Realized GARCH erklärt: Renditen und realisierte Volatilität gemeinsam modellieren

ARCH- und GARCH-Modelle leiten Veränderungen der Varianz aus einer Renditezeitreihe ab. Eine Rendite ist jedoch ein verrauschtes Signal für das Ausmaß der Bewegung innerhalb ihres Zeitraums: Eine ungewöhnlich kleine Schlusskursrendite bedeutet nicht, dass die gesamte Sitzung ruhig verlief; eine große Rendite zeigt außerdem nicht den Weg, der zu ihr führte. Intraday-Kurse können mit einem separaten Maß wie der realisierten Varianz zusätzliche Informationen über die Bewegung während der Sitzung liefern.

Realized GARCH bezieht dieses Maß in die Varianzdynamik ein. In der Grundform helfen sowohl die vorherige bedingte Varianz als auch das vorherige Maß realisierter Volatilität bei der Aktualisierung der aktuellen bedingten Varianz. Das Modell enthält außerdem eine eigene Gleichung für das Maß. Sie ist zentral: Sie beschreibt dessen Beziehung zur latenten Varianz und zum Renditeschock, statt das Maß als unerklärte externe Eingabe stehenzulassen.

Die Originalarbeit berichtet eine bessere empirische Anpassung als bei einem ausschließlich auf Tagesrenditen beruhenden GARCH-Modell. Das gilt für ihre Stichprobe mit Dow-Jones-Aktien und einem börsengehandelten Fonds. Es ist ein stichprobenspezifisches Ergebnis und keine Garantie, dass Realized GARCH jeden Vermögenswert oder Zeitraum besser prognostiziert. Das reine Renditemodell wird im GARCH-Leitfaden erklärt.

Sei (rₜ) die Rendite im Zeitraum (t), gegebenenfalls nach Abzug eines bedingten Mittelwerts. (hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁)) bezeichnet die zu Beginn des Zeitraums bekannte bedingte Varianz; (xₜ) ist ein positives Maß realisierter Volatilität, das während oder am Ende von (t) beobachtet wird. (xₜ) kann etwa die Summe quadrierter Intraday-Renditen sein und muss in denselben quadrierten Renditeeinheiten wie (hₜ) ausgedrückt werden.

Die zeitliche Reihenfolge ist entscheidend. Eine Prognose für (hₜ) verwendet Informationen, die vor Beginn von (t) verfügbar waren. Nach Beobachtung von (rₜ) und (xₜ) aktualisiert das Modell die nächste Varianzprognose (hₜ₊₁). (xₜ) darf nicht verwendet werden, um zu behaupten, (hₜ) sei vorhergesagt worden, bevor der Zeitraum (t) abgelaufen war.

Realized GARCH ist ein dynamisches Modell für Renditen und ein gemessenes Volatilitätsmaß. Es ist nicht dasselbe wie eine MIDAS-Regression, die Daten verschiedener Frequenzen mithilfe einer strukturierten Gewichtsfunktion für verzögerte Werte verbindet. Beide Ansätze können Intraday-Informationen nutzen; vor einem Vergleich müssen jedoch Gleichungen, Prognoseziel und zeitliche Verfügbarkeit bestimmt werden.

Ein häufiges Realized-GARCH(1,1)-Modell besteht aus einer Rendite-, einer Varianz- und einer Messgleichung:

rₜ = √hₜ zₜ log hₜ = ω + β log hₜ₋₁ + γ log xₜ₋₁ log xₜ = ξ + φ log hₜ + τ(zₜ) + uₜ

Dabei ist (zₜ) die standardisierte Renditeinnovation, (uₜ) der Messfehler und (τ(zₜ)) ermöglicht eine Abhängigkeit des beobachteten Maßes vom Renditeschock. Die erste Gleichung skaliert einen Schock mit Varianz eins mit der bedingten Standardabweichung. Die zweite aktualisiert die logarithmierte Varianz anhand der vorherigen logarithmierten Varianz und des vorherigen logarithmierten Maßes. Die dritte verknüpft das beobachtete Log-Maß mit der aktuellen latenten Log-Varianz, dem Renditeschock und einer Messinnovation.

