Das Heston-Modell und stochastische Volatilität erklärt
Erfahren Sie, wie das Heston-Modell Varianz zufällig macht, wie Mean-Reversion und die Spot-Varianz-Korrelation Optionen prägen und warum Kalibrierung keine Prognose ist
Kurzantwort
Das Heston-Modell macht die Varianz zufällig, mean-revertierend und mit den Assetrenditen korreliert. Es kann einen dynamischen Skew und Volatilitätssmile erzeugen, aber angepasste Parameter beschreiben eine einzelne Modelloberfläche und keinen eindeutigen zukünftigen Pfad
Konstante Volatilität verfehlt eine sich bewegende Zustandsvariable
Black-Scholes verwendet für die Laufzeit eines Kontrakts eine konstante Volatilität. Marktpreise von Optionen implizieren dagegen unterschiedliche Volatilitäten über Strike, Verfall und Zeit hinweg
Modelle mit stochastischer Volatilität behandeln die Varianz als eine weitere zufällige Zustandsvariable. Die Unsicherheit von morgen hängt sowohl vom Assetniveau als auch von der entlang des Pfads erreichten Varianz ab
Das fügt realistischere Dynamik hinzu, aber auch eine nicht gehandelte Risikoquelle. Eine vollständige Bewertung braucht Annahmen darüber, wie das Varianzrisiko bepreist wird
Heston gibt der Varianz einen Wurzelprozess
Die Asset-Diffusion verwendet √vₜ als momentane Volatilität. Die Varianz folgt unter einem gewählten Bewertungsmaß dvₜ = κ(θ − vₜ)dt + ξ√vₜdWᵛₜ
Die aktuelle Varianz v₀ legt den Ausgangspunkt fest. Theta ist das langfristige Varianzniveau, Kappa die Geschwindigkeit der Mean-Reversion und Xi die Volatilität der Varianz
Der Wurzelterm skaliert Varianzschocks mit dem aktuellen Zustand. Die Parameter sind in Varianzeinheiten angegeben, daher darf Theta nicht direkt als Volatilitätsprozentsatz gelesen werden
Mean-Reversion prägt die Laufzeitstruktur
Wenn die Varianz über Theta liegt, zieht der Drift sie nach unten; unter Theta zieht der Drift sie nach oben. Kappa steuert, wie schnell diese Rückkehr wirkt
Schnelle Mean-Reversion lässt einen aktuellen Schock kurzfristige Laufzeiten stärker beeinflussen als entfernte. Langsame Rückkehr verteilt seine Wirkung weiter über die Laufzeitstruktur
Kappa und Theta können sich bei der Kalibrierung gegenseitig ausgleichen. Eine plausible Kurvenanpassung garantiert nicht, dass einer der beiden Parameter genau identifiziert ist
Korrelation erzeugt asymmetrisches Optionsverhalten
Die Brownschen Schocks von Spot und Varianz haben die Korrelation Rho. Ein negatives Rho bedeutet, dass negative Spot-Schocks tendenziell mit positiven Varianzschocks zusammentreffen
Dieser hebelähnliche Kanal trägt zum Downside-Skew von Aktien bei: Fallender Spot und steigende Varianz verstärken gemeinsam den Wert von Downside-Optionen
Rho ist nicht die historische Korrelation zwischen Renditen und einer notierten IV-Reihe. Es ist ein momentaner Modellparameter unter dem gewählten Maß und der gewählten Kalibrierung
Volatilität der Volatilität krümmt die Oberfläche
Xi steuert die Zufälligkeit der Varianz. Ein höheres Xi verbreitert die Verteilung der zukünftigen Varianz und kann die Krümmung über Strikes und Laufzeiten erhöhen
Seine Wirkung interagiert mit Rho, Kappa, Theta und v₀. Ein einzelner Parameter lässt sich nicht sauber einem einzigen sichtbaren Merkmal der impliziten Volatilitätsoberfläche zuordnen
Die Feller-Bedingung 2κθ ≥ ξ² ist eine hinreichende Bedingung für strikt positive Varianz im idealen Prozess, aber Implementierung und Diskretisierung bleiben wichtig
Kalibrierung löst ein inverses Problem
Eine Kalibrierung wählt Parameter, die Fehler zwischen Modell- und Marktoptionspreisen oder impliziten Volatilitäten für ein ausgewähltes Gitter minimieren
Ergebnisse hängen von Gewichtung der Zielfunktion, Behandlung der Geld-Brief-Spanne, Laufzeiten, Strikes, Grenzen, Optimierer, Zinsen, Dividenden und numerischen Integrationsentscheidungen ab
Mehrere Parametersätze können ähnlich gut passen. Berichten Sie Preisfehler und Parameterstabilität und testen Sie das kalibrierte Modell an Kontrakten, die nicht für die Anpassung verwendet wurden
Das Modell enthält nicht jedes Risiko
Das grundlegende Heston-Modell hat stetige Pfade, einen Varianzfaktor und feste Parameter. Reale Märkte können springen, Regime wechseln, Ereignisse tragen und den Skew anders bewegen
Tiefe Wings und sehr kurze Laufzeiten können fehlende Sprünge sichtbar machen. Lange Laufzeiten können eine instabile Mean-Reversion oder den Bedarf an mehreren Faktoren zeigen
Verwenden Sie Heston als konsistente Szenariomaschine und nicht als Beweis für den wahren Prozess. Stressen Sie Sprünge, Parameter, Oberflächenbewegungen, Liquidität und Hedgingfehler außerhalb des angepassten Modells
Häufige Fragen
Was sind die fünf wichtigsten Heston-Parameter?
Es sind aktuelle Varianz, langfristige Varianz, Geschwindigkeit der Mean-Reversion, Volatilität der Varianz und die Korrelation zwischen Spot- und Varianzschocks
Warum ist Rho bei Aktienoptionen oft negativ?
Rückgänge bei Aktien fallen häufig mit steigender Unsicherheit zusammen. Eine negative Modellkorrelation hilft, die höhere implizite Volatilität von Downside-Strikes nachzubilden
Garantiert das Heston-Modell eine positive Varianz?
Der Wurzelprozess ist unter geeigneter Behandlung theoretisch nichtnegativ. Die Feller-Bedingung unterstützt strikte Positivität, während numerische Verfahren weiterhin Sorgfalt erfordern
Sagt eine gute Heston-Kalibrierung die zukünftige Volatilität voraus?
Nein. Sie zeigt, dass ein Parametersatz bei angegebenen Gewichten und Annahmen zu einem ausgewählten Optionsausschnitt passt; die zukünftige Dynamik kann sich erheblich unterscheiden