Realized GARCH: מידול משותף של תשואות ותנודתיות ממומשת

מודלי ARCH ו־GARCH מסיקים על שינויים בשונות מתוך סדרת תשואות. תשואה היא אות רועש לגבי היקף התנועה בתקופה שלה: תשואה קטנה באופן חריג מסגירה לסגירה אינה מעידה שהמסחר כולו היה שקט, ותשואה גדולה אינה חושפת את המסלול שהוביל אליה. מחירים תוך־יומיים יכולים לספק מדד ממומש נפרד, כגון שונות ממומשת, שמכיל מידע נוסף על התנועה במהלך המסחר.

Realized GARCH משלב את המדד הזה בדינמיקת השונות. במפרט הבסיסי, גם השונות המותנית הקודמת וגם המדד הממומש הקודם מסייעים לעדכן את השונות המותנית הנוכחית. המודל כולל גם משוואה למדד הממומש עצמו. המשוואה הנוספת היא מרכיב מרכזי: היא מתארת את הקשר של המדד לשונות החבויה ולזעזוע בתשואה, במקום להשאיר אותו כקלט חיצוני בלתי מוסבר.

המאמר המקורי מדווח על התאמה אמפירית טובה יותר לעומת GARCH שמסתמך על תשואות יומיות בלבד, במדגם שלו שכלל מניות ממדד דאו ג'ונס התעשייתי וקרן נסחרת אחת. זו תוצאה שתלויה במדגם המסוים, ולא הבטחה ש־Realized GARCH ינבא טוב יותר בכל נכס או תקופה. למודל הבסיסי שמסתמך על תשואות בלבד, ראו את מדריך GARCH.

נסמן ב־(rₜ) את התשואה בתקופה (t), לאחר הסרת הממוצע המותנה אם המודל כולל אותו. (hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁)) היא השונות המותנית הידועה בתחילת התקופה, ו־(xₜ) הוא מדד ממומש וחיובי שנצפה במהלך התקופה (t) או בסופה. למשל, (xₜ) יכול להיות סכום התשואות התוך־יומיות בריבוע, ביחידות של תשואה בריבוע כמו אלה של (hₜ).

סדר הזמנים חשוב. תחזית ל־(hₜ) משתמשת במידע שהיה זמין לפני תחילת התקופה (t). אחרי ש־(rₜ) ו־(xₜ) נצפו, המודל מעדכן את תחזית השונות לתקופה הבאה, (hₜ₊₁). אין להשתמש ב־(xₜ) כדי לטעון ש־(hₜ) נחזתה לפני שהתקופה (t) הסתיימה.

Realized GARCH הוא מודל דינמי לתשואות ולמדד תנודתיות נצפה. הוא אינו זהה ל־רגרסיית MIDAS, שמשתמשת בפונקציית משקולות מובנית להשהיות כדי לקשר נתונים בתדירויות שונות. שתי הגישות יכולות להשתמש במידע תוך־יומי, אבל לפני השוואה צריך לזהות את המשוואות, יעד התחזית וזמני הזמינות.

במודל נפוץ מסוג Realized GARCH(1,1) יש משוואת תשואה, משוואת שונות ומשוואת מדידה:

rₜ = √hₜ zₜ log hₜ = ω + β log hₜ₋₁ + γ log xₜ₋₁ log xₜ = ξ + φ log hₜ + τ(zₜ) + uₜ

כאן (zₜ) הוא חידוש התשואה המתוקנן, (uₜ) היא שגיאת המדידה, ו־τ(zₜ) מאפשרת למדד הנצפה להיות תלוי בזעזוע בתשואה. המשוואה הראשונה מכפילה זעזוע ששונותו יחידה בסטיית התקן המותנית. השנייה מעדכנת את לוגריתם השונות באמצעות לוגריתם השונות הקודמת ולוגריתם המדד הממומש הקודם. השלישית מקשרת את לוגריתם המדד הנצפה ללוגריתם הנוכחי של השונות החבויה, לזעזוע בתשואה ולחידוש מדידה.

הצורה הלוגריתמית נוחה משום שאפשר לייצג את (hₜ) ואת (xₜ), ששניהם חיוביים, על סולם לוגריתמי שאינו מוגבל. העלאה בחזקה של תחזית השונות מחזירה ערך חיובי. לכן (ω) הוא קבוע במשוואת לוגריתם השונות, ולא השונות ארוכת הטווח עצמה. במודל הבסיסי הפרמטרים נאמדים יחד ולא מתפרשים כל אחד בנפרד.

הצבת משוואת המדידה בזמן t−1 בתוך עדכון השונות מראה כיצד המדד הממומש חוזר ומשפיע על לוגריתם השונות:

log hₜ = (ω + γξ) + (β + γφ) log hₜ₋₁ + γτ(zₜ₋₁) + γuₜ₋₁

במפרט (1,1) הזה, את ההתמדה בלוגריתם השונות מסכמים באמצעות β + γφ, ולא באמצעות β לבדו. משוואת המדידה מוסיפה משוב: שונות קודמת גבוהה יותר קשורה למדד ממומש גבוה יותר, שנכנס לאחר מכן לעדכון הבא. האלגברה עוזרת לפרש את המקדמים שנאמדו, אך אינה הוכחת סטציונריות לכל הרחבה של Realized GARCH. לצורך הסקה יש להשתמש במגבלות של המפרט שנאמד בפועל.

