רגרסיית MIDAS: נתונים בתדירויות מעורבות וחיזוי תנודתיות

נתונים פיננסיים וכלכליים אינם מתקבלים לפי שעון משותף. יעד תנודתיות עשוי להימדד מדי שבוע, בעוד שהמסבירים האפשריים הם תשואות יומיות או מדדי תנודתיות ממומשת תוך־יומיים. סדרת מאקרו יכולה להיות רבעונית, בעוד שמחיר נכס נצפה בכל יום מסחר. רגרסיה רגילה מצפה לשורה אחת לכל תצפית של היעד והמסבירים, ולכן צריך להחליט כיצד לטפל בלוחות הזמנים השונים לפני שמאומדנים מודל מוכר.

אפשרות אחת היא לצבור נתונים יומיים לממוצע שבועי או לסכום. זה פשוט, אך מחייב משקל מסוים לכל יום ועלול להעלים מתי בתוך השבוע התרחשה תנועה. אפשרות אחרת היא לשכפל ערך רבעוני על שורות יומיות או לבצע אינטרפולציה. שכפול עלול לגרום למספר איטי להיראות כאילו הוא מספק תצפיות חדשות רבות; אינטרפולציה עלולה ליצור מסלול חלק שמעולם לא נצפה. אף פעולה אינה יוצרת מידע חדש.

MIDAS מספקת דרך ישירה לחבר בין התדירויות: היעד נשאר בתדירות הטבעית והנמוכה שלו, ובמודל נכלל פיגור מובנה של הסדרה בתדירות הגבוהה. השם מתייחס לדגימת נתונים מעורבת, ולא למודל תנודתיות יחיד. משתמשים ברגרסיות MIDAS לחיזוי תנודתיות וגם במצבים אחרים שבהם המסבירים נמדדים בתדירות גבוהה מהתוצאה. השאלה המרכזית היא כמה מההיסטוריה העדכנית בתדירות גבוהה לכלול ואיך להגביל את משקולותיה.

נסמן ב־\(y_{t+1}\) יעד בתדירות נמוכה, למשל שונות ממומשת בשבוע הבא, שנצפית לאחר תום שבוע \(t+1\). נסמן ב־\(x_{t-j}\) מסביר יומי שנצפה \(j\) ימי מסחר לפני מועד התחזית בסוף שבוע \(t\). רגרסיית MIDAS פשוטה היא \(y_{t+1}=a+b\sum_{j=1}^{K}w_j(\theta)x_{t-j}+u_{t+1}\), כאשר \(K\) הוא מספר הפיגורים היומיים, \(w_j(\theta)\) היא משקולת הנשלטת בידי וקטור פרמטרים קטן, ו־\(u_{t+1}\) הוא שגיאת התחזית.

בדרך כלל מנרמלים את המשקולות כך ש־\(\sum_{j=1}^{K}w_j(\theta)=1\). כך קל יותר לקרוא את הסכום המשוקלל כהיסטוריה משוקללת, ואילו \(b\) קובע עד כמה הסיכום קשור ליעד. הנרמול אינו אומר שהתצפיות היומיות בלתי תלויות או מועילות באותה מידה; זהו ייצוג נוח של פרופיל הפיגורים.

המסביר \(x\) יכול להיות תשואות יומיות בריבוע, תשואות מוחלטות, מדד שונות ממומשת המבוסס על תשואות תוך־יומיות או משתנה אחר שהיה זמין במועד התחזית. היעד \(y\) יכול להיות שונות שבועית עתידית, פרסום מאקרו חודשי או יעד אחר בתדירות נמוכה. הגדרת היעד קובעת את פירוש המקדמים: מודל למדד מקורב של שונות ממומשת אינו הופך אוטומטית למודל של שונות מיידית חבויה, שונות גלומה באופציות או תשואת מחיר.

MIDAS היא מסגרת רגרסיה, לא אומד אוניברסלי. אפשר למדל את התגובה ברמות, בלוגריתמים או באמצעות פונקציית קישור, והאמידה תלויה במשפחת המשקולות ובהנחות השגיאה שנבחרו. רגרסיה ליניארית של מדד שונות לא־שלילי עלולה להפיק ערכים מותאמים שליליים אם לא מגבילים את התחזית או משנים את היעד. נוחות המודל אינה מבטלת את הצורך לבדוק את תחום הערכים ואת היחידות של היעד.

