Große Abweichungen und das Options-Smile erklärt
Erfahren Sie, wie Ratenfunktionen exponentiell seltene Bewegungen beschreiben, wie sie in asymptotische Options- und implizite Volatilitätsformeln eingehen und wo die Approximation endet
Kurzantwort
Ein Prinzip großer Abweichungen beschreibt, wie die Wahrscheinlichkeiten seltener Ergebnisse auf einer exponentiellen Skala abnehmen. In der Optionstheorie kann seine Ratenfunktion das führende Verhalten von Tail-Preisen und impliziter Volatilität in einem angegebenen Kurzzeit-, Kleinstrausch- oder Langzeitregime bestimmen
Große Abweichungen untersuchen eine andere Skala
Der zentrale Grenzwertsatz beschreibt typische Schwankungen um einen Mittelwert, meist auf einer Quadratwurzel-Skala
Die Theorie großer Abweichungen fragt dagegen, wie die Wahrscheinlichkeit einer entfernten Menge schrumpft, wenn ein Skalenparameter extrem wird
Sie ist nützlich, wenn eine Optionsauszahlung auf Ergebnissen konzentriert ist, die für eine lokale Gauß-Approximation zu selten sind
Eine Ratenfunktion bepreist Seltenheit geometrisch
Für Variablen X_ε mit gegen unendlich strebender Geschwindigkeit a_ε fasst die Kurzschreibweise P(X_ε∈A)≈exp[−a_ε inf_{x∈A}I(x)] die Grundidee zusammen
Das formale Prinzip liefert getrennte untere und obere Schranken für offene und abgeschlossene Mengen statt einer exakten Gleichheit für jedes Ereignis
Die Ratenfunktion I ist nichtnegativ und verschwindet gewöhnlich bei typischen Zuständen; eine gute Ratenfunktion hat kompakte Niveaumengen
Kumulanten können die Rate sichtbar machen
Unter den Bedingungen von Gärtner–Ellis kann eine Grenzfunktion der skalierten kumulantenerzeugenden Funktion Λ(θ) zu I(x)=sup_θ{θx−Λ(θ)} führen
Diese Legendre–Fenchel-Transformation wählt die exponentielle Verschiebung, die den seltenen Endpunkt unter einem geänderten Maß typisch macht
Die Schlussfolgerung erfordert Prüfungen von Definitionsbereich, Differenzierbarkeit und Steilheit; eine endliche Transformation an einigen θ-Werten reicht nicht aus
Optionsasymptotik übernimmt den günstigsten seltenen Pfad
Eine aus dem Geld liegende Option zahlt nur jenseits eines Strikes, daher kann ihr führender Preis vom kostengünstigsten Zustand oder Pfad bestimmt werden, der diese Auszahlungsregion erreicht
Das Kontraktionsprinzip überträgt eine Ratenfunktion durch Abbildungen wie eine Zuordnung von Pfaden zu Endpreisen oder eine Regel zur Basket-Aggregation
Nach Abgleich der Optionsasymptotik mit einem Referenzpreis lässt sich das führende Verhalten der impliziten Volatilität für dieselbe Skalierung ableiten
Das Regime muss ausdrücklich benannt werden
Kurze Laufzeit, kleines Volatilitätsrauschen, lange Laufzeit und extremer Strike sind verschiedene Grenzfälle und können unterschiedliche Ratenfunktionen hervorbringen
Eine Formel, die bei schrumpfender Laufzeit mit festem Log-Moneyness bewiesen wurde, muss nicht gelten, wenn sich der Strike ebenfalls mit der Laufzeit bewegt
Die führende exponentielle Ordnung bestimmt weder den Vorfaktor noch die Krümmung bei endlicher Laufzeit oder wie schnell ein angegebenes Smile den Grenzwert erreicht
Ratenfunktionen ersetzen keine Arbitragefreiheit
Ein asymptotisches Smile kann außerhalb seines Gültigkeitsbereichs weiterhin Monotonie von Call-Preisen, Strike-Konvexität, Kalenderordnung oder Preisschranken verletzen
Ein risikoneutrales Endgesetz muss außerdem die Martingalbedingung des diskontierten Vermögenswerts bewahren, die eine bequeme Schwanzapproximation verfehlen kann
Verwenden Sie die Theorie als strukturelle Einschränkung oder Leitfaden zur Extrapolation und erzwingen Sie dann statische Arbitragefreiheit auf der vollständigen Preisfläche
Die Validierung sollte Skala und Struktur prüfen
Schätzen Sie Log-Wahrscheinlichkeiten oder Optionspreise für mehrere Werte von ε oder der Laufzeit und prüfen Sie, ob sich die Steigungen bei der vorhergesagten Rate stabilisieren
Vergleichen Sie, wo möglich, mit Monte-Carlo-, Transformations- oder PDE-Preisen, auch nahe der Grenze zwischen zentralen und seltenen Ereignisregionen
Dokumentieren Sie bei jeder Implementierung Skalierung, Maß, Zustandsvariable, Definitionsbereich der Ratenfunktion, Behandlung des Vorfaktors und Arbitrageprüfungen
Häufige Fragen
Was ist ein Prinzip großer Abweichungen?
Es ist ein Paar exponentieller oberer und unterer Wahrscheinlichkeitsgrenzen, die durch eine Geschwindigkeit und eine Ratenfunktion bestimmt werden, wenn eine Skala extrem wird
Wie beeinflusst eine Ratenfunktion ein Options-Smile?
Sie kann die führenden Kosten dafür bestimmen, eine Auszahlungsregion der Option zu erreichen, und daraus im selben Grenzfall das führende Volatilitätsverhalten ableiten
Ist die Theorie großer Abweichungen dasselbe wie ein Modell für eine Schwanzverteilung?
Nein. Sie liefert unter angegebenen Annahmen einen asymptotischen logarithmischen Abfall und muss weder eine normierte Verteilung bei endlicher Skala noch einen Vorfaktor spezifizieren
Kann ich eine Formel großer Abweichungen für jede Laufzeit und jeden Strike verwenden?
Nein. Das Skalierungsregime ist Teil des Satzes, und eine Änderung darin, wie sich Laufzeit, Rauschen oder Strike bewegen, kann das Ergebnis verändern