QLIKE מול שגיאה ריבועית בתחזיות תנודתיות: מדדים חלופיים רועשים

מודל תנודתיות חוזה עד כמה תשואה עתידית עשויה להתפזר, ולא אם תהיה חיובית או שלילית. לצורך הערכה, הגדירו תחילה את המטרה: למשל, השונות המותנית של תשואת מחר, ביחידות של נקודות בסיס בריבוע. תחזית של סטיית תקן, תחזית של שונות ואומדן של שונות ממומשת תוך־יומית הם גדלים קשורים, אך אינם בני־החלפה ללא המרה ואופק מפורשים.

השאלה הזו נפרדת מהדרך שבה המודל מפיק תחזית. מדריך GARCH מסביר דרך אחת לעדכן שונות מותנית על סמך תשואות קודמות. המדריך הזה מתחיל לאחר שמודלים אחדים כבר הפיקו תחזיות, ושואל כיצד לדרג אותן מול מדידה לא מושלמת של השונות שהתממשה לאחר מכן.

ל״תחזית הטובה ביותר״ אין משמעות יחידה עד שמגדירים את המטרה, מדגם ההערכה ופונקציית ההפסד. מודל עשוי להיות ראשון לפי הפסד אחד ושני לפי אחר, מפני שכל פונקציה מייחסת עלות שונה לשגיאות תחזית

נסמן ב־vₜ את השונות המותנית הלא נצפית של התשואה הנבחנת, ב־hₜ תחזית המבוססת על המידע הזמין לפני אותה תשואה, וב־xₜ מדד נצפה המשמש להערכה. תשואה בריבוע היא מדד חלופי נפוץ, אך היא בלתי מוטה מותנית לשונות רק כאשר התוחלת המותנית של התשואה היא אפס. אם התוחלת המותנית אינה אפס, ריבוע התשואה הגולמית אומד את המומנט השני המותנה ולא את השונות המותנית; אפשר לבנות מדד חלופי מתשואות לאחר הסרת התוחלת המותנית. שונות ממומשת, המחושבת מתשואות תוך־יומיות, יכולה לספק מידע עשיר יותר על השינוי במהלך המסחר, אך היא עדיין מודדת מרווח זמן מסוים ותלויה בכללי הדגימה ובנתוני המחירים.

החסרת הממוצע אינה מסירה אוטומטית הטיה של המדד החלופי כאשר הממוצע המותנה נאמד. אם mₜ = E[rₜ | Fₜ₋₁], hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁), והממוצע הנאמד m̂ₜ נקבע על סמך מידע הזמין במועד התחזית, אז מתקיים E[(rₜ − m̂ₜ)² | Fₜ₋₁] = hₜ + (mₜ − m̂ₜ)². לכן כל שגיאה ניתנת לחיזוי באמידת הממוצע מוסיפה למדד החלופי איבר שאינו שלילי. לפני שמסתמכים על תוצאה של אי־הטיה מותנית, ציינו כיצד הממוצע נאמד והאם המדד החלופי מכוון לשונות או למומנט השני.

ודאו ש־xₜ ו־hₜ מתייחסים לאותו נכס, להגדרת תשואה זהה, לחלון זמן זהה, לאופק זהה וליחידות זהות. אם xₜ נמדד ב־bp², גם hₜ חייב להימדד ב־bp²; יחידת ההפסד הריבועי תהיה אז bp⁴. אל תעריכו תחזית יומית של שונות מסגירה לסגירה מול מדד ממומש המשמיט את מרווח הלילה, אלא אם זו המטרה שהוגדרה.

