Théorème de Cameron-Martin en finance : translations de trajectoires admissibles

Un vecteur gaussien non dégénéré translaté par un vecteur fini fixé conserve une densité équivalente à celle de la loi gaussienne initiale

Le rapport de vraisemblance est une expression exponentielle qui fait intervenir la translation et le vecteur observé

La mesure de Wiener vit sur un espace de trajectoires de dimension infinie, où toute translation déterministe n'est pas nécessairement inoffensive

Pour un mouvement brownien sur [0,T], une trajectoire de Cameron-Martin h part de zéro et est absolument continue

Sa dérivée h′ doit être de carré intégrable, ce qui donne une énergie finie ∫₀ᵀ|h′(t)|²dt

Ces trajectoires forment un espace de Hilbert, même si une trajectoire brownienne typique n'appartient pas elle-même à cet espace

Si h appartient à l'espace de Cameron-Martin, les lois de W et W+h sont mutuellement absolument continues

Leur densité de Radon-Nikodym comporte un terme linéaire exponentiel en h′ contre W, ainsi qu'une correction égale à la moitié négative de l'énergie

L'équivalence signifie que les deux lois s'accordent sur les événements de probabilité nulle, et non que ces événements conservent les mêmes probabilités

Si une translation déterministe ne possède pas l'énergie finie requise, la mesure de Wiener translatée et la mesure initiale sont généralement mutuellement singulières

Chaque mesure se concentre alors sur un ensemble que l'autre considère comme négligeable, phénomène sans analogue gaussien en dimension finie

Cette frontière nette est le message central du théorème, et pas seulement la formule d'un rapport de vraisemblance admissible

Cameron-Martin traite les translations déterministes, tandis que Girsanov autorise des changements de dérive aléatoires convenablement adaptés

Les deux utilisent des densités exponentielles et des idées de carré intégrable, mais Girsanov exige aussi une martingale de densité valide dans les conditions énoncées

Appeler tout changement de dérive « Cameron-Martin » masque la différence entre une translation géométrique fixe et un changement de mesure stochastique

Les changements de dérive vers une mesure risque-neutre, les sensibilités fondées sur des rapports de vraisemblance, l'échantillonnage préférentiel et les modèles gaussiens de taux reposent tous sur une repondération apparentée dans l'espace des trajectoires

Une translation choisie peut rendre les régions de payoff rares plus faciles à simuler, la densité corrigeant ensuite la moyenne empirique obtenue

Les méthodes de Malliavin utilisent également les directions de Cameron-Martin pour définir les dérivées de fonctionnelles dépendant de la trajectoire et les estimateurs des Greeks

Le théorème concerne la géométrie des mesures gaussiennes ; il ne prouve ni la complétude d'un marché, ni l'absence d'arbitrage, ni la pertinence empirique de la dynamique brownienne

Une translation valide mathématiquement peut tout de même produire des poids de simulation instables ou ignorer les sauts, la volatilité stochastique et les frictions de négociation

Avant d'utiliser ce résultat en calcul, vérifiez l'espace des trajectoires, la covariance, la convention de densité, l'intégrabilité et la variance de l'estimateur