רגרסיית פיגורים בלתי מוגבלת אומדת מקדם נפרד לכל אחד מ־\(K\) הקלטים היומיים. אם \(K\) גדול ביחס למספר תצפיות היעד השבועיות, האומדנים עלולים להיות רועשים ומתואמים מאוד. MIDAS מגדירה במקום זאת את מקדמי הפיגור באמצעות פונקציה בעלת מעט פרמטרים. דוגמה להמחשה היא פרופיל Almon מעריכי: \(w_j(\theta)=\frac{\exp(\theta_1j+\theta_2j^2)}{\sum_{\ell=1}^{K}\exp(\theta_1\ell+\theta_2\ell^2)}\). פרופיל פולינומי מסוג Beta עם נרמול הוא אפשרות נפוצה נוספת.

פרופילים כאלה יכולים לתת משקל רב יותר לימי המסחר האחרונים, להפחית משקל בהדרגה או לתת משקל יחסי גדול יותר לאמצע חלון הפיגורים. הפרמטרים מתארים את העקומה החלקה שנבחרה, ולא את חשיבותו של כל יום ללא סייג. אם הנתונים מצביעים על תגובה קצרת־טווח אך הפונקציה שנבחרה כופה זנב חלק וארוך, המקדמים המותאמים יירשו את ההגבלה. מנגד, אמידת מקדמים יומיים חופשיים רבים עלולה להתאים רעש במקום דינמיקה יציבה.

הגבלות על המשקולות הן הנחות מודל. משקולות לא־שליליות שסכומן אחד יכולות להפוך תחזית שונות לממוצע משוקלל שקל לפרש, אך הן שוללות קיזוז בין השפעות חיוביות ושליליות של פיגורים. פרופיל גמיש עשוי לאפשר גיבנת או שינוי בשיפוע, אך יותר מדי פרמטרים של צורה עלולים להיות מזוהים באופן חלש. כדאי להשוות מספר קטן של פרופילים סבירים, לציין אילו פיגורים היו זמינים ולבדוק אם התחזית משתנה מהותית כשמחליפים משפחת משקולות.

אין ערך אוניברסלי ל־\(K\). חלון ארוך עשוי ללכוד מידע מתמשך, אך להוסיף פרמטרים או לכפות צורה ארוכה; חלון קצר עלול להחמיץ דינמיקה איטית. בחרו את מספר הפיגורים על סמך מידע שהיה זמין בתקופת האמידה ואמתו אותו בלי להשתמש ביעד ההערכה העתידי. התאמה טובה במדגם לבדה אינה קובעת אם חלון הפיגורים לוכד אות שניתן לשחזר.

תוויות התדירות לבדן אינן מוכיחות שתכנון התחזית תקף. נניח שהיעד הוא שונות בשבוע הקרוב בן חמשת ימי המסחר, והתחזית מתפרסמת לאחר סגירת המסחר ביום שישי. אפשר להשתמש בתצפיות יומיות שהסתיימו עד יום שישי, אך לא במדד שונות ממומשת שחושב מנתוני השבוע הבא. אם היעד הוא נתון שבועי או חודשי שמתפרסם, מועד הפרסום עשוי להיות מאוחר מהתקופה שאותה הוא מתאר. בדיקה היסטורית חייבת להשתמש בערך שהיה זמין בפועל באותו זמן, ולא בערך מתוקן או בפרסום מאוחר יותר.

לפני האמידה, רשמו טבלת מועד תחזית: מתי התחזית נוצרת, מה חותמת הזמן המאוחרת ביותר שמותרת לכל מסביר, מהי תקופת היעד ומתי אפשר לצפות בו. בתשואות פיננסיות ציינו אם תשואה מסגירה לסגירה כוללת את הלילה, איזו סשן מגדיר יום מסחר וכיצד חגים או נרות חסרים משנים את מספר הפיגורים היומיים. חמישה ימי מסחר ושבעה ימים קלנדריים הם פרקי זמן שונים.

לוחות פרסום יוצרים קצוות לא אחידים. בתאריך נתון ייתכן ערך יומי עדכני למסביר אחד, בעוד שסדרה חודשית אחרת טרם פורסמה. אפשר להעביר קדימה את הערך החודשי האחרון אם המודל מתייחס אליו כמידע ישן שהיה ידוע במועד התחזית. אסור למלא תצפית שטרם פורסמה בערך שפורסם מאוחר יותר. תיקונים היסטוריים יוצרים בעיית הסתכלות־קדימה עדינה יותר: מסד נתונים עדכני עשוי להכיל סדרת מאקרו מתוקנת שהחזאי בזמן אמת לא היה יכול לראות.