שמרו את ערכי המדד החלופי ואת התחזיות של כל המודלים לאותם מועדי הערכה. אם למודל אין תחזית לתאריך מסוים, הגדירו מראש מדגם משותף או כלל מוצדק לנתונים חסרים. השוואת ממוצעים על פני תאריכים שונים עלולה לערבב בין ביצועי המודל לבין תנאי השוק השונים שכל מודל פגש

הפסד שגיאה ריבועית עבור מדד חלופי לא־שלילי לשונות xₜ ותחזית שונות חיובית hₜ הוא:

L_MSE(xₜ, hₜ) = (xₜ − hₜ)²

הפסד QLIKE הוא:

L_QLIKE(xₜ, hₜ) = log(hₜ) + xₜ / hₜ

ערך נמוך יותר הוא טוב יותר. כאשר xₜ חיובי ממש, מקובל לכתוב QLIKE גם בצורת היחס xₜ/hₜ − log(xₜ/hₜ) − 1. שתי הנוסחאות נבדלות באיבר שתלוי במדד הנצפה אך לא בתחזית, ולכן הן נותנות אותו דירוג במדגם משותף. הצורה log(hₜ) מוגדרת גם כאשר xₜ אפס, בתנאי ש־hₜ חיובי. Patton מגדיר כך את הפסדי השונות ובוחן את התנהגותם עם מדדים חלופיים לא מושלמים (Patton, 2011).

QLIKE תואם לניקוד של נראות־דמה גאוסית לתחזיות שונות (Hansen and Lunde, 2005). הקשר הזה אינו מוכיח שהתשואות גאוסיות, וניקוד נמוך גם אינו מאמת את הנחות ההתפלגות של המודל. השגיאה הריבועית מודדת את ריבוע הפער המוחלט בין המדד החלופי לתחזית. השאלה היא איזה כלל ניקוד מתאים למטרת ההשוואה ולהנחות על המדד

הפסד השגיאה הריבועית נמדד ביחידות של שונות בריבוע וגדל במהירות כשהפער בין המדד החלופי לתחזית גדל. לכן כמה ערכים גדולים מאוד של המדד עלולים להשתלט על הממוצע. זה עשוי להתאים כאשר לשגיאות מוחלטות גדולות ביחידות שונות ראוי לתת משקל רב בהרבה, אך הופך את התוצאה לרגישה לערכים קיצוניים.

הכפלת xₜ ו־hₜ באותו קבוע המרה חיובי c מוסיפה log(c) לביטוי log(hₜ) + xₜ/hₜ. התוספת זהה לכל התחזיות שנבדקות מול אותה דגימת מדדים, ולכן הדירוג אינו משתנה; הערך המוחלט של האיבר הלוגריתמי תלוי ביחידה שנבחרה. QLIKE מגיב ליחס בין התחזית למדד דרך xₜ/hₜ ולרמה של hₜ דרך log(hₜ). כאשר התחזית נמוכה בהרבה ביחס למדד גדול, איבר היחס עולה במהירות. גם חיזוי־יתר עולה במחירו כאשר log(hₜ) גדל, אך בקצב איטי יותר עבור שגיאות יחסיות דומות. QLIKE אינו הפסד חסין לחריגים: גם מדד קיצוני משפיע דרך xₜ/hₜ.

אף אחד מההפסדים אינו עדיף בכל החלטה. השגיאה הריבועית נותנת משקל רב יותר לפערים מוחלטים גדולים ביחידות שונות, ואילו QLIKE מתייחס אחרת לשגיאות יחסיות. תוצאת החסינות של Patton לרעש במדד אינה אומרת ששני ההפסדים מדרגים מודלים באופן זהה או שאחד מהם חסין לחריגים

נניח שהמדדים הנצפים לשונות הם x = [1, 4] bp². מודל A חוזה hᴬ = [1, 1] bp², ומודל B חוזה hᴮ = [4, 2] bp². המספרים היפותטיים ונועדו להראות כיצד ההפסד עשוי לשנות את הדירוג.

