Realized Semivariance: ঊর্ধ্বমুখী ও নিম্নমুখী volatility আলাদা করে মাপা

একটি নির্দিষ্ট সময়খণ্ডে দেখা intraday log return যদি \(r_i\) হয়, তবে realized variance হলো বর্গ করা রিটার্নের যোগফল, \(RV=\sum_i r_i^2\)। বর্গ করলে লাভ ও ক্ষতি দুই-ই ধনাত্মক হয় এবং বড় পরিবর্তন বেশি ওজন পায়। এই পরিমাপ সময়খণ্ডে জমা হওয়া variation মাপে; পরিবর্তনটি ঊর্ধ্বমুখী না নিম্নমুখী ছিল তা বলে না।

Realized semivariance বর্গ করার আগে রিটার্নের sign ধরে রাখে। ধনাত্মক অংশে শূন্যের ওপরে রিটার্নের বর্গ, আর ঋণাত্মক অংশে শূন্যের নিচের রিটার্নের বর্গ যোগ হয়। একই observation ও convention ব্যবহার করলে দুই অংশের যোগফল realized variance-এর সমান। শূন্য রিটার্ন কোনো অংশেই কিছু যোগ করে না। এটি হিসাবের পরিচয়; দুই দিক আলাদা causal risk source—এমন প্রমাণ নয়।

গবেষণার প্রশ্ন যখন দিকভিত্তিক variation নিয়ে—যেমন আগের ঋণাত্মক রিটার্নের variation ভবিষ্যৎ volatility সম্পর্কে আগের ধনাত্মক রিটার্নের variation থেকে ভিন্ন তথ্য দেয় কি না—তখন এই বিভাজন উপকারী। Barndorff-Nielsen, Kinnebrock ও Shephard high-frequency downside variation মাপতে realized semivariance প্রস্তাব করেন। তাঁদের working paper quadratic variation ও negative jump-এর সঙ্গে এর সম্পর্ক ব্যাখ্যা করে।

রিটার্ন \(r_1,\ldots,r_n\) হলে সংজ্ঞা:

\[ RS^+ = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i>0), \qquad RS^- = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i<0), \]

এখানে \(\mathbf{1}(\cdot)\) শর্ত সত্য হলে 1, অন্যথায় 0। তাহলে

\[ RV = \sum_{i=1}^{n}r_i^2 = RS^+ + RS^-. \]

কিছু গবেষণাপত্রে label বা superscript আলাদা হতে পারে, তাই কোন পদটি ধনাত্মক রিটার্ন এবং কোনটি ঋণাত্মক রিটার্ন বোঝায় তা প্রতিবেদনে স্পষ্ট করুন। উপরের সূত্রে শূন্যের তুলনায় uncentered return ব্যবহৃত হয়েছে: sample mean, target return, বা risk-free rate বিয়োগ করা হয়নি। কোনো target বা mean ঘিরে হিসাব করা sample semivariance আলাদা statistic।

একক হলো রিটার্নের এককের বর্গ। রিটার্ন basis point-এ হলে প্রতিটি অংশের একক \(\text{bp}^2\)। decimal log return হলে একক decimal-return squared। percent return থেকে basis point-এ রূপান্তরে squared measure-এর সংখ্যামান 10,000 গুণ হয়; তাই সংখ্যার সঙ্গে একক উল্লেখ করুন।

ধরা যাক, একটি কাল্পনিক সেশনে basis point-এ ছয়টি return হলো:

\[ (2,-1,3,-4,0,-2)\;\text{bp}. \]

ধনাত্মক রিটার্নের অবদান \(2^2+3^2=13\,\text{bp}^2\)। ঋণাত্মক রিটার্নের অবদান \((-1)^2+(-4)^2+(-2)^2=21\,\text{bp}^2\)। শূন্য রিটার্ন কিছু যোগ করে না। সুতরাং realized variance:

\[ RV=13+21=34\,\text{bp}^2. \]

এই ছোট উদাহরণে ঋণাত্মক দিকের ভাগ \(21/34\), প্রায় 61.8%, আর ধনাত্মক দিকের ভাগ প্রায় 38.2%। এগুলো বানানো যোগফলের ভাগ; ভবিষ্যৎ ক্ষতির সম্ভাবনা বা দীর্ঘমেয়াদি স্থিতিশীল asymmetry-এর estimate নয়। ছয়টি return inference করার জন্য যথেষ্ট নয়। হিসাবটি শুধু সংজ্ঞা যাচাই করে।