שווקים שאינם מסונכרנים מוסיפים קושי יישור. סגירה יומית של מניה וסגירה יומית של קריפטו עשויות להתייחס למרווחי UTC שונים; אומדן תנודתיות תוך־יומי עשוי להשתמש בנרות שהסתיימו אחרי מועד התחזית. המרת אזורי זמן, שעון קיץ, סגירת זירות ובניית נרות הם חלק ממערך המידע. הסבירו כיצד מטפלים בהם במקום להניח ששורות עם אותו תאריך חולקות את אותו מועד חיתוך מידע.

נניח שהיעד הוא שונות ממומשת בשבוע הבא ושהתחזית ניתנת בסגירת יום שישי. המודל משתמש בחמישה קלטים יומיים של שונות ממומשת מהשבוע שהסתיים. המשקולות המותאמות, מהעדכנית ביותר לישנה ביותר, הן \(0.40,0.25,0.16,0.11,0.08\), וסכומן אחד. נניח שהקלטים היומיים המתאימים, ביחידות של תשואה בריבוע, הם \(0.0004,0.0001,0.0009,0.0004,0.0001\).

הסיכום המשוקלל הוא \(0.40(0.0004)+0.25(0.0001)+0.16(0.0009)+0.11(0.0004)+0.08(0.0001)=0.000381\). במודל המותאם ההיפותטי נניח חותך \(a=0.00012\) ושיפוע \(b=0.80\). תחזית השונות לשבוע הבא היא \(0.00012+0.80(0.000381)=0.0004248\). אם מועיל לסכם סטיית תקן, השורש הוא בערך \(0.02061\), או \(2.06\%\) לאורך שבוע היעד לפי ההגדרה שנבחרה.

החישוב מדגים את המיפוי ממסבירים יומיים ליעד שבועי עתידי; הערכים והמקדמים המותאמים מומצאים לצורך הדוגמה. הוא אינו אומר שיום מסוים גרם לשונות בשבוע הבא או שסביר שמחיר הנכס יעלה או ירד. המשקל למועד האחרון מתאר כיצד המודל התחזיתי המסוים משלב קלטים שנצפו, בכפוף למדגם ולהגבלות; זו אינה אומדת תגובה סיבתית.

הדוגמה גם מחדדת את שאלת היחידות. שונות ממומשת יומית ושבועית הן שתיהן שונות של תשואות, אך הן מתייחסות לפרקי צבירה שונים. השיפוע \(b\), החותך ובניית היעד נאמדים עבור אותה מוסכמה בדיוק; אי אפשר רק לתייג מחדש קלטים יומיים כשונות שבועית. אם היעד הוא לוגריתם השונות השבועית, פלט המודל יהיה ביחידות לוגריתמיות, והעלאת התוחלת המותנית של הלוגריתם בחזקה בדרך כלל אינה שווה לתוחלת המותנית של השונות. המרה חזרה לרמות דורשת יעד תחזית מוגדר ותיקון רה־טרנספורמציה, לפי הצורך.

כאשר וקטור המשקולות קבוע, הרגרסיה ליניארית בחותך ובשיפוע. כאשר המשקולות תלויות בפרמטרים לא־ליניאריים לא ידועים \(\theta\), האמידה משתמשת לעיתים קרובות בריבועים פחותים לא־ליניאריים או בשיטה דומה המבוססת על נראות. האומד מחפש יחד את פרמטרי צורת המשקולות ואת מקדמי הרגרסיה, או מבטל תחילה את המקדמים הליניאריים עבור כל צורה מועמדת. ערכי התחלה, חסמי פרמטרים, כללי התכנסות ומספר פתרונות מקומיים עשויים להשפיע; אין להסתיר אומדנים שלא התכנסו או פתרונות על הגבול.

אם \(y\) הוא מדד תנודתיות לא־שלילי, מפרט ליניארי רגיל עלול להפיק ערך מותאם שלילי, במיוחד מחוץ למדגם. אפשרויות כוללות הגבלות ששומרות על רמה מותאמת לא־שלילית, פונקציית קישור חיובית או מידול לוגריתם היעד. הבחירות האלה משנות את הגודל הנאמד ואת פירוש התחזית. במודל יעד לוגריתמי, תחזית לתוחלת המותנית של לוגריתם השונות אינה אוטומטית התחזית לתוחלת המותנית של השונות; התפלגות ההפרעה והרה־טרנספורמציה חשובות.

