Das Prinzip der maximalen Entropie in der Finanzwirtschaft
Verstehen Sie die Entropiemaximierung unter Moment- und Optionspreisrestriktionen, die Dualität der Exponentialfamilie, die Rolle eines Referenzmaßes und die erforderlichen Prüfungen für eine implizite Verteilung
Kurzantwort
Das Prinzip der maximalen Entropie wählt unter allen Verteilungen, die festgelegte Restriktionen erfüllen, diejenige mit der größten Entropie. In der Finanzwirtschaft kann es aus Momenten oder Optionspreisen ein glattes risikoneutrales Gesetz ableiten. „Am wenigsten informativ“ ist jedoch nur relativ zum gewählten Träger, zu den Variablen, zum Referenzmaß und zu den Restriktionen sinnvoll.
Entropie ordnet zulässige Verteilungen
Für diskrete Wahrscheinlichkeiten p_i lautet die Shannon-Entropie H(p)=−Σ_i p_i log p_i.
Die maximale Entropie maximiert H unter p_i≥0, Σ_i p_i=1 und Restriktionen wie Σ_i p_i f_j(x_i)=c_j.
Das Ergebnis fügt keine angepasste Struktur hinzu, die nicht bereits durch den Träger, die Basisdarstellung und die erklärten Restriktionen erzwungen wird.
Die Lösung hat oft eine exponentielle Form
Mit einem Referenzmaß m und linearen Erwartungsrestriktionen hat die Lösung häufig die Form p_θ(x)=m(x)exp[Σ_jθ_jf_j(x)−ψ(θ)].
Der Log-Normalisierer ψ macht die Gesamtwahrscheinlichkeit gleich eins, während sein Gradient die Modellerwartungen an die Restriktionen anpasst.
Die Hesse-Matrix von ψ ist eine Kovarianzmatrix und verbindet die duale Krümmung mit Identifizierbarkeit und numerischer Konditionierung.
Kontinuierliche Entropie braucht ein Referenzmaß
Die differentielle Entropie verändert sich bei einer nichtlinearen Koordinatentransformation und ist kein invariantes Maß für fehlende Information.
Die Minimierung der relativen Entropie KL(p||m) gegenüber einem ausdrücklich angegebenen Prior oder Basismaß macht diese Abhängigkeit sichtbar.
Eine Änderung der Zustandsvariable, des Trägers, des Gitters oder des Referenzmaßes m kann das Ergebnis verändern, selbst wenn die offensichtlichen Restriktionen identisch aussehen.
Optionspreise werden zu linearen Restriktionen
Abgezinste Preise europäischer Optionen sind risikoneutrale Erwartungen von Auszahlungsfunktionen und können eine Endverteilung beschränken.
Normalisierung und die Martingalbedingung für den Forward müssen zusammen mit Strike-Restriktionen, Abzinsung, Dividenden und Kontraktkonventionen berücksichtigt werden.
Buchen und Kelly verwenden die maximale Entropie, um aus Optionspreisen eine Vermögensverteilung abzuleiten; eine minimale Kreuzentropie kann ein Prior-Gesetz aufnehmen.
Machbarkeit kommt vor der Optimierung
Verrauschte Mittelkurs-Quotes können Preisgrenzen, die Monotonie über Strikes oder die Konvexität verletzen. Dann gibt es keine nichtnegative Verteilung, die jeden Quote exakt erfüllt.
Geld-Brief-Bänder, gewichtete Anpassung oder Slack-Variablen können die Machbarkeit wiederherstellen, aber jede Wahl verändert die Information, die der Lösung auferlegt wird.
Restriktionen nahe an der zulässigen Grenze können Masse konzentrieren, duale Multiplikatoren nach außen treiben und die Optimierung schlecht konditionieren.
Glätte ist kein Beleg für Wahrheit
Die maximale Entropie wählt eine Verteilung aus einer unterbestimmten Menge. Sie beweist nicht, dass der Markt dieser Verteilung folgt.
Wenige Strikes lassen die Form der Tails nur schwach identifiziert, und die Entropie kann Masse nach dem Basismaß verteilen statt nach ökonomischen Belegen.
Viele verrauschte Restriktionen können Quotes überanpassen, während zu wenige die Smile-Struktur verbergen und die Unsicherheit zwischen Strikes unterschätzen können.
Validierung bepreist neu und stört die Lösung
Prüfen Sie Positivität, Normalisierung, den Forward-Mittelwert, jede angepasste Geld-Brief-Bedingung und statische Arbitrageeigenschaften auf einem dichten Strike-Gitter.
Stören Sie Quotes, Gitter, Endpunkte des Trägers, Priors, Gewichte der Restriktionen und Solver-Toleranzen, um instabile Schlussfolgerungen zu den Tails sichtbar zu machen.
Vergleichen Sie Optionspreise außerhalb der Stichprobe und berichten Sie neben einer einzelnen impliziten Dichte auch die Wahl der Entropie, duale Residuen, aktive Restriktionen und Unsicherheit.
Häufige Fragen
Was ist das Prinzip der maximalen Entropie?
Es wählt unter allen Wahrscheinlichkeitsgesetzen, die festgelegte Normalisierungs- und Erwartungsrestriktionen erfüllen, dasjenige mit der größten Entropie.
Findet die maximale Entropie die wahre Verteilung?
Nein. Sie wählt eine Verteilung mit minimalen zusätzlichen Annahmen relativ zum angegebenen Träger, Referenzmaß, zu den Variablen und Restriktionen.
Wie beschränken Optionspreise die Verteilung?
Jeder europäische Preis liefert eine abgezinste Erwartung seiner Auszahlung unter dem risikoneutralen Endgesetz.
Warum verwendet man relative statt differentielle Entropie?
Die relative Entropie macht das Prior- oder Basismaß ausdrücklich, während sich die differentielle Entropie unter Koordinatentransformationen verändert.