Realized volatility guide ভাগ না করা squared return-এর যোগফল নিয়ে আলোচনা করে। Bipower variation guide বিরল jump থাকলে continuous variation estimate করার আলাদা প্রশ্নটি দেখে। Directional semivariance ও jump-robust variation একসঙ্গে গবেষণা করা যায়, কিন্তু একটির জায়গায় অন্যটি বসে না।

যদি latent log-price একটি continuous semimartingale অনুসরণ করে এবং প্রাসঙ্গিক regularity condition-এর অধীনে sampling ক্রমে সূক্ষ্ম হয়, তবে positive ও negative return semivariance প্রত্যেকটি continuous quadratic variation-এর অর্ধেকের দিকে converge করে। এই অবস্থায় underlying continuous variation-এ স্থায়ী directional split না থাকলেও finite-sample দুই মোটের পার্থক্য হতে পারে; sampling randomness গুরুত্বপূর্ণ।

Jump ঘটলে তার squared size sign অনুযায়ী positive বা negative অংশে যায়। এতে total realized variance যে দিক-সংক্রান্ত তথ্য বাদ দেয়, তার কিছুটা থাকে। তবে প্রতিটি negative return jump—এমন নয়, কিংবা positive return সবসময় নিরাপদ—এমনও নয়। বড় continuous move এবং jump, দুটিই বড় squared return তৈরি করতে পারে। Sign কেবল দেখা increment-কে শ্রেণিবদ্ধ করে, অর্থনৈতিক কারণ চিহ্নিত করে না।

নিচের ধারণাগত চিত্রে positive ও negative increment-কে আলাদা visual group-এ দেখানো হয়েছে। এটি data chart, test result, বা underlying process-এ স্থায়ী directional bias-এর দাবি নয়।

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: positive and negative return increments feed separate collections of squared-magnitude tiles, while their combined area echoes total realized variation. No measured data or market direction is implied. -->

ভবিষ্যৎ volatility model-এ realized semivariance-কে আলাদা predictor হিসেবে রাখা যায়। Patton ও Sheppard তাঁদের S&P 500 ও individual stock নিয়ে গবেষণায় নিজস্ব sample ও specification-এ দেখেছেন, আগের negative-return variation ভবিষ্যৎ volatility-এর সঙ্গে positive-return variation-এর তুলনায় বেশি শক্তভাবে সম্পর্কিত ছিল। এটি তাঁদের গবেষণা নকশার empirical finding—সব বাজারের সার্বজনীন নিয়ম বা নতুন strategy ভালো forecast করবে তার নিশ্চয়তা নয়।

Forecasting দাবি করতে হলে target ও horizon নির্দিষ্ট করুন, উপযুক্ত benchmark-এর সঙ্গে তুলনা করুন এবং out of sample মূল্যায়ন করুন। এক দিনের \(RS^-\) ও \(RS^+\)-এর পার্থক্য বর্ণনামূলক, predictive power-এর প্রমাণ নয়। Regression-এ volatility persistence, overlapping horizon, parameter uncertainty ও data selection-ও সামলাতে হতে পারে। Forecast error-কে সিদ্ধান্তের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ loss function দিয়ে মূল্যায়ন করতে হবে।

বহুচলক সম্প্রসারণে Bollerslev, Li, Patton ও Quaedvlieg paired high-frequency return-এর sign অনুযায়ী realized covariance ভাগ করা realized semicovariance তৈরি করেন। তাঁদের Econometrica paper দেখায়, same-sign ও mixed-sign component ভিন্ন তথ্য দিতে পারে। একচলক positive/negative split আরও সরল; একে পূর্ণ covariance বা portfolio-risk decomposition বলা উচিত নয়।

“Downside semivariance” কথাটি একাধিক অর্থে ব্যবহৃত হয়। এখানে realized measure শূন্যের নিচের high-frequency return-এর বর্গ যোগ করে। Target-based downside statistic নির্দিষ্ট threshold—প্রায়ই target বা minimum acceptable return—এর নিচের return বর্গ করে। Sample calculation-এ observation-কে mean ঘিরেও কেন্দ্রিত করা হতে পারে। একই return series থেকেও এই সংজ্ঞাগুলো ভিন্ন প্রশ্নের উত্তর ও ভিন্ন মান দেয়।

