Le modèle de Heston et la volatilité stochastique : explication
Comprendre comment le modèle de Heston rend la variance aléatoire, comment le retour à la moyenne et la corrélation spot-variance façonnent les options et pourquoi l'étalonnage n'est pas une prévision
Réponse directe
Le modèle de Heston rend la variance aléatoire, réversible vers sa moyenne et corrélée aux rendements de l'actif. Il peut générer un skew et des smiles de volatilité dynamiques, mais ses paramètres ajustés décrivent une surface de modèle donnée plutôt qu'une trajectoire future unique
Une volatilité constante ignore une variable d'état mobile
Black-Scholes utilise une seule volatilité constante pendant la vie d'un contrat. Les prix de marché des options impliquent au contraire des volatilités différentes selon le prix d'exercice, l'échéance et le temps
Les modèles de volatilité stochastique traitent la variance comme une autre variable d'état aléatoire. L'incertitude de demain dépend à la fois du niveau de l'actif et de la variance atteinte au cours de la trajectoire
Cela ajoute une dynamique plus réaliste, mais aussi une source de risque non négociée. Une valorisation complète exige des hypothèses sur la manière dont le risque de variance est rémunéré
Heston donne à la variance un processus à racine carrée
La diffusion de l'actif utilise √vₜ comme volatilité instantanée. La variance suit dvₜ = κ(θ − vₜ)dt + ξ√vₜdWᵛₜ sous une mesure de valorisation choisie
La variance courante v₀ fixe le point de départ. Theta est le niveau de variance de long terme, kappa la vitesse de retour à la moyenne et xi la volatilité de la variance
Le terme de racine carrée fait varier l'ampleur des chocs de variance avec l'état courant. Les paramètres sont exprimés en unités de variance ; theta ne doit donc pas être lu directement comme un pourcentage de volatilité
Le retour à la moyenne façonne la structure par échéance
Lorsque la variance est supérieure à theta, la dérive la tire vers le bas ; lorsqu'elle est inférieure, la dérive la tire vers le haut. Kappa contrôle la vitesse de cette attraction
Un retour rapide à la moyenne fait qu'un choc courant compte davantage pour les maturités courtes que pour les maturités lointaines. Un retour lent répartit son effet plus loin sur la structure par échéance
Kappa et theta peuvent se compenser dans l'étalonnage. Un ajustement plausible de la courbe ne garantit pas que l'un ou l'autre paramètre soit précisément identifié
La corrélation crée un comportement asymétrique des options
Les chocs browniens du spot et de la variance ont une corrélation rho. Un rho négatif signifie que les chocs négatifs du spot ont tendance à coïncider avec des chocs positifs de variance
Ce canal, proche d'un effet de levier, contribue à produire un skew baissier des actions : la baisse du spot et la hausse de la variance renforcent la valeur des options baissières
Rho n'est pas la corrélation historique entre les rendements et une série de VI cotées. C'est un paramètre instantané du modèle sous la mesure et l'étalonnage retenus
La volatilité de la variance courbe la surface
Xi contrôle le caractère aléatoire de la variance. Un xi plus élevé élargit la distribution de la variance future et peut accroître la courbure entre les prix d'exercice et les échéances
Son effet interagit avec rho, kappa, theta et v₀. Un paramètre ne correspond pas proprement à une seule caractéristique visible de la surface de volatilité implicite
La condition de Feller 2κθ ≥ ξ² est une condition suffisante pour une variance strictement positive dans le processus idéal, mais l'implémentation et la discrétisation comptent toujours
L'étalonnage résout un problème inverse
Un étalonnage choisit les paramètres qui minimisent les erreurs entre les prix d'options du modèle et ceux du marché, ou entre leurs volatilités implicites, sur une grille sélectionnée
Les résultats dépendent des pondérations de l'objectif, du traitement de la fourchette acheteur-vendeur, des maturités, des prix d'exercice, des bornes, de l'optimiseur, des taux, des dividendes et des choix d'intégration numérique
Plusieurs ensembles de paramètres peuvent s'ajuster de façon similaire. Présentez les erreurs de prix et la stabilité des paramètres, puis testez le modèle ajusté sur des contrats qui n'ont pas servi à l'ajustement
Le modèle ne contient pas tous les risques
Le modèle de Heston de base possède des trajectoires continues, un facteur de variance et des paramètres fixes. Les marchés réels peuvent sauter, changer de régime, subir des événements de portage et déplacer le skew autrement
Les ailes profondes et les maturités très courtes peuvent révéler l'absence de sauts. Les maturités longues peuvent révéler un retour à la moyenne instable ou la nécessité de plusieurs facteurs
Utilisez Heston comme moteur cohérent de scénarios, et non comme preuve du véritable processus. Mettez sous stress les sauts, les paramètres, les mouvements de surface, la liquidité et l'erreur de couverture en dehors du modèle ajusté
Questions fréquentes
Quels sont les cinq principaux paramètres de Heston ?
Ce sont la variance courante, la variance de long terme, la vitesse de retour à la moyenne, la volatilité de la variance et la corrélation entre les chocs du spot et de la variance
Pourquoi rho est-il souvent négatif pour les options sur actions ?
Les baisses des actions coïncident souvent avec une incertitude croissante. Une corrélation de modèle négative aide à reproduire la volatilité implicite plus élevée des prix d'exercice baissiers
Le modèle de Heston garantit-il une variance positive ?
Le processus à racine carrée est non négatif en théorie sous un traitement approprié. La condition de Feller favorise la positivité stricte, tandis que les schémas numériques exigent toujours de la prudence
Un bon étalonnage de Heston prévoit-il la volatilité future ?
Non. Il montre qu'un ensemble de paramètres s'ajuste à un instantané d'options donné selon des pondérations et des hypothèses déclarées ; la dynamique future peut différer sensiblement