מבחן ARCH LM וזיהוי התקבצות תנודתיות

ייתכן שקשה לחזות את סימן תשואת הנכס, ובכל זאת גודלן של תנועות גדולות או שקטות יתקבץ לאורך זמן. מבחן ARCH LM שואל אם ריבועי החדשנות של המודל קשורים לערכי העבר שלהם, תבנית שמתיישבת עם השפעות ARCH עד סדר q שנבחר.

רוברט אנגל הציג את המבחן במסגרת עבודתו על שונות מותנית המשתנה בזמן. ראו את המאמר המקורי משנת 1982 ואת הרצאת נובל שלו על ARCH. המבחן אינו בודק את כיוון התשואה, אינו מזהה את סיבת התלות, אינו מוכיח שמודל GARCH מסוים נכון ואינו יוצר אות מסחר.

תחילה התאימו משוואה מתאימה לתוחלת התשואה, ואז חשבו את השאריות או החדשנויות שלה e_t. האבחון נשען על כך שהשאריות מייצגות באופן סביר את ההפתעות שמשוואת התוחלת לא הסבירה.

אם המשוואה משמיטה דינמיקה של התוחלת או משתנים חשובים, מבנה עשוי להישאר בשאריות ולהיראות בטעות כתלות בשונות. המבחן מאבחן שאריות לאחר בחירת משוואת התוחלת; הוא אינו תחליף להסבר רגרסיית OLS. לדיון במשוואה ובהנחותיה ראו מדריך רגרסיית OLS.

אחרי התאמת משוואת התוחלת, רגרסו את ריבועי השאריות על קבוע ועל ריבועיהן בפיגורים. המשוואה היא:

e_t^2 = a_0 + a_1 e_{t-1}^2 + ... + a_q e_{t-q}^2 + v_t

השערת האפס היא H0: a_1 = ... = a_q = 0; כלומר, לריבועי החדשנויות בפיגור אין תרומה ליניארית משותפת לפי הרגרסיה העזרית וסדר q שנבחר. לפי ההשערה החלופית, לפחות מקדם אחד אינו אפס.

בתנאי מדגם גדול מקובלים, סטטיסטי מכפיל לגראנז' LM=M*R^2 מתפלג בקירוב χ²(q). כאן M הוא מספר השורות השמישות ברגרסיה העזרית לאחר יישור הפיגורים, והוא אינו בהכרח מספר התצפיות המקורי.

נניח בדוגמה היפותטית לחלוטין ש־q=5, ‏M=300 ו־R²=0.018. אז LM=5.4. הערך הקריטי המשוער ברמת 5% עבור χ²(5) הוא כ־11.07, ולכן בדוגמה הזו לא דוחים את H0 ברמת 5%.

אי־דחייה פירושה שהמדגם והניסוח הזה אינם מספקים ראיות מספיקות נגד השערת האפס ברמה שנבחרה. אין בכך הוכחה לשונות קבועה, שלילת תלות בסדר אחר או תחזית לגבי תשואות עתידיות.

q קובע כמה פיגורים המבחן יבחן. סדר קצר עלול להחמיץ תלות איטית יותר; סדר ארוך מצמצם את מספר השורות השמישות עקב יישור הפיגורים ומוסיף מקדמים, כך שהתוצאה עלולה להיות פחות יציבה במדגם מוגבל.

בחרו את הסדר לפי תדירות הנתונים ושאלת הניתוח, ותעדו את הנימוק. כדאי להציג רגישות לכמה סדרים סבירים במקום לבחור רק את זה שמניב את ערך ה־p הקטן ביותר. בדיקת סדרים רבים ודיווח על תוצאה אחת יוצרים גם בעיית ריבוי בדיקות.

מבחן McLeod–Li בוחן מתאם עצמי בריבועי השאריות על פני כמה פיגורים; ראו את המאמר של McLeod ו־Li. זו בדיקה משלימה של תלות בגודל השגיאות, ולא הוכחה שכיוון התשואה ניתן לחיזוי.

תוצאות המבחנים עשויות להשתנות בגלל שיטת הבדיקה, סדרי הפיגור וגודל המדגם. אף אחד מהם אינו מזהה לבדו את סיבת התלות או מוכיח שהתבנית כלכלית ולא תוצאה של מדידה או שינוי משטר.

דינמיקה חסרה של התוחלת, ערכים חריגים, שבר מבני, זנבות כבדים או מדגם קצר עלולים להשפיע על מבחן הנשען על קירוב של מדגם גדול. שינוי חלון הנתונים או סדר הפיגור עשוי לשנות גם הוא את התוצאה.

בדקו חותמות זמן, את שאריות משוואת התוחלת ואת היציבות בין תקופות, וציינו את המדגם, הסדר ורמת המבחן. אם השוויתם סדרים או מודלים רבים, דווחו על כך; ערך p יחיד אינו מסכם את אי־הוודאות מתהליך החיפוש.

אם יש ראיות לתלות בריבועי השאריות, ARCH או GARCH יכולים להיות מועמדים למידול השונות המותנית. המבחן אינו בוחר מודל ואינו מבטיח שהוא מתאים. התחילו במדריך להתקבצות תנודתיות ולמודלי GARCH, ואז בדקו את שאריות המודל החדש ואת תחזיות השונות מחוץ למדגם.

מבחן ARCH LM אינו בוחר שגיאות תקן להסקה על מקדמי רגרסיה; זו שאלה אחרת ממבנה השונות המותנית. לבחירת אומדן שונות משותפת למקדמים ראו המדריך לשגיאות תקן חסינות.