MSE מעדיף את מודל A: הניקוד הממוצע שלו הוא 4.5 bp⁴ לעומת 6.5 bp⁴ של מודל B. QLIKE מעדיף את מודל B: הממוצע שלו הוא כ־2.165 לעומת 2.5 של A. שתי התקופות האלה מדגימות את החשבון בלבד. הן מעטות מדי לאומדן אי־ודאות, להוכחת עדיפות של תחזית או למסקנה על אסטרטגיית מסחר <!-- learn:illustration -->

מדד תנודתיות חלופי יכול להיות רועש ובכל זאת בלתי מוטה מותנית. נניח ש־E[xₜ | Fₜ₋₁] = vₜ, כאשר Fₜ₋₁ הוא המידע הזמין בזמן הפקת התחזית. הפסד השגיאה הריבועית הצפוי לתחזית hₜ המבוססת על אותו מידע הוא:

E[(xₜ − hₜ)² | Fₜ₋₁] = (vₜ − hₜ)² + Var(xₜ | Fₜ₋₁)

איבר השונות אינו תלוי בתחזית שנבדקת. לכן הוא מוסיף אותו סכום ל־MSE הצפוי של שתי התחזיות ומתבטל בהשוואת ההפסדים הצפויים. עבור QLIKE, אי־ההטיה המותנית מובילה ל־

E[log(hₜ) + xₜ/hₜ | Fₜ₋₁] = log(hₜ) + vₜ/hₜ

זה הניקוד שהיה מתקבל אילו השתמשנו בשונות החבויה במקום במדד החלופי. בתנאים אלה, כל אחד מההפסדים משמר את הדירוג הצפוי של תחזיות השונות המתחרות ביחס למטרה החבויה. Patton (2011) מכנה זאת דירוג חסין למדד חלופי; הכוונה היא לרעש בדירוגים צפויים, לא לחסינות מפני חריגים.

התוצאה מניחה אותה קבוצת מידע מותנית, מדד חלופי בלתי מוטה מותנית, תחזיות חיוביות עבור QLIKE והפסדים צפויים סופיים. היא אינה אומרת ש־MSE ו־QLIKE ידרגו את המודלים באותו אופן. בדוגמת שתי התקופות, שני ההפסדים מחושבים מאותן תצפיות רועשות אך מייחסים משקל שונה לשגיאות התחזית

שימור הדירוג הצפוי אינו מבטיח שכל מדגם נצפה יניב את אותו דירוג כמו השונות החבויה. רעש במדד מגדיל את השונות של ההפסדים הנצפים ועלול להקטין את עוצמת ההשוואה בין התחזיות. תקופת הערכה קצרה עשויה לשנות את דירוג המודלים רק מפני שכמה ערכי מדד היו גבוהים או נמוכים באופן חריג, גם אם אי־ההטיה המותנית מתקיימת בממוצע.

ההבטחה נכשלת גם כשהמדד מוטה מותנית ביחס למטרה שהוגדרה. שונות ממומשת בתדירות גבוהה עשויה להיות מושפעת מתנודות בין מחירי קנייה ומכירה, מציטוטים מיושנים או לא־מסונכרנים, מתדירות הדגימה ומהשמטת תשואות לילה. מדד שמיועד לשונות משולבת תוך־יומית אינו בהכרח מדד בלתי מוטה לשונות המותנית מסגירה לסגירה. המדריך לחישוב תנודתיות ממומשת מסביר אפשרויות בנייה, והמדריך לשונות ממומשת בשתי סקאלות מציג אומד אחד שנועד להתמודד עם חלק מרעש המיקרו־מבנה בנתונים בתדירות גבוהה. Hansen ו־Lunde (2006) מתעדים כיצד רעש מיקרו־מבנה בשוק עשוי להשפיע על מדידת שונות ממומשת.

