Edgeworth- und Gram-Charlier-Entwicklungen erklärt
Vergleichen Sie, wie Edgeworth- und Gram-Charlier-Entwicklungen Kumulanten verwenden, warum ihre Ordnung unterschiedlich ist und was bei Optionspreis- und Tail-Schätzungen schiefgehen kann
Kurzantwort
Gram-Charlier entwickelt eine Dichte formal um eine Referenzverteilung unter Verwendung von Kumulantendifferenzen. Edgeworth ordnet verwandte Hermite-Korrekturen nach einer asymptotischen Ordnung, häufig nach Potenzen der Stichprobengröße. Diese Ordnung gibt Edgeworth eine klarere Fehlerlogik, aber keine der beiden abgeschnittenen Reihen ist automatisch eine gültige Dichte
Beide beginnen mit einem vertrauten Referenzgesetz
Nach der Standardisierung einer Variablen schreiben beide Verfahren häufig Korrekturen zur Normaldichte mit Hermite-Polynomen
Schiefe führt eine asymmetrische Korrektur ein, während überschüssige Kurtosis die Form von Schultern und Tails gegenüber der gaußschen Referenz verändert
Die gemeinsame Notation lässt die beiden Entwicklungen austauschbar erscheinen, obwohl sich ihre Herleitungen und Interpretationen unterscheiden
Gram-Charlier ist eine formale Kumulantenentwicklung
Die Gram-Charlier-Reihe stellt eine Zieldichte durch Ableitungen einer Referenzdichte dar, gewichtet mit Kumulantendifferenzen
Eine praktische Kürzung kann Schiefe- und Kurtosis-Terme behalten, weil sie interpretierbar sind, und nicht, weil sie dieselbe kontrollierte Fehlerordnung haben
Die Konvergenz kann schlecht oder nicht vorhanden sein, und zusätzliche formale Terme müssen die Näherung an einem gewählten Punkt nicht verbessern
Edgeworth wird nach einer asymptotischen Skala geordnet
Für standardisierte Summen schrumpfen Kumulanten mit bekannten Raten in n, sodass Korrekturen nach Potenzen wie n^{-1/2} gruppiert werden können
Auf der nächsten Ordnung können Terme sowohl vierte Kumulanten als auch das Quadrat der dritten Kumulante enthalten und nicht einfach das nächste Hermite-Polynom
Eine Edgeworth-Kürzung hat daher nur zusammen mit ihrer Folge, Normalisierung und dem Bereich ihrer behaupteten asymptotischen Gültigkeit eine Bedeutung
Optionsformeln übersetzen Momente in Preiskorrekturen
Eine angenäherte Optionsbewertung kann eine Auszahlung gegen eine korrigierte risikoneutrale Dichte integrieren oder um einen Referenzwert wie Black-Scholes entwickeln
Jarrow-Rudd entwickelt eine Reihe um eine gewählte angenäherte Verteilung, während Corrado-Su Gram-Charlier-Korrekturen für Schiefe und Kurtosis anpasst
Die angepassten Kumulanten sind risikoneutrale Größen für die Preisbildung, wenn sie aus Optionen abgeleitet werden, und keine direkten Prognosen physischer Renditehäufigkeiten
Momentenanpassung kontrolliert die Tails nicht
Viele Verteilungen haben dieselben ersten vier Momente, weisen aber sehr unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten für Crashs oder extreme Kursanstiege zu
Hermite-Korrekturen wachsen weit außerhalb des Zentrums schnell, sodass ein Term, der nahe am Mittelwert klein ist, in den Tails dominieren und oszillieren kann
Höhere Stichproben- oder implizite Momente sind ebenfalls verrauscht, wodurch Koeffizienten instabil werden und stark vom für die Kalibrierung verwendeten Strike-Bereich abhängen
Eine abgeschnittene Reihe ist möglicherweise keine Verteilung
Die angenäherte Dichte kann negativ werden, sich nicht zu eins integrieren oder eine CDF erzeugen, die in einem Teil ihres Bereichs fällt
Im Optionsraum können diese Fehler als Preise außerhalb von Schranken oder als Verletzungen der Monotonie nach dem Strike und der Butterfly-Konvexität erscheinen
Eine Renormalisierung behebt nur die Gesamtmasse; sie stellt nicht automatisch Positivität, den Forward-Mittelwert oder jede No-Arbitrage-Bedingung wieder her
Verwenden Sie die Entwicklung als lokale Diagnose
Geben Sie Referenzgesetz, Standardisierung, beibehaltene asymptotische Ordnung, Kumulantenkonvention und Strike-Bereich an, bevor Sie Koeffizienten interpretieren
Prüfen Sie Dichtepositivität und Normalisierung, rekonstruieren Sie den diskontierten Forward und testen Sie Monotonie und Konvexität von Call-Preisen auf einem größeren Gitter
Vergleichen Sie außerhalb der Stichprobe mit einem Modell positiver Dichte oder einer direkten Optionsinterpolation, besonders bevor Sie über liquide Strikes hinaus extrapolieren
Häufige Fragen
Was ist der Hauptunterschied zwischen Edgeworth und Gram-Charlier?
Edgeworth ordnet Korrekturen nach einer asymptotischen Skala, während Gram-Charlier grundsätzlich eine formale Entwicklung in Kumulantendifferenzen ist
Warum verwenden beide Entwicklungen Hermite-Polynome?
Hermite-Polynome entstehen aus wiederholten Ableitungen der Normaldichte und sind deshalb natürliche Träger von Kumulantenkorrekturen
Können vier Momente eine Optionspreisverteilung bestimmen?
Nein. Verteilungen mit identischen ersten vier Momenten können unterschiedliche Tail-Formen und damit unterschiedliche Optionspreise für weit entfernte Strikes haben
Reicht eine Renormalisierung einer negativen angenäherten Dichte aus?
Nein. Die Gesamtmasse kann repariert werden, während Negativität, ein falscher Forward-Mittelwert, eine fallende CDF oder Arbitrageverletzungen bei Optionen bestehen bleiben