Par, Spot ও Forward Rate: ইল্ড কার্ভ কী দেখায়

বিভিন্ন payment schedule ও maturity-র সিকিউরিটির দাম বা yield থেকে বন্ড কার্ভ তৈরি হয়। Coupon-paying বন্ডের বাজারদর ভবিষ্যতের একাধিক cash flow-কে একটি yield-to-maturity সংখ্যায় সংক্ষেপ করে। Zero-coupon spot rate একটি নির্দিষ্ট তারিখের এককালীন payment-কে মূল্যায়ন করে। Forward rate পরে শুরু হওয়া একটি সময়পর্বের হার বোঝায়। একই discounting সম্পর্কের সঙ্গে যুক্ত হলেও এগুলো cash flow-সম্পর্কিত আলাদা প্রশ্নের সারাংশ।

কোনো স্ক্রিনে “দুই বছরের yield” লেখা থাকলে সেটি নির্দিষ্ট দুই বছরের Treasury note-এর yield, fit করা par curve থেকে পড়া constant-maturity point, zero-coupon spot rate, অথবা ভবিষ্যতের কোনো তারিখ থেকে শুরু হওয়া forward rate বোঝাতে পারে। শুধু maturity label দিয়ে হারটি চেনা যায় না। curve-এর উৎস, instrument, compounding convention, এবং সংখ্যাটি চলতি সিকিউরিটির yield, par rate, zero rate, নাকি ভবিষ্যৎ সময়পর্বের rate—তা যাচাই করুন।

তিনটি ব্যবহারিক প্রশ্নে ধারণাগুলো আলাদা হয়: নির্দিষ্ট তারিখে একটি payment discount করতে কোন rate লাগে? কোন coupon-এ বন্ডটি par-এ থাকবে? পরের কোনো সময়পর্বে কোন rate একই শুরু ও শেষ তারিখের দুটি investment path-কে সমান করবে? এগুলো যথাক্রমে spot, par ও forward rate-এর প্রশ্ন।

Spot rate, matching maturity-র জন্য zero-coupon rate-ও বলা হয়, ওই maturity-তে একবারের payment discount করার হার। একটি কাল্পনিক দুই বছরের zero-coupon দাবি যদি দ্বিতীয় বছরের শেষে $100 দেয় এবং তার annual effective spot rate 4% হয়, তবে এই সরল convention-এ তার আজকের মূল্য $100 ÷ (1.04)², অর্থাৎ প্রায় $92.46। ওই cash flow-তে মাঝখানে coupon payment নেই।

Discount factor yield-কে annualize না করেও একই সম্পর্ক দেখায়। DF(T) ধরা যাক সময় T-তে পাওয়া $1-এর বর্তমান মূল্য। Annual compounding-এ DF(T) = 1 ÷ (1 + z(T))^T, যেখানে z(T) হলো বছর হিসেবে T maturity-র spot rate। অন্য ঝুঁকি বা convention সমন্বয়ের আগে T-তে দেওয়া cash flow C-এর মূল্য C × DF(T)। প্রতিটি তারিখের payment-এ আলাদাভাবে প্রয়োগ করা যায় বলে pricing calculation-এ discount factor প্রায়ই বেশি সরাসরি উপাদান।

Coupon bond-এর একাধিক তারিখে payment থাকে, তাই সাধারণত প্রতিটি payment date-এর জন্য discount factor লাগে। সব coupon-কে একটি yield-to-maturity দিয়ে discount করা নির্দিষ্ট YTM convention-এর অধীনে সুবিধাজনক shortcut; এটি spot curve বরাবর প্রতিটি cash flow discount করার সমান নয়। curve ঢালু হলে, cash flow date অনিয়মিত হলে, বা coupon আলাদা হলেও দুই বন্ডের শেষ maturity কাছাকাছি হলে এই পার্থক্য গুরুত্বপূর্ণ।

