Arrow–Debreu-Zustandspreise erklärt
Verstehen Sie zustandsabhängige Wertpapiere, warum sich Zustandspreise von Wahrscheinlichkeiten unterscheiden und wie die Krümmung von Optionspreisen eine risikoneutrale Dichte erkennen lässt
Kurzantwort
Ein Arrow–Debreu-Wertpapier zahlt eine Einheit in einem bestimmten zukünftigen Zustand und andernfalls null. Sein aktueller Zustandspreis verbindet Zeitdiskontierung, physische Wahrscheinlichkeit und den Wert, den Vermögen in diesem Zustand hat; er ist daher keine reine Wahrscheinlichkeit
Elementare Ansprüche isolieren einen einzelnen zukünftigen Zustand
Nehmen wir an, die zukünftige Unsicherheit sei in sich gegenseitig ausschließende Zustände unterteilt. Das Wertpapier s zahlt nur dann eine Einheit, wenn Zustand s eintritt
Jede zustandsabhängige Auszahlung X kann dann als Sammlung von Zustandsgrößen X_s geschrieben werden
Wenn alle elementaren Ansprüche gehandelt oder repliziert werden können, bilden sie eine Basis für die Bewertung jeder Auszahlung in diesem endlichen Zustandsraum
Zustandspreise bewerten Vektoren vollständiger Auszahlungen
Sei q_s der heutige Preis einer Einheit im Zustand s. Der Preis der Auszahlung X ist die Summe von q_s X_s über alle Zustände
Linearität folgt aus dem Zusammenstellen von Portfolios, während positive Zustandspreise eine kostenlose, nichtnegative Auszahlung in einem möglichen Zustand verhindern
Der Preis einer risikofreien Einheit in jedem Zustand ist die Summe aller q_s und entspricht dem relevanten Nullkuponanleihepreis
Ein Zustandspreis ist keine physische Wahrscheinlichkeit
Wenn p_s die physische Wahrscheinlichkeit und m_s der stochastische Diskontfaktor ist, gilt q_s = p_s m_s
Ein seltener Katastrophenzustand kann pro Wahrscheinlichkeit einen hohen Preis haben, weil dort geliefertes Vermögen besonders wertvoll ist
Die Division von q_s durch den Anleihepreis ergibt eine risikoneutrale Wahrscheinlichkeit und trennt die Normierung vom ursprünglichen Barwert des Zustandsanspruchs
Optionsspreads nähern Zustandsansprüche an
Ein enger Butterfly-Spread zahlt vor allem, wenn der Basiswert nahe seinem mittleren Strike endet, und nähert damit einen schmalen zustandsabhängigen Anspruch an
Wenn der Strikeabstand gegen null geht, gewinnt die zweite Strike-Ableitung einer glatten Kurve europäischer Callpreise unter Standardannahmen die diskontierte risikoneutrale Dichte zurück
Dieses Breeden–Litzenberger-Ergebnis verbindet beobachtbare Krümmung über Strikes mit Zustandspreisen und nicht direkt mit physischen Einschätzungen
Keine-Arbitrage-Bedingungen begrenzen die Form
Callpreise sollten mit dem Strike sinken und konvex bleiben, weil digitale und Butterfly-Zustandsansprüche keine negativen Preise haben können
Auch Kalenderkonsistenz und die korrekte Behandlung von Forward, Diskontierung, Dividenden und Abrechnung sind erforderlich, bevor eine Oberfläche interpretiert wird
Verletzungen können veraltete Quotierungen, Bid-Ask-Rauschen, diskrete Strikes, vorzeitige Ausübung oder eine echte Inkonsistenz der Eingaben widerspiegeln, statt eine handelbare Arbitrage zu sein
Unvollständige Märkte lassen Zustandspreise unterbestimmt
Wenn gehandelte Auszahlungen nicht alle Zustände aufspannen, können viele Zustandspreisvektoren dieselben beobachteten Preise reproduzieren
Grenzen für einen nicht gehandelten Anspruch folgen aus Portfolios, die ihn unter- oder überreplizieren, doch für einen einzelnen Preis wird ein weiteres Kriterium benötigt
Das Hinzufügen von Optionen über mehrere Strikes verbessert den dargestellten Auszahlungsraum, aber endliche und verrauschte Kontrakte erzeugen nicht automatisch ein ideales Kontinuum
Die Extraktion ist ein statistisches inverses Problem
Reale Optionsketten sind dünn besetzt, verrauscht, asynchron und im Strike-Bereich begrenzt. Zweite Ableitungen verstärken diese Unvollkommenheiten
Interpolation, Glättung, Extrapolation der Enden, amerikanische Ausübung, Zinsen und Dividendenannahmen können die abgeleitete Dichte erheblich verändern
Validieren Sie Neubewertung, Positivität, Integration zum Anleihepreis, Forward-Konsistenz und die Empfindlichkeit gegenüber der Glättung, bevor Sie Zustandspreise verwenden
Häufige Fragen
Was ist ein Arrow–Debreu-Wertpapier?
Es ist ein bedingter Anspruch, der eine Einheit zahlt, wenn ein bestimmter zukünftiger Zustand eintritt, und in jedem anderen Zustand null
Sind Zustandspreise dasselbe wie Wahrscheinlichkeiten?
Nein. Sie enthalten Wahrscheinlichkeit und Wert des Vermögens in jedem Zustand sowie Zeitdiskontierung
Wie zeigen Optionen Zustandspreise?
Die zweite Ableitung einer glatten europäischen Callpreiskurve nach dem Strike entspricht der diskontierten risikoneutralen Dichte
Warum können geschätzte Zustandspreise instabil sein?
Sie erfordern die Ableitung dünn besetzter, verrauschter Preise und hängen daher stark von Interpolation, Enden, Carry und Ausübungsbehandlung ab