אי־הוודאות במדגם תלויה גם באופן בניית היעד. שונות שבועית ממומשת מתשואות תוך־יומיות נמדדת בשגיאה ועלולה להיות רגישה לרעש מיקרו־מבני, למרווח הדגימה, לקפיצות ולתצפיות חסרות. אם חלונות היעד השבועיים חופפים, שגיאות התחזית ממועדים סמוכים חולקות תשואות בסיס. לכן שגיאות תקן והשוואות שמניחות שגיאות בלתי תלויות עלולות להיות לא מתאימות. השתמשו בהסקה שתואמת לאופק התחזית ולמבנה התלות ודווחו כיצד נמדד היעד.

יציבות הפרמטרים היא דאגה נוספת. פרופיל המשקולות הנאמד ממוצע על פני מדגם האמידה; אם מבנה השוק משתנה, ייתכן שאינו מתאר היטב שום משטר נוכחי. אומדנים בחלון מתרחב ובחלון נע עונים על שאלות שונות: הראשון משתמש בהיסטוריה רבה יותר אך משמר דינמיקה ישנה, ואילו השני מסתגל מהר יותר אך משתמש בפחות תצפיות וסובל מרעש אמידה גדול יותר. קבעו מראש את כלל העדכון והשוו אותו למדד בסיס קבוע בהערכה כרונולוגית.

המונח MIDAS מתאר דרך לשלב תצפיות בדגימות שונות באמצעות פיגורים משוקללים. רגרסיית MIDAS יכולה לחזות ישירות מדד תנודתיות ממומשת מתוך מדדים יומיים או תוך־יומיים בעבר. היא אינה חייבת לפרט את רקורסיית השונות המותנית לצעד יחיד שמאפיינת מודל GARCH.

GARCH-MIDAS היא משפחה נפרדת שמשלבת רכיב תנודתיות ארוך־טווח ואיטי, שלעיתים מונע בידי משתנים בתדירות נמוכה, עם רכיב שונות מותנית קצר־טווח שמתפתח רקורסיבית. לכל רכיב פרמטריזציה והנחות משלו. יש לקרוא מאמר או חבילת תוכנה שמשתמשים בתווית GARCH-MIDAS לפי המשוואות המדויקות: משקולות MIDAS עשויות לקבוע את הרכיב ארוך־הטווח, בעוד שרקורסיית GARCH מטפלת בזעזועים קצרי־טווח. השם לבדו אינו מגלה מהו היעד, האם התחזית היא לתנודתיות חבויה או ממומשת, או כיצד נשמרת חיוביות.

העבודה הפיננסית המוקדמת על MIDAS ותנודתיות משווה מסבירים, תדירויות ואורכי פיגור שונים במסגרת חסכונית לחיזוי. עבודה מתודולוגית מאוחרת מפתחת תכונות אמידה ובדיקה למודלי רגרסיה בתדירויות מעורבות, לרבות השוואות לאגרגציה זמנית מסורתית. מחקרים אלה תומכים במנגנון, לא בטענה ש־MIDAS תמיד טובה מ־GARCH או שמסבירים בתדירות גבוהה תמיד משפרים תחזית. התוצאות תלויות בנכס, במדגם, ביעד, במסביר, באופק ובתכנון ההערכה.

בחרו מודל לפי השאלה. לחיזוי מדד עתידי של תנודתיות ממומשת מתוך היסטוריה יומית, רגרסיית MIDAS ישירה עשויה להיות מועמדת טבעית. למידול רקורסיבי של שונות מותנית, השוו למפרט GARCH מתאים. לשילוב פרסומי מאקרו רבעוניים עם יעד פיננסי יומי, רגרסיה בתדירויות מעורבות עשויה לדרוש התאמה למהדורת הנתון שהייתה זמינה באותו זמן. מודלים בעלי שמות דומים עשויים לענות על שאלות שונות, ולכן יש ליישר את מועד התחזית, הגדרת היעד ומערך המידע לפני השוואת הביצועים.

נתונים בתדירות גבוהה משפרים את הפירוט בזמן אך עלולים להגדיל את רעש המדידה. נרות קצרים מאוד מכילים היפוך מרווח קנייה־מכירה, בדידות מחירים, ציטוטים מיושנים, מסחר לא מסונכרן ושגיאות הזנה. סכימה של תשואות בריבוע במרווחים קצרים יותר ויותר אינה מבטיחה אומדן טוב יותר של שונות ממומשת. יש לבחור את רשת הדגימה וכללי הניקוי לפני בחינת ביצועי התחזית ולנתח רגישות לחלופות סבירות.

