La transformée d'Esscher dans la valorisation des options expliquée
Comprenez le tiltage exponentiel, les décalages de cumulants, les changements de mesure de Lévy, le choix du paramètre de martingale, les marchés incomplets et les contrôles d'existence
Réponse directe
La transformée d'Esscher pondère le résultat x par e^{θx} et le normalise avec sa fonction génératrice des moments. Dans les modèles exponentiels d'actifs, θ peut être choisi de sorte que le prix actualisé soit une martingale sous la mesure inclinée
Le tiltage exponentiel repondère les résultats
Pour une variable aléatoire X telle que M(θ) = E[e^{θX}] soit fini, définissez dQ_θ/dP = e^{θX}/M(θ)
Un θ positif donne plus de poids aux résultats élevés et un θ négatif aux résultats faibles, tandis que la normalisation fait que les nouveaux poids ont une somme égale à un
La transformée modifie les probabilités, et non les résultats observés, et n'existe que lorsque le moment exponentiel est fini
La fonction des cumulants se décale proprement
Soit κ(u) = log E[e^{uX}] sur son domaine de moments
Sous la mesure d'Esscher, le cumulant est κ_θ(u) = κ(u+θ) - κ(θ)
Les dérivées de κ_θ en zéro donnent les moments inclinés lorsqu'ils sont finis, ce qui rend la transformée pratique pour les méthodes de point selle et les calculs de risque
Un processus a besoin d'une densité cohérente dans le temps
Pour un processus de Lévy X_t, le processus de densité est Z_t = exp(θX_t - tκ(θ))
Les incréments indépendants et stationnaires font de Z une martingale positive lorsque θ appartient au domaine de moments valide
Sous Q_θ, le processus reste de Lévy, mais sa dérive et sa loi de sauts changent tandis que les résultats des trajectoires et les événements nuls restent compatibles
La mesure de Lévy est inclinée exponentiellement
Sous les conventions appropriées, la mesure des sauts passe de ν(dx) à ν_θ(dx) = e^{θx}ν(dx)
La variance brownienne reste inchangée, tandis que la dérive s'ajuste pour le tiltage brownien, la compensation des sauts et la convention de troncature
Comparer des paramètres de dérive sans indiquer la fonction de troncature peut donc créer une fausse différence
Une condition de martingale sélectionne le paramètre de valorisation
Pour S_t = S_0e^{X_t} avec un portage r-q, la propriété de martingale actualisée exige κ_θ(1) = r-q
De manière équivalente, résolvez κ(θ+1) - κ(θ) = r-q lorsque les deux moments exponentiels existent
L'équation peut n'avoir aucune solution, une solution ou une instabilité numérique près de la frontière de moments ; le choix du paramètre n'est pas automatique
Esscher est un choix dans un marché incomplet
Le risque de saut n'est généralement pas entièrement couvert, de sorte que plusieurs mesures de martingale équivalentes peuvent satisfaire l'absence d'arbitrage
La règle d'Esscher en sélectionne une en conservant une famille de modèles inclinée exponentiellement, mais l'absence d'arbitrage ne la privilégie pas à elle seule par rapport à toutes les autres
Les préférences économiques, les objectifs de calibrage, les critères d'entropie, les objectifs de couverture ou les conventions de marché peuvent impliquer une autre mesure
La validation doit inclure les queues
Vérifiez le domaine de moments pour θ et θ+1, la normalisation de la densité, le support équivalent, l'égalité de martingale et le triplet transformé
Recalibrez selon les maturités et les régimes, car un θ stable dans l'échantillon peut cacher une extrapolation instable des queues
Comparez les prix d'options et les erreurs de couverture sous d'autres mesures admissibles afin d'exposer le coût du risque de modèle lié au choix d'Esscher
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la transformée d'Esscher en termes simples ?
Elle crée une nouvelle loi de probabilité en donnant exponentiellement plus de poids aux résultats élevés ou faibles, puis en renormalisant
Comment le paramètre d'Esscher est-il choisi pour valoriser les options ?
Il est couramment choisi de sorte que le prix de l'actif modélisé actualisé devienne une martingale sous la mesure transformée
Une transformée d'Esscher existe-t-elle toujours ?
Non. Les moments exponentiels requis doivent être finis et l'équation de martingale peut n'avoir aucune solution admissible
La mesure de martingale d'Esscher est-elle unique ?
Son paramètre peut être unique au sein de la famille d'Esscher, tandis que d'autres mesures de martingale équivalentes peuvent encore exister