Hansen, Huang ו־Shek מציגים את הצורות הליניארית והלוגריתמית־ליניארית של המודל המשותף ואת מבנה שלוש המשוואות (2012). צריך לציין במפרט שנאמד את סדרי ההשהיה, את המדד הממומש, את אופן הטיפול בממוצע המותנה ואת הנחות החידושים.

משוואת המדידה מסייעת להסביר מדוע המדד הממומש עשוי להשתנות גם עם השונות החבויה וגם עם זעזוע התשואה. פונקציית מינוף נפוצה היא:

τ(zₜ) = τ₁ zₜ + τ₂ (zₜ² − 1)

האיבר הליניארי והאיבר הריבועי שממורכז סביב אפס יכולים לייצג קשר א־סימטרי בין זעזועי תשואה למדד הממומש. המקדמים קובעים את צורת הקשר; הנוסחה לבדה אינה מוכיחה שתשואות שליליות גורמות לתנודתיות עתידית.

בניסוח הבסיסי במאמר, (zₜ) ו־(uₜ) ממודלים כחידושים נפרדים, (zₜ) מתוקנן, ומניחים ששני החידושים בלתי תלויים זה בזה. זו הנחה סטטיסטית שמאפשרת מודל נוח, ולא הוכחה שתשואות שוק או שגיאות מדידה מתפלגות בדרך מסוימת בכל מדגם. אפשר להשתמש באומד דמוי־נראות גאוסי לצורך האמידה בלי לטעון שהתשואות נורמליות.

המשוואה גם מבדילה בין Realized GARCH ל־GARCH-X. GARCH-X עשוי לכלול מדד נצפה בעדכון השונות, אך לא להגדיר את הדינמיקה שלו. Realized GARCH ממדל גם את המדד, ולכן מאפשר תחזיות מעבר לצעד אחד כאשר המדדים העתידיים עדיין אינם נצפים. המודל מתאר קשר סטטיסטי משותף; הוא אינו הופך את המדד הממומש לגורם חיצוני.

נניח שבמודל לוגריתמי־ליניארי שנאמד מתקבלים (ω=-0.7824), (β=0.75) ו־(γ=0.15). בסוף תקופה (t), נניח שהשונות המותנית הנוכחית היא (hₜ=0.0004) והמדד הממומש שנצפה הוא (xₜ=0.0009). כל הערכים היפותטיים, חיוביים, ובאותו סולם של שונות תשואה יומית עשרונית.

נשתמש במשוואת השונות כדי לעדכן את התחזית לתקופה (t+1):

log hₜ₊₁ = −0.7824 + 0.75 log(0.0004) + 0.15 log(0.0009) ≈ −7.7024 hₜ₊₁ = exp(−7.7024) ≈ 0.0004517

סטיית התקן המותנית המתאימה היא (√0.0004517 ≈ 0.02125), כלומר כ־2.13% לתקופת התשואה שצוינה. המדד הממומש משפיע על תחזית השונות לתקופה הבאה דרך המקדם שנאמד. החישוב אינו אמידה מחדש של הפרמטרים ואינו משתמש במשוואת המדידה כדי לטעון ש־(xₜ=hₜ).

הדוגמה ממחישה את החשבון בלבד. היא אינה כוללת אי־ודאות בפרמטרים, שגיאת אמידה או תצפיות מחוץ למדגם, ולכן אינה מלמדת על מובהקות סטטיסטית או על עדיפות על פני אמת מידה <!-- learn:illustration -->

האמידה משתמשת בתצפיות תואמות בזמן של תשואות ושל מדדים ממומשים. נראות או נראות־למחצה משלבת את משוואת התשואה עם משוואת המדידה, ולכן הנחות שונות על התפלגות החידושים או על התלות ביניהם עשויות לשנות את הפרמטרים שנאמדו. יש לדווח על שיטת האמידה, הנחות החידושים, הטיפול בממוצע המותנה, המדד הממומש וכללי ניקוי הנתונים, ולא להציג רק את נוסחת העדכון.

בסוף כל תקופה, המודל יכול להשתמש בתשואה ובמדד הממומש החדשים כדי לעדכן את מצבו ולייצר תחזית שונות לתקופה הבאה. בתחזית לכמה צעדים, ערכי (x) העתידיים אינם ידועים. מפרט מלא של Realized GARCH כולל דינמיקה למדד הממומש; לכן התחזית צריכה להביא בחשבון את ההתפלגות העתידית או התוחלת שלו במקום להציב ערכים עתידיים ממדגם הבדיקה.

יעד ההערכה צריך להתאים לתחזית: למשל, שונות מותנית של תשואת התקופה הבאה או מדד ממומש לאותו מרווח זמן. יש ליישר בין היעד, המשתנה המקורב, היחידות, האופק ותאריכי ההערכה. נראות בתוך המדגם משווה את התאמת המודלים, אך אינה מחליפה בדיקת תחזית כרונולוגית.

