delta = (Cᵤ − C_d) / (Su − Sd)

לאחר בחירת delta, התשלום הנותר בכל מצב מסופק באמצעות הלוואה או השקעה. היוון סכום המזומן הזה משלים את הערך הנוכחי

המבנה הזה מבהיר את הכלכלה: המחיר נובע משכפול מצב־אחר־מצב, ולא מניחוש איזה ענף סביר יותר במציאות

אפשר לכתוב את אותו ערך כממוצע משוקלל מהוון של שני ערכי האופציה העתידיים, באמצעות הסתברות נייטרלית לסיכון q

עם עלות נשיאה עקבית, q נבחרת כך שהתוחלת המשוקללת של נכס הבסיס תצמח לפי הריבית חסרת הסיכון או לפי שיעור הפורוורד. היא אינה חייבת להתאים לשכיחות העליות ההיסטורית

כדי שלא יהיה ארביטראז׳, צמיחת נכס הבסיס לאחר נשיאה חייבת להיות בין d ל־u, ולכן q נמצאת בין אפס לאחד. כשל בכך מצביע על קלטים לא עקביים לעץ

חזרו על המבנה של צעד אחד לאורך מרווחים רבים. בעץ מתכנס, תנועת עלייה ואחריה ירידה מגיעה לאותו צומת שאליו מגיעה ירידה ואחריה עלייה

לאחר n צעדים יש n + 1 צמתי מחיר סופיים במקום 2ⁿ צמתים שונים, ולכן החישוב מעשי

בחירת Cox–Ross–Rubinstein קובעת בדרך כלל את u ואת d מתוך תנודתיות ואורך הצעד, עם תנועות הופכיות שגורמות לעץ להתכנס

תחילה חשבו את התשלום החוזי בכל צומת סופי. לאחר מכן נעו צעד אחד לאחור באמצעות ערך נייטרלי לסיכון מהוון בכל צומת אב

המשיכו עד לשורש. כל מספר ביניים הוא ערך מודל מותנה המבוסס על המצבים שניתנים להגעה מאותו צומת

דיבידנדים, ריביות, מבני טווח ותנודתיות משתנה דורשים טיפול עקבי צעד־אחר־צעד, ולא תיקון יחיד בסוף

בכל צומת זכאי השוו את ערך המימוש המיידי לערך ההמשך המהוון. הערך האמריקאי הוא הגדול מבין השניים

פעולת המקסימום הפשוטה הזאת מזהה אזור מימוש, והיא יתרון מרכזי לעומת הצורה הסגורה הבסיסית של Black–Scholes האירופי

תוצאות המימוש עדיין תלויות במודל. דיבידנדים בדידים, עלויות השאלה, הסדר ומרווחי זמן יכולים להזיז את הגבול המשוער במידה ניכרת

ככל שהצעדים נעשים עדינים יותר, תחת בחירות מתאימות, מחיר בינומי יכול להתכנס אל מודל זמן רציף מתאים, כגון Black–Scholes

ההתכנסות עלולה להתנודד לפי מיקום מחיר המימוש ביחס לצמתים. לפרמטריזציות שונות של העץ עשויות להיות הטיה ויציבות שונות

יותר צעדים מפחיתים שגיאת דיסקרטיזציה בתוך המודל, אך אינם מתקנים תנודתיות שגויה, קפיצות חסרות, דיבידנדים שגויים או ציטוטי שוק שאי־אפשר לבצע

בדקו גבולות היעדר ארביטראז׳, שוויון פוט–קול לתביעות אירופיות, מונוטוניות, קמירות והתכנסות לאורך מספרי צעדים הולכים וגדלים

השוו ערכים אירופיים לצורה סגורה, וערכים אמריקאיים לשיטה בלתי תלויה. בדקו זמן אפס, ספוט קיצוני ותאריכי דיבידנד

תעדו את מוסכמת העץ, הנשיאה, לוח השנה, לוח המימוש ומספר הצעדים. מחיר מדווח ללא הגדרות אלה אינו ניתן לשחזור