מספר תוצאות היעד בתדירות הנמוכה, ולא מספר השורות היומיות של המסבירים למראית עין, מגביל את כמות המידע. גם עשור של קלטים יומיים מול יעדים שבועיים מספק רק כחמש מאות תקופות תוצאה שבועיות, לפני ערכים חסרים והערכת החזקה. פונקציית משקולות חלקה משתמשת בפחות מקדמים מפיגור יומי חופשי, אך עדיין ייתכן שצורתה מזוהה חלש כשהמדגם קצר, המסבירים מתמידים מאוד או הפיגורים המועמדים כפולים.

ריבוי אפשרויות אנליטיות יוצר הטיית בחירה: בודקים מדדי תדירות גבוהה, אורכי פיגור, פרופילי משקל, טרנספורמציות, שווקים, אופקי תחזית והפסדי הערכה שונים, ואז מדווחים רק על התוצאה הטובה ביותר. התאמה בתוך המדגם חשופה במיוחד כי אותם יעדים מנחים את בחירת הפרמטרים והמודל. תעדו את משפחת המודלים שנבדקה, קבעו מדד עיקרי והשתמשו בהחזקת מבחן כרונולוגית מאוחרת יותר או בהשוואה שמביאה בחשבון את הבחירה. אם משווים תחזיות רבות באותם תאריכים, התחשבו בתלות ובריבוי במקום לראות בכל תוצאה אישור עצמאי.

עקומת משקולות מותאמת אינה הסבר סיבתי. קלטים בתדירות גבוהה עשויים לשמש תחליף לחדשות, לנזילות או לפעילות שוק; גורמים לא נצפים עשויים להשפיע גם על המסבירים וגם על התנודתיות העתידית. טענה לתועלת חיזוי דורשת תזמון יציב וראיות מחוץ למדגם. פירוש סיבתי דורש תכנון זיהוי והנחות נפרדות מעבר למשוואת הפיגורים של MIDAS.

תחזית תנודתיות יכולה לסייע בתקציב סיכון, בגודל גידור או בטווח תרחישים, אך אינה קובעת את סימן התשואה או את כיוון הפוזיציה. סטיית תקן שבועית חזויה של \(2.06\%\) אינה תנועה מובטחת, הפסד מרבי או ציטוט תנודתיות גלומה באופציה. התחזית מתארת מדד פיזור שנבחר תחת מודל ומדגם מותאמים; התשואות הממומשות עדיין יכולות להיות גדולות או קטנות בהרבה.

במחקר אסטרטגיה הגדירו מראש את מועד האות, מועד ההוראה, המכשיר, כלל החשיפה והיציאה. אמדו מחדש את פרמטרי MIDAS רק בעזרת מידע שהיה זמין בכל מועד היסטורי. העריכו תחזיות מול מדד בסיס שנקבע מראש והפסד שתואם ליעד, ואז הדמו תשואות בנפרד לאחר מרווח, עמלות, מימון, השאלה, השפעת שוק ותחלופה. תחזית שונות יכולה להיות טובה יותר סטטיסטית בלי לשפר תשואה לאחר עלויות.

דווחו על היעד ושיטת הדגימה שלו; הגדרות המסבירים ויחידותיהם; שתי התדירויות; מועד התחזית; מספר הפיגורים; פונקציית המשקולות וההגבלות; חלון האמידה ולוח העדכון; טיפול בנתונים חסרים ובמהדורות נתונים; פונקציית ההפסד, מדד הבסיס ותאריכי הבדיקה הכרונולוגיים. הציגו אי־ודאות תחזית או רגישות לפרופיל הפיגורים כאשר הבחירות האלה משנות את התוצאה מהותית. לרקע קשור ראו תנודתיות ממומשת, צבירת תנודתיות ו־GARCH והשוואת דיוק תחזיות.

המקורות הראשוניים הם Ghysels, Santa-Clara ו־Valkanov, מחקר חיזוי התנודתיות באמצעות MIDAS; Ghysels, Sinko ו־Valkanov, סקירה מתודולוגית והרחבות; ו־Andreou, Ghysels ו־Kourtellos, ניתוח מודלי רגרסיה בתדירויות מעורבות. התוצאות האמפיריות שלהם קשורות למדגמים ולתכנונים שנחקרו, ואינן מבטיחות ביצועים בשוק עכשווי או בסוג נכס אחר.