Fundamentalsatz der Assetpreisbewertung erklärt
Erfahren Sie, wie Arbitragefreiheit, äquivalente Martingalmaße und Marktvollständigkeit im Fundamentalsatz der Assetpreisbewertung zusammenhängen
Kurzantwort
Der Fundamentalsatz der Assetpreisbewertung verbindet Arbitragefreiheit mit einem äquivalenten Wahrscheinlichkeitsmaß, unter dem angemessen diskontierte handelbare Preise Martingale sind. Ein eindeutiges solches Maß charakterisiert außerdem einen vollständigen Markt
Eine Arbitrage ist stärker als ein guter Trade
Eine Arbitrage beginnt ohne Nettoinvestition, kann unter dem Modell nicht verlieren und besitzt in mindestens einem relevanten Zustand eine positive Auszahlung
Eine hohe Sharpe Ratio, ein statistischer Vorteil oder eine billig aussehende Option ist nicht automatisch eine Arbitrage, weil ein Verlust weiterhin möglich ist
Der Satz beginnt mit genau dieser Bedingung auf Modellebene. Eine Änderung zulässiger Strategien, Finanzierungsregeln oder Beschränkungen kann verändern, ob eine Arbitrage existiert
Zustandspreise verwandeln Auszahlungen in Barwerte
In einem endlichen Einperiodenmarkt wird jedem künftigen Zustand ein nichtnegatives Barwertgewicht zugewiesen. Jede replizierte Auszahlung wird durch die Summe aus Auszahlung mal Zustandsgewicht bewertet
Wenn strikt positive Gewichte alle gehandelten Preise erfüllen, kann ein Portfolio ohne Kosten keine nichtnegative Auszahlung mit einem Gewinn in irgendeinem Zustand erzeugen
Die Normierung dieser Gewichte mit dem Geldmarktkonto erzeugt Wahrscheinlichkeiten. Dieser Schritt verwandelt ein Bewertungsfunktional in ein Martingalmaß
Äquivalenz bewahrt unmögliche Ereignisse
Ein äquivalentes Maß weist genau denselben Ereignissen Wahrscheinlichkeit null zu wie das physische Maß. Es ändert relative Gewichte, ohne mögliche Zustände zu erfinden oder zu löschen
Das ist wichtig, weil eine Auszahlung, die nur in einem als unmöglich erklärten Zustand positiv ist, nicht dasselbe Arbitrageargument stützen kann
Die neuen Gewichte sind Bewertungsinstrumente und keine Behauptung, dass Anleger die neu zugewiesenen Wahrscheinlichkeiten tatsächlich glauben
Arbitragefreiheit entspricht einem Martingalmaß
In Standardmodellen mit endlichem Zustandsraum ist die Arbitragefreiheit äquivalent zur Existenz eines äquivalenten Maßes, unter dem diskontierte handelbare Preise Martingale sind
In allgemeinen zeitkontinuierlichen Märkten sind die genaue No-Free-Lunch-Bedingung und technische Annahmen wichtig. Umgangssprachliche Fassungen des Satzes können zu schwach sein
Die ökonomische Aussage bleibt bestehen: Konsistente Preise können unter einem geeigneten Bewertungsmaß als bedingte diskontierte Werte dargestellt werden
Vollständigkeit bedeutet, jede Forderung zu replizieren
Ein Markt ist vollständig, wenn jede zulässige kontingente Auszahlung durch den Handel mit den verfügbaren Assets unter dem Modell erzeugt werden kann
Vollständigkeit entspricht in Standardsituationen der Eindeutigkeit des äquivalenten Martingalmaßes. Ein Maß liefert dann für jede Forderung einen einzigen arbitragefreien Wert
Wenn mehrere Maße zu den gehandelten Assets passen, können nicht replizierbare Forderungen ohne zusätzliche Präferenz, Kalibrierung oder ein weiteres Kriterium eine Bandbreite arbitragefreier Preise besitzen
Binomial- und Black–Scholes-Modelle veranschaulichen beide Teile
Ein Binomialmodell mit einer Aktie und einer Anleihe besitzt zwei künftige Zustände und kann normalerweise jede Auszahlung mit zwei Zuständen replizieren, daher ist seine risikoneutrale Wahrscheinlichkeit eindeutig
Die ideale Black–Scholes-Diffusion nutzt kontinuierlichen Handel, um ihre einzige Brown'sche Risikoquelle aufzuspannen, und ergibt den bekannten Replikationspreis
Fügt man nicht gehandelten Volatilitätsrisiken, Sprünge, Transaktionskosten oder Handelsbeschränkungen hinzu, kann exakte Vollständigkeit verschwinden, auch wenn nützliche Modellpreise bestehen bleiben
Der Satz wählt nicht die reale Verteilung
Arbitragefreiheit beschränkt relative Preise, identifiziert aber weder erwartete Renditen noch Ereignishäufigkeiten noch das ökonomisch beste kalibrierte Modell
Zwei Modelle können zu aktuellen Preisen passen und dennoch unterschiedliche Dynamiken außerhalb beobachteter Strikes und Laufzeiten oder nach künftigen Rekalibrierungsregeln implizieren
Verwenden Sie den Satz, um Konsistenz von Prognose zu trennen. Ein gültiges Bewertungsmaß kann Instrumente neu bewerten, ohne eine verlässliche physische Prognose zu sein
Reale Implementierungen benötigen ein erklärtes Marktmodell
Spezifizieren Sie gehandelte Assets, Numeraire, Informationen, zulässige Strategien, Finanzierung, Sicherheiten, Kosten und welche Risiken tatsächlich abgesichert werden können
Prüfen Sie, ob vorgeschlagene Preise statische Schranken verletzen und ob die behauptete Replikation diskreten Handel, Liquidität und Parameterunsicherheit übersteht
Der Satz ist eine Grundlage für Modellentwurf und kein Beweis, dass ein Desk einen idealen Hedge ausführen kann oder dass jede beobachtete Quote arbitragefrei ist
Häufige Fragen
Was sagt der Fundamentalsatz der Assetpreisbewertung?
In der Standardform entspricht Arbitragefreiheit einem äquivalenten Martingalmaß, während Marktvollständigkeit seiner Eindeutigkeit entspricht
Was ist ein äquivalentes Martingalmaß?
Es erhält Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit null und macht angemessen diskontierte Preise handelbarer Assets unter dem gewählten Numeraire zu Martingalen
Impliziert Arbitragefreiheit einen einzigen eindeutigen Optionspreis?
Nur wenn die Forderung replizierbar oder der Markt vollständig ist. In einem unvollständigen Markt können mehrere konsistente Preise bestehen bleiben
Ist das risikoneutrale Maß eine Prognose der realen Welt?
Nein. Es ist eine Bewertungsdarstellung, die berücksichtigt, wie Zustände bewertet werden, und keine direkte Schätzung ihrer realen Häufigkeiten