Die Log-Form ist praktisch, weil sich positive Werte von (hₜ) und (xₜ) auf einer unbeschränkten logarithmischen Skala darstellen lassen. Durch Exponentieren der Varianzprognose erhält man wieder einen positiven Wert. (ω) ist deshalb ein Achsenabschnitt der Log-Varianz-Gleichung und nicht selbst die langfristige Varianz. In der Grundform werden die Parameter gemeinsam geschätzt, statt einzeln interpretiert.

Setzt man die Messgleichung für t−1 in das Varianz-Update ein, wird sichtbar, wie das realisierte Maß auf die Log-Varianz zurückwirkt:

log hₜ = (ω + γξ) + (β + γφ) log hₜ₋₁ + γτ(zₜ₋₁) + γuₜ₋₁

Für diese (1,1)-Spezifikation wird die Persistenz der Log-Varianz durch β + γφ zusammengefasst, nicht allein durch β. Die Messbeziehung ergänzt eine Rückkopplung: Eine höhere vorherige Varianz geht mit einem höheren realisierten Maß einher, das dann in das nächste Update eingeht. Diese Algebra hilft, die geschätzten Koeffizienten zu interpretieren, beweist aber nicht die Stationarität jeder Realized-GARCH-Erweiterung. Für Schlussfolgerungen sind die Beschränkungen der tatsächlich geschätzten Spezifikation maßgeblich.

Hansen, Huang und Shek führen lineare und log-lineare Formen des gemeinsamen Modells ein und stellen die drei Gleichungen dar (2012). Die genaue Verzögerungsordnung, das Maß realisierter Volatilität, die Behandlung des bedingten Mittelwerts und die Innovationsannahmen müssen aus der geschätzten Spezifikation hervorgehen.

Die Messgleichung hilft zu erklären, warum sich das realisierte Maß sowohl mit der latenten Varianz als auch mit dem Renditeschock verändern kann. Eine gängige Leverage-Funktion lautet:

τ(zₜ) = τ₁ zₜ + τ₂ (zₜ² − 1)

Der lineare und der zentrierte quadratische Term können eine asymmetrische Beziehung zwischen Renditeschocks und realisiertem Maß abbilden. Die Koeffizienten bestimmen die Form. Aus der Formel allein folgt nicht, dass negative Renditen künftige Volatilität verursachen.

In der Grundform der Arbeit werden (zₜ) und (uₜ) als getrennte Innovationen modelliert; (zₜ) ist standardisiert und die beiden Innovationen werden als voneinander unabhängig angenommen. Das ist eine handhabbare statistische Spezifikation, aber kein Beleg dafür, dass Marktrenditen oder Messfehler in jeder Stichprobe einer bestimmten Verteilung folgen. Für die Schätzung kann eine gaußsche Quasi-Likelihood verwendet werden, ohne Normalität als Tatsache zu behaupten.

Diese Gleichung unterscheidet Realized GARCH auch von GARCH-X. GARCH-X kann ein beobachtetes Maß in die Varianzaktualisierung aufnehmen, ohne dessen eigene Dynamik festzulegen. Realized GARCH modelliert auch das Maß und ermöglicht damit Prognosen über einen Schritt hinaus, wenn künftige realisierte Maße noch unbekannt sind. Das Modell beschreibt einen gemeinsamen statistischen Zusammenhang; es macht das Maß nicht zu einer externen Ursache.

Angenommen, ein geschätztes log-lineares Modell hat (ω=-0.7824), (β=0.75) und (γ=0.15). Am Ende des Zeitraums (t) sei die aktuelle bedingte Varianz (hₜ=0.0004) und das beobachtete Maß realisierter Volatilität (xₜ=0.0009). Alle Werte sind hypothetisch, positiv und auf derselben täglichen Varianzskala für Dezimalrenditen angegeben.

