Martingales locales et martingales locales strictes expliquées
Comprenez la localisation, la perte d’espérance, les martingales locales strictes positives, les modèles de bulles, les changements de mesure et les diagnostics de valorisation des options
Réponse directe
Une martingale locale devient une martingale après arrêt avant les régions risquées. Une martingale locale stricte n’est pas une véritable martingale à l’échelle globale : en l’absence de dérive locale, l’intégrabilité peut échouer et un processus non négatif peut perdre de l’espérance
La localisation contrôle les trajectoires difficiles
Un processus adapté M est une martingale locale si des temps d’arrêt τ_n croissent presque sûrement vers l’infini et si chaque processus arrêté M_{t∧τ_n} est une martingale
Les arrêts peuvent plafonner les excursions ou les intégrales afin que les espérances conditionnelles soient bien comportées dans chaque région localisée
La localisation est un outil de preuve concernant des régions sûres qui s’étendent ; elle ne signifie pas que le processus est approximativement une martingale seulement sur de courtes périodes calendaires
Une véritable martingale exige une intégrabilité globale
Toute véritable martingale est locale, car on peut utiliser des temps d’arrêt triviaux ou bornants sous la définition pertinente
La réciproque exige des conditions telles que l’intégrabilité uniforme ou une domination adéquate permettant de faire passer les limites à travers les espérances conditionnelles
Sans ce contrôle, la masse peut s’échapper par des trajectoires de plus en plus rares et extrêmes lorsque les barrières de localisation reculent
La positivité donne une surmartingale, pas une égalité
Une martingale locale non négative est une surmartingale par des arguments de type Fatou, donc E[M_t] ≤ E[M_s] pour s ≤ t
Elle est une véritable martingale lorsque l’espérance est préservée sous une intégrabilité adéquate ; une martingale locale stricte présente un déficit d’espérance réel
Une dérive locale nulle n’implique donc pas à elle seule une espérance inconditionnelle constante
Les exponentielles stochastiques exigent un test de martingale
Les exponentielles stochastiques sont des martingales locales positives et des candidates naturelles pour les processus de densité lors des changements de mesure
Des conditions telles que Novikov ou Kazamaki peuvent établir la propriété de vraie martingale, mais ce sont des tests suffisants et non des définitions interchangeables
Si la densité candidate est stricte, son espérance terminale est inférieure à un et elle ne peut pas définir la mesure de probabilité équivalente visée sans traitement supplémentaire
La stricte localité peut représenter une bulle de modèle
Selon certaines définitions de la tarification des actifs, une martingale locale stricte actualisée et non négative présente un prix de marché supérieur à une espérance fondamentale plus faible
L’espérance manquante, souvent appelée défaut de martingale, quantifie cet écart dépendant du modèle
Il s’agit d’une affirmation dans une mesure, une filtration, une classe d’admissibilité et une règle de tarification données — et non d’une preuve automatique qu’un actif négocié est mal évalué empiriquement
Les identités familières sur les options peuvent devoir être corrigées
La parité put-call standard et la monotonie du prix d’un call avec la maturité utilisent souvent la propriété de vraie martingale du sous-jacent actualisé
Avec des martingales locales strictes, la parité peut recevoir un terme de défaut et des valeurs de calls apparemment naturelles peuvent dépendre des conventions de collatéral ou d’admissibilité
Dérivez toujours les identités à partir des hypothèses d’espérance et de négociation du modèle au lieu d’importer sans modification des formules d’absence d’arbitrage
Diagnostiquez le modèle avant d’utiliser ses prix
Vérifiez analytiquement ou numériquement la préservation de l’espérance, le comportement aux frontières, l’explosion, l’intégrabilité uniforme et la validité de tout processus de densité
Monte Carlo peut manquer les trajectoires rares responsables de la perte d’espérance ; une moyenne d’échantillon stable est donc un indice faible de la propriété de martingale
Utilisez ensemble les conditions aux frontières des EDP, les asymptotiques, les critères de stricte localité, les études de troncature et les estimations du défaut de martingale avec la simulation
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une martingale et une martingale locale ?
Une martingale satisfait globalement l’intégrabilité et l’égalité des espérances conditionnelles ; une martingale locale ne les satisfait qu’après des arrêts adéquats
Qu’est-ce qui rend une martingale locale stricte ?
Elle est stricte lorsqu’elle est locale mais n’est pas une vraie martingale, ce que révèlent généralement une intégrabilité défaillante ou une espérance décroissante pour un processus non négatif
Une martingale locale positive peut-elle gagner de l’espérance ?
Non. Une martingale locale non négative est une surmartingale, donc son espérance ne peut pas augmenter, même si elle peut rester constante
Pourquoi les martingales locales strictes comptent-elles pour les options ?
Elles peuvent introduire un défaut de martingale, modifier les relations de parité familières et rendre les prix sensibles aux conventions de frontière et d’admissibilité