কোনো realized semivariance-ই Value-at-Risk বা Expected Shortfall নয়। VaR নির্দিষ্ট loss distribution ও horizon-এর quantile বোঝায়; Expected Shortfall নির্দিষ্ট convention-এ quantile অতিক্রম করা loss সারাংশ করে। Intraday negative return-এর squared sum-এর কোনোটিরই সেই অর্থ নেই। এটি drawdown-এর পূর্ণ মাপও নয়, কারণ drawdown রিটার্নের ক্রম ও path-এর ওপর নির্ভর করে।

কোনো chart বা model-এ \(RS^-\)-কে “downside risk” বললে তার ঠিক পাশে সংজ্ঞা দিন। Return শূন্য না target থেকে মাপা, কোন sampling frequency ব্যবহৃত, আর মানটি interval statistic, forecast input, নাকি portfolio measure—তা বলুন। GARCH volatility guide conditional variance dynamics ব্যাখ্যা করে; realized semivariance দিকভিত্তিক high-frequency measure দেয়, যা model input হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

Sign split observed return sequence-এর ওপর নির্ভর করে। আরও ঘন ঘন sample নিলে bid–ask bounce, price discreteness, stale quote এবং timestamp effect যুক্ত হতে পারে। Price proxy বা sampling grid বদলালে ছোট recorded move-এর sign উল্টে যেতে পারে। তাই microstructure noise squared magnitude এবং কোন side-এ return যাবে—দুটিই বদলাতে পারে। বেছে নেওয়া series-এর জন্য \(RV=RS^++RS^-\) পরিচয়টি ঠিক থাকলেও sampling design সঠিক—এটি প্রমাণ হয় না।

Robust comparison-এর জন্য price field, sampling interval, session boundary, zero return handling, outlier rule এবং asset-গুলোর return synchronous কি না নথিবদ্ধ করুন। যুক্তিসঙ্গত sampling choice-এ sensitivity পরীক্ষা করুন। Jump identification বা noise robustness মূল প্রশ্ন হলে সেই লক্ষ্য অনুযায়ী estimator বা test ব্যবহার করুন; sign split-কে correction হিসেবে ব্যাখ্যা করবেন না। Two-scale realized-volatility guide noise correction-এর একটি বিকল্প ব্যাখ্যা করে।

Statistical inference-এর জন্য sampling distribution বা উপযুক্ত resampling design-ও দরকার। Positive ও negative component একই path থেকে তৈরি, তাই তারা নির্ভরশীল হতে পারে। Overlapping window আরও dependence যোগ করতে পারে। Confidence interval বা forecast comparison-এ এসব বৈশিষ্ট্য মানতে হবে; দুটি point estimate তুলনা করলেই predictive role আলাদা প্রমাণ হয় না।

স্পষ্ট প্রতিবেদনে asset বা portfolio return series, observation window, return definition, sampling grid ও unit উল্লেখ থাকে। \(RS^+\), \(RS^-\)-এর সূত্র দিন, তাদের যোগফল realized variance দেয় কি না যাচাই করুন, এবং zero ও missing observation কীভাবে সামলানো হয়েছে বলুন। Forecast model-এ measure ব্যবহার করলে horizon, benchmark, evaluation period ও loss function-ও জানান।

Aggregation assumption না জানিয়ে realized semivariance-কে annualized volatility-তে রূপ দেবেন না। নির্বাচিত convention-এ দৈনিক semivariance যোগ করে বর্ণনামূলক annual total করা যায়, কিন্তু তার square root স্বয়ংক্রিয়ভাবে পরিচিত distribution-সহ downside standard deviation হয় না। Annualization biased price input, sparse sampling বা selection effect ঠিক করে না।

মূল ব্যবহার হলো নিয়ন্ত্রিত measurement: realized variation-এর quadratic weighting রেখে observed return-এর দিক ধরে রাখা। ফলাফল পরীক্ষা করার মতো pattern দেখাতে পারে। কিন্তু একা কারণ চিহ্নিত করতে, tail probability মাপতে, বা ঐতিহাসিক asymmetry-কে trading signal করতে পারে না।