Mit der Varianzgleichung lässt sich die Prognose für (t+1) aktualisieren:

log hₜ₊₁ = −0.7824 + 0.75 log(0.0004) + 0.15 log(0.0009) ≈ −7.7024 hₜ₊₁ = exp(−7.7024) ≈ 0.0004517

Die bedingte Standardabweichung beträgt (√0.0004517 ≈ 0.02125), also rund 2,13 % für den angegebenen Renditezeitraum. Über seinen geschätzten Koeffizienten beeinflusst das realisierte Maß die Varianzprognose für den nächsten Zeitraum. Diese Rechnung schätzt keine Koeffizienten neu und verwendet die Messgleichung nicht, um (xₜ=hₜ) zu behaupten.

Das Beispiel veranschaulicht nur die Rechnung. Es enthält weder Parameterunsicherheit noch Schätzfehler oder Beobachtungen außerhalb der Stichprobe und sagt daher nichts über statistische Signifikanz oder einen Vorsprung gegenüber einer Benchmark aus <!-- learn:illustration -->

Für die Schätzung werden zeitlich abgestimmte Renditen und realisierte Maße benötigt. Eine Likelihood oder Quasi-Likelihood verbindet die Renditegleichung mit der Messgleichung. Andere Annahmen über Innovationsverteilungen oder Abhängigkeiten können daher die geschätzten Parameter verändern. Berichten Sie Schätzverfahren, Innovationsannahmen, Behandlung des bedingten Mittelwerts, Maß realisierter Volatilität und Datenbereinigung, statt nur die Aktualisierungsrekursion anzugeben.

Nach Ende jedes Zeitraums kann das Modell mit der neuen Rendite und dem neuen realisierten Maß seinen Zustand aktualisieren und die nächste Varianz prognostizieren. Bei Mehrschrittprognosen sind künftige (x)-Werte unbekannt. Eine vollständige Realized-GARCH-Spezifikation enthält eine Dynamik für das Maß. Die Prognose muss deshalb dessen künftige Verteilung oder Erwartung berücksichtigen, statt zukünftige Werte aus der Teststichprobe einzusetzen.

Das Bewertungsziel muss zur Prognose passen, etwa die bedingte Renditevarianz der nächsten Periode oder ein realisiertes Maß über denselben Zeitraum. Stimmen Sie Ziel, Proxy, Einheiten, Horizont und Bewertungsdaten aufeinander ab. Eine Likelihood innerhalb der Stichprobe vergleicht die Anpassung der Modelle, ersetzt aber keine chronologische Prognoseprüfung.

Speichern Sie jede Prognose zu dem Zeitpunkt, zu dem sie verfügbar gewesen wäre, schätzen Sie nur mit damals bekannten Informationen neu und vergleichen Sie die Ergebnisse auf einer gemeinsamen Stichprobe mit einer vorab gewählten Benchmark. Legen Sie die Verlustfunktion fest, bevor Sie die Ergebnisse ansehen, und berichten Sie die gepaarte Verlustdifferenz mit einer Unsicherheitsschätzung, die bei Bedarf Abhängigkeiten berücksichtigt. Der Leitfaden zu QLIKE und quadratischem Fehler erklärt, wie Proxy-Eigenschaften und Verlustwahl den Vergleich beeinflussen.

Der Nutzen des Modells hängt vom verwendeten Maß und Zeitintervall ab. Ein anhand von Intraday-Kursen berechnetes Maß kann Bewegungen über Nacht auslassen, obwohl (rₜ) eine Schlusskursrendite umfasst. Die Originalarbeit lässt ein kürzeres Messfenster als das Renditeintervall zu; die Messgleichung verlangt nicht, dass (xₜ) eine unverzerrte Schätzung von (hₜ) ist. Das macht unterschiedliche Fenster jedoch nicht folgenlos: Die Interpretation von (φ), das Prognoseziel und jeder Vergleich hängen von den Intervallen ab.