למילה ״חסין״ יש כאן משמעות צרה: כשהמדד החלופי בלתי מוטה מותנית, הדירוג הצפוי נשמר. אין פירוש הדבר שניקוד המדגם מתעלם מחריגים, שכל מדד של תנודתיות ממומשת בלתי מוטה או שההשוואה מוגנת מאי־התאמה למטרה. ציינו מה המדד החלופי מודד ואילו הנחות מקשרות אותו ל־vₜ

עבור שתי תחזיות hᴬₜ ו־hᴮₜ שנקבעו באותו מועד, הפרש ה־MSE הצפוי הוא E[L_MSE(xₜ,hᴬₜ) − L_MSE(xₜ,hᴮₜ) | Fₜ₋₁] = (vₜ − hᴬₜ)² − (vₜ − hᴮₜ)². תחת אותו תנאי של המדד החלופי, הפרש ה־QLIKE הצפוי הוא log(hᴬₜ) + vₜ/hᴬₜ − log(hᴮₜ) − vₜ/hᴮₜ. הביטויים האלה מראים מה עמידות הדירוג למדד חלופי מסירה: את הרעש הנוסף בציון הצפוי של המדד. ההשוואות בין התחזיות עדיין שונות, מפני ש־MSE ו־QLIKE מייחסים עלויות שונות לשגיאות.

לאחר בחירת הניקוד, חשבו הפרש הפסדים מזווג בכל מועד תחזית משותף. אם dₜ = L_A,ₜ − L_B, ממוצע חיובי מעדיף את B מפני שההפסד שלו נמוך יותר. מבחן Diebold–Mariano בוחן אם ההפרש הצפוי שווה לאפס באמצעות סדרת הזמן של ההפרשים המזווגים; הוא אינו בוחר בין QLIKE ל־MSE או קובע איזו מטרה חשובה. מדריך Diebold–Mariano מסביר את מסגרת ההסקה הרחבה יותר.

אם תחזיות למספר תקופות חופפות, או שהפרשי הניקוד מתואמים סדרתית מסיבה אחרת, השתמשו בשגיאת תקן המביאה בחשבון תלות, כגון אומדן HAC מתאים. Newey ו־West (1987) הציגו אומדן מטריצת שונות־שותפות HAC חצי־מוגדר חיובי. ציינו את האופק, מועדי ההערכה, סימן הפרש ההפסדים, שיטת השונות־השותפות, ובמידת הצורך את הגרעין ורוחב הפס. ערך p קטן במבחן אינו מתקן מדד מוטה או כזה שאינו מתאים למטרה

השתמשו בתכנון כרונולוגי מחוץ למדגם ושמרו את התחזיות שכל מודל היה מפיק בפועל בכל מועד. קבעו את המטרה, בניית המדד החלופי, האופק, היחידה, המדגם המשותף וההפסד לפני בחינת המודל שקיבל את הניקוד הטוב ביותר. תעדו חלונות אמידה, כללי אמידה מחדש, תצפיות חסרות והאם תקופת ההערכה שימשה שוב ושוב לכוונון מודלים. אם השוויתם גם MSE וגם QLIKE ודיווחתם רק על המנצח, גלו את הבחירה הזו במקום להציג אותה כמבחן יחיד שנקבע מראש.

דווחו על ההפסד הממוצע של כל מודל, ההפרש המזווג, גודל המדגם, הגדרת המדד החלופי ושיטת ההסקה. QLIKE דורש hₜ > 0; אם מגדירים רצפה לתחזית, קבעו אותה לפני ההערכה, כי היא עשויה לשנות את הניקוד. בדקו רגישות לבחירות סבירות של מדד ודגימה, והבהירו שניסיון של אפשרויות רבות יוצר גם הוא בעיית בחירה.

הפסד תנודתיות נמוך יותר מודד ביצועים לפי הניקוד והמדד שנבחרו. הוא אינו מוכיח שמשתנה מסביר גורם לתנודתיות, שהתשואות נורמליות או שאסטרטגיה שמשתמשת בתחזית תרוויח לאחר מרווחים, עמלות, החלקה, מימון ומגבלות סיכון. העריכו מיומנות תחזית ותוצאות מסחר כטענות נפרדות