Par yield হলো curve-এর discount factor ও ধরে নেওয়া payment date অনুযায়ী এমন coupon rate, যাতে তাত্ত্বিক coupon bond-এর মূল্য face value-র সমান হয়। $100 face value-র annual-pay bond-এর cash flow যদি বছর 1 থেকে T পর্যন্ত হয়, তবে par coupon c সমাধান করে: $100 = c × DF(1) + c × DF(2) + … + ($100 + c) × DF(T)। Semiannual বা অনিয়মিত payment হলে প্রতিটি coupon period-এর accrued fraction এবং সংশ্লিষ্ট discount date-ও সমীকরণে আসে।

এই সংজ্ঞা par yield-কে বিদ্যমান বন্ডের coupon ও yield-to-maturity থেকে আলাদা করে। ইস্যু করা সিকিউরিটির coupon তার শর্তে লেখা থাকে; দাম পাল্টালে তার market yield পাল্টায়। Par yield হলো curve থেকে নেওয়া তাত্ত্বিক নতুন বন্ডের coupon, যার দাম face value। যুক্তরাষ্ট্রের Treasury জানায়, তাদের প্রকাশিত curve indicative bid-side quotation থেকে fit করা par yield curve, তাত্ত্বিক par bond-এর transaction-price তালিকা নয়। তাদের পদ্ধতিতে market price-কে yield-এ রূপান্তর করা হয়, input maturity-তে forward rate bootstrap করা হয়, তারপর এমন curve interpolate করা হয় যা কম price error-এ input-গুলোকে পুনর্মূল্যায়ন করে। Treasury-এর methodology এ নির্মাণ ব্যাখ্যা করে।

একই curve ও নির্বাচিত maturity-তে তাত্ত্বিক coupon security তুলনা করতে par yield কাজে লাগে। তবে একই maturity-র বিদ্যমান bond-এ ওই coupon আছে, এমন বোঝায় না; কোনো নির্দিষ্ট বন্ডের liquidity, tax treatment, embedded option বা settlement detail-ও এতে নেই। একটি নির্দিষ্ট বন্ডের জন্য তার actual price, coupon date, redemption provision এবং প্রযোজ্য yield-calculation convention ব্যবহার করুন।

Forward rate হলো ভবিষ্যতের কোনো সময়পর্বে ধার বা বিনিয়োগের জন্য আজকের দাম থেকে implied rate। একই শুরু ও শেষ তারিখসহ বিনিয়োগের দুটি পথকে সমান terminal amount দিতে কোন interval rate লাগে—এ প্রশ্ন করে এটি বের করা যায়। সরল annual-compounding, no-arbitrage কাঠামোয় এখন থেকে এক বছর পর শুরু হওয়া এক বছরের rate হলো:

বছর 1 থেকে বছর 2-এর forward rate = [(1 + দুই বছরের spot rate)² ÷ (1 + এক বছরের spot rate)] − 1।

দুই বছরের spot rate-এ $1 বিনিয়োগ করলে যে terminal amount হয়, তা যদি এক বছর এক বছরের spot rate-এ বিনিয়োগ করে দ্বিতীয় বছরে forward rate-এ reinvest করার ফলের থেকে আলাদা হয়, তবে তাত্ত্বিকভাবে বিনিয়োগকারী ভালো পথ বেছে নিতে পারেন। বাস্তবে ধার ও ঋণের হার, transaction cost, collateral, tax, credit quality এবং instrument convention-এর কারণে সব অংশগ্রহণকারীর জন্য এই textbook replication হুবহু হয় না। সূত্রটি curve-এর অভ্যন্তরীণ pricing সম্পর্ক বোঝানোর পরিষ্কার উপায়, কোনো পরিমাণে trade করা যাবে এমন হারের প্রতিশ্রুতি নয়।