שמרו כל תחזית במועד שבו הייתה זמינה, אמדו מחדש רק עם מידע שהיה ידוע באותו מועד והשוו אמת מידה שנקבעה מראש על פני מדגם משותף. בחרו את פונקציית ההפסד לפני עיון בתוצאות ודווחו על הפרש הפסדים מזווג עם אומדן אי־ודאות שמביא בחשבון תלות בעת הצורך. המדריך ל־QLIKE ולשגיאה ריבועית מסביר כיצד מאפייני המשתנה המקורב ובחירת ההפסד משפיעים על ההשוואה.

התועלת של המודל תלויה במדד ובמרווח הזמן שבהם משתמשים. מדד ממומש שמחושב ממחירים תוך־יומיים עשוי להשמיט תנועה לילית גם כאשר (rₜ) הוא תשואה מסגירה לסגירה. המאמר המקורי מאפשר חלון מדידה קצר יותר ממרווח התשואה; משוואת המדידה אינה מחייבת ש־(xₜ) יהיה אומד חסר הטיה של (hₜ). עם זאת, להבדלי החלונות יש השלכות: פרשנות (φ), יעד התחזית וכל השוואה תלויים בהם.

המאמר נותן דוגמה קונקרטית: אפשר לשלב מדד שנבנה מכ־6.5 שעות מסחר עם השונות המותנית של תשואה מסגירה לסגירה לאורך 24 שעות. במקרה כזה המחברים מצפים ש־φ < 1, משום שהמדד התוך־יומי לוכד רק חלק ממרווח התשואה המלא. לכן הפרשנות של φ שנאמד תלויה במדד, במושב המסחר ובהגדרת התשואה; אין זה מקדם כיול אוניברסלי שאפשר להעביר ללא שינוי לנכס או לתכנון דגימה אחר.

נתוני תדירות גבוהה עשויים לכלול גם קפיצות בין מחירי קנייה ומכירה, עסקאות לא מסונכרנות, מדרגות מחיר, ציטוטים מיושנים ושגיאות רישום. המדריך לאמידת תנודתיות ממומשת בשני סולמות מתאר אומד שנועד להתמודד עם חלק מרעש המיקרו־מבנה בנתוני תדירות גבוהה. Hansen ו־Lunde מתעדים שרעש מיקרו־מבני עשוי להשפיע באופן משמעותי על מדידת השונות הממומשת (2006). החלפת המשתנה המקורב עשויה לשנות את ההתאמה, התחזיות ואומדני המינוף.

הצורה הלוגריתמית־ליניארית כוללת (log xₜ), ולכן המדד שנבחר חייב להיות חיובי ממש. אם הנתונים יכולים להיות אפס או שליליים, אי אפשר להשתמש במפרט הזה בלי טרנספורמציה או סינון מוצדקים. רצפה מלאכותית משנה את המודל ויש לציין אותה. בדקו אם המדד כולל קפיצות, איזו סשן הוא מכסה, כיצד מטפלים בנתונים תוך־יומיים חסרים ואם היחידות שלו תואמות לשונות התשואה. יותר תצפיות תוך־יומיות אינן מעלימות אוטומטית את שגיאת המדידה.

GARCH רגיל משתמש בתשואות בפיגור או בחידושים בריבוע ובשונות הקודמת. Realized GARCH מוסיף מדד ממומש לדינמיקת השונות וממדל אותו במשוואה המקשרת אותו לשונות החבויה ולזעזועי התשואה. GARCH-X מתייחס בדרך כלל למדד הנוסף כאל קלט חיצוני. רגרסיית MIDAS מחילה עקומת משקולות פרמטרית על השהיות בתדירויות שונות; GARCH-MIDAS הוא מודל היברידי קשור שמשוואותיו נבחנות בנפרד. אלה אינם שמות חלופיים לאותו מודל.

המודל חוזה שונות מותנית או מדד ממומש מוגדרים לפי הנחותיו. הוא אינו חוזה את כיוון התשואה, אינו מוכיח שמדד תוך־יומי גורם לשונות בתקופה הבאה ואינו מוכיח שאסטרטגיה תהיה רווחית. נראות טובה בתוך המדגם אינה מבטיחה תחזיות עתידיות טובות יותר. מסקנות מסחר דורשות אות מוגדר בנפרד והערכה לאחר עלויות הכוללת מרווח, עמלות, השפעת שוק, מימון ומגבלות סיכון.

כדי שאפשר יהיה לשחזר את הניתוח, ציינו את הנכס והמדגם, הגדרת התשואה והטיפול בממוצע המותנה, בניית המדד הממומש וחלון המסחר, משוואות המודל והשהיות, הנחות החידושים, חלון האמידה, מועד התחזית והאופק, אמת המידה, פונקציית ההפסד ושיטת הערכת אי־הוודאות. הציגו רגישות למדדים ממומשים חלופיים סבירים ודווחו על השמטות נתונים או התאמות שהבטיחו חיוביות