Der Martingal-Darstellungssatz in der Finanzwirtschaft erklärt
Erfahren Sie, wie Martingale zu stochastischen Integralen werden, warum der Integrand zu einem Hedge wird und wie die Darstellung die Vollständigkeit eines Marktes bestimmt
Kurzantwort
Der Martingal-Darstellungssatz schreibt ein geeignetes Martingal als seinen Anfangswert plus ein stochastisches Integral über Risikotreiber. In der Finanzwirtschaft wird dieses Integral zu einem dynamischen Hedge, wenn die Gewinne handelbarer Vermögenswerte dieselben Treiber aufspannen.
Die Informationsquelle muss festgelegt werden
Ein Martingal wird relativ zu einer Filtration F_t definiert, also zu der im Zeitverlauf verfügbaren Information.
Im Standardtheorem für Brownsche Bewegung wird F_t von der Brownschen Bewegung erzeugt und um die üblichen Nullmengen vervollständigt.
Eine Änderung der Filtration kann das Ergebnis verändern: Zusätzliche Information kann Risiken einführen, die der angegebene Treiber nicht darstellen kann.
Der Satz verwandelt ein Martingal in ein Integral
Für ein quadratintegrierbares Brownsches Martingal M gibt es einen vorhersehbaren Prozess φ mit M_t = M_0 + ∫_0^t φ_u dW_u.
Äquivalent gilt für eine quadratintegrierbare Zufallsvariable H am Endzeitpunkt H = E[H] + ∫_0^T φ_u dW_u.
Der Integrand ist unter der relevanten Integrierbarkeitskonvention eindeutig, während seine genaue Dimension der Anzahl der treibenden Brownschen Risiken folgt.
Der Integrand wird zur Hedge-Quote
Unter einem Bewertungsmaß ist der abgezinste Wert eines Anspruchs ein Martingal, wenn die üblichen Bewertungsbedingungen gelten.
Die Darstellung dieses Werts anhand desselben Rauschens, das handelbare Vermögenswerte antreibt, zeigt die Exponierung, die dynamisch angepasst werden muss.
Das Lösen der Gleichung für die Volatilitätsladung des Vermögenswerts bildet den Martingal-Integranden auf Bestände in Aktien oder anderen riskanten Wertpapieren ab.
Die Darstellung verbindet sie mit der Marktvollständigkeit
Wenn die Gewinne handelbarer Vermögenswerte jede Komponente des treibenden Martingalrisikos aufspannen, können geeignete bedingte Ansprüche repliziert werden.
Bei einer Brownschen Diffusion hängt dies vom Rang der Volatilitätsladungsmatrix ab und nicht nur von der Anzahl der Wertpapiernamen.
Eine vollständige Darstellung stützt unter den üblichen No-Arbitrage-Annahmen ein eindeutiges äquivalentes Bewertungsmaß.
Zusätzliches Risiko kann die Darstellung durch handelbare Vermögenswerte brechen
Ein nicht gehandelter Brownscher Faktor, eine Sprungquelle, ein Ausfallzeitpunkt oder ein erweiterter Informationsfluss kann eine Martingalkomponente hinzufügen, die von den Vermögenswerten nicht aufgespannt wird.
Das Anspruchsmartingal kann dann ein orthogonales Residuum enthalten, das keine selbstfinanzierende Strategie in den verfügbaren Wertpapieren beseitigt.
Das mathematische Martingal kann weiterhin in einer größeren Menge von Treibern dargestellt werden, während der Finanzmarkt unvollständig bleibt.
Unvollständigkeit verändert die Auswahl von Preis und Hedge
Ohne exakte Replikation können mehrere Martingalmaße und eine Bandbreite von Anspruchspreisen mit No-Arbitrage vereinbar sein.
Kriterien wie minimale Varianz, Nutzen, Indifferenz oder Superhedging bestimmen unterschiedliche Behandlungen der nicht aufgespannten Komponente.
Das gewählte Kriterium ist ein ökonomischer Input und keine alleinige Konsequenz des Darstellungssatzes.
Die Prüfung verlangt, jede Annahme abzugleichen
Geben Sie Filtration, Wahrscheinlichkeitsmaß, Treibermenge, Integrierbarkeitsklasse, zulässige Strategien und die Volatilitätsmatrix der Vermögenswerte an.
Prüfen Sie Vorhersagbarkeit und quadratische Integrierbarkeit des Integranden sowie Rang und Stabilität, wenn er in Positionen umgewandelt wird.
Backtesten Sie Residualgewinne getrennt von Transaktionskosten und Diskretisierungsfehlern. Ein kleines Residuum in einer Stichprobe beweist keine theoretische Vollständigkeit.
Häufige Fragen
Was sagt der Martingal-Darstellungssatz einfach gesagt?
Er sagt, dass jede neue Veränderung eines geeigneten Martingals durch das Ansammeln vorhersehbarer Exponierung gegenüber den angegebenen Zufallstreibern gebildet werden kann.
Warum ist die Filtration wichtig?
Sie legt fest, welche Informationen und Überraschungen existieren. Ihre Erweiterung kann Martingalrisiko einführen, das von den ursprünglichen Treibern nicht dargestellt wird.
Garantiert die Martingal-Darstellung einen handelbaren Hedge?
Nein. Die mathematischen Treiber müssen zusätzlich durch Gewinne aus Wertpapieren aufgespannt werden, die unter zulässigen Strategien tatsächlich gehandelt werden können.
Wie hängt der Satz mit vollständigen Märkten zusammen?
Ein Markt ist vollständig, wenn handelbare Gewinne jedes relevante Anspruchsmartingal in der gewählten Informationsstruktur darstellen und replizieren können.