Die Arbeit nennt ein konkretes Beispiel: Ein Maß aus etwa 6,5 Handelsstunden kann mit der bedingten Varianz einer 24-stündigen Schlusskursrendite verknüpft werden. In diesem Fall erwarten die Autoren φ < 1, weil das Intraday-Maß nur einen Teil des gesamten Renditeintervalls erfasst. Ein geschätztes φ ist daher an Maß, Sitzung und Renditedefinition gebunden; es ist kein universeller Kalibrierungsfaktor, der unverändert auf andere Vermögenswerte oder Stichprobendesigns übertragen werden kann.

Hochfrequenzdaten können Bid-Ask-Effekte, asynchronen Handel, Preisraster, veraltete Quotes und Erfassungsfehler enthalten. Der Leitfaden zur Realized-Volatility-Schätzung mit zwei Skalen beschreibt einen Schätzer, der einen Teil des hochfrequenten Mikrostrukturrauschens auffangen soll. Hansen und Lunde dokumentieren, dass Mikrostrukturrauschen die Messung realisierter Varianz wesentlich beeinflussen kann (2006). Ein anderer Proxy kann Anpassung, Prognosen und Leverage-Schätzungen verändern.

Die log-lineare Form enthält (log xₜ); das gewählte Maß muss daher strikt positiv sein. Wenn Daten null oder negative Werte annehmen können, lässt sich diese Spezifikation nicht ohne begründete Transformation oder Filter verwenden. Ein Floor verändert das Modell und sollte offengelegt werden. Prüfen Sie, ob das Maß Sprünge enthält, welche Sitzung es abdeckt, wie fehlende Balken behandelt werden und ob die Einheiten zur Renditevarianz passen. Mehr Intraday-Beobachtungen beseitigen Messfehler nicht automatisch.

Gewöhnliches GARCH verwendet verzögerte Renditen oder quadrierte Innovationen sowie die vorherige Varianz. Realized GARCH nimmt ein realisiertes Maß in die Varianzdynamik auf und modelliert es mit einer Gleichung, die es mit latenter Varianz und Renditeschocks verknüpft. GARCH-X behandelt das zusätzliche Maß meist als externe Eingabe. Eine MIDAS-Regression verwendet eine parametrisierte Gewichtskurve über Verzögerungen verschiedener Frequenzen; GARCH-MIDAS ist ein verwandtes Hybridmodell mit eigener Gleichungsstruktur. Diese Bezeichnungen sind nicht austauschbar.

Das Modell prognostiziert eine nach seinen Annahmen definierte bedingte Varianz oder ein realisiertes Maß. Es sagt weder die Renditerichtung voraus noch beweist es, dass ein Intraday-Maß die Varianz der nächsten Periode verursacht oder eine Strategie profitabel ist. Eine gute Likelihood innerhalb der Stichprobe garantiert keine besseren künftigen Prognosen. Handelsaussagen erfordern ein separat definiertes Signal und eine Auswertung nach Spread, Gebühren, Markteinfluss, Finanzierung und Risikolimits.

Ein reproduzierbarer Bericht nennt Vermögenswert und Stichprobe, Renditedefinition und bedingten Mittelwert, Aufbau des realisierten Maßes und Sitzungsfenster, Modellgleichungen und Verzögerungsordnungen, Innovationsannahmen, Schätzfenster, Prognosezeitpunkt und -horizont, Benchmark, Bewertungsverlust und Unsicherheitsverfahren. Zeigen Sie die Sensitivität gegenüber plausiblen alternativen Maßen und legen Sie Datenausschlüsse oder Anpassungen zur Sicherung positiver Werte offen