ধরা যাক annual effective এক বছরের spot rate 3% এবং দুই বছরের spot rate 4%। দুই বছরের বিনিয়োগের গুণক (1.04)² = 1.0816। বিকল্প পথে প্রথম বছরের গুণক 1.03, তাই দ্বিতীয় বছরের implied growth factor 1.0816 ÷ 1.03 = 1.050097; অর্থাৎ দ্বিতীয় বছরের এক বছরের forward rate প্রায় 5.01%। দুই বছরের spot rate 4%, অথচ শেষ বছরের forward rate প্রায় 5.01%; একই curve-এর দুটি ভিন্ন মাপ এগুলো।

একটি পুরোপুরি কাল্পনিক annual-effective zero curve ধরা যাক: এক বছরের spot rate 3%, আর দুই বছরের spot rate 4%। Discount factor DF(1) = 1 ÷ 1.03 = 0.970874 এবং DF(2) = 1 ÷ (1.04)² = 0.924556। এক বছর শেষে $100 zero-coupon payment-এর আজকের মূল্য প্রায় $97.09; একই $100 দুই বছর শেষে পেলে আজ তার মূল্য প্রায় $92.46। প্রতিটি spot rate নিজ maturity-র এককালীন payment discount করে।

এবার দেখা যাক, বছরে একবার coupon দেওয়া $100 face value-র দুই বছরের বন্ডকে ঠিক $100 মূল্য দিতে বার্ষিক coupon কত হওয়া দরকার। সমীকরণটি $100 = c × 0.970874 + ($100 + c) × 0.924556। সমাধানে c ≈ $3.9803, অর্থাৎ par coupon rate প্রায় 3.98%। দুই বছরের par yield 4% দুই বছরের zero spot rate-এর একটু নিচে, কারণ par bond তার মূল্যর কিছু অংশ প্রথম বছরের শেষে coupon হিসেবে দেয় এবং সেই coupon কম এক বছরের spot rate-এ discount হয়।

আগে গণনা করা বছর 1 থেকে বছর 2-এর implied one-year forward rate প্রায় 5.01%। তাই তিনটি rate তিনটি প্রশ্নের উত্তর দেয়: 4% দ্বিতীয় বছরের শেষে এককালীন payment discount করে; 3.98% হলো par-এ মূল্যায়িত কাল্পনিক দুই বছরের বন্ডের coupon; আর 5.01% হলো annual compounding-এ দ্বিতীয় বছরের curve-implied rate। প্রদর্শনের জন্য সংখ্যা round করা হয়েছে; calculation-এ unrounded discount factor ব্যবহার করা হয়েছে। এগুলো কাল্পনিক input, বাজার পর্যবেক্ষণ বা বর্তমান Treasury quote নয়।

Forward rate নির্দিষ্ট curve ও compounding assumption ধরে বর্তমান instrument price থেকে গাণিতিকভাবে নির্ণীত হয়। ভবিষ্যৎ সময়পর্বে বাস্তবে যে short rate থাকবে, এটি তার সমান নয়। একে market-implied break-even rate বলা যায়; অতিরিক্ত assumption থাকলে expected short rate-এর একটি মোটামুটি signal হিসেবেও ব্যাখ্যা করা যায়। এতে interest-rate, inflation ও অন্যান্য ঝুঁকি বহনের ক্ষতিপূরণও থাকতে পারে।

Federal Reserve-এর বিশ্লেষণে forward rate-কে expected future short rate-এর সঙ্গে term premium যোগ করে দেখা হয়েছে। একটি curve থেকে এই ভাগ সরাসরি পর্যবেক্ষণ করা যায় না; decomposition নির্ভর করে model বা survey ও term-premium estimate-এর মতো অতিরিক্ত প্রমাণের ওপর। Forward spread নিয়ে Federal Reserve-এর আলোচনা দেখায়, implied forward-এ policy expectation-এর তথ্য ও ঝুঁকির premium—দুটিই থাকতে পারে। তাই horizon ও estimation method আলাদা হলে বিশ্লেষণের ফলও আলাদা হতে পারে।

Forward rate বাজারের কাজে লাগার মতো signal হলেও বাস্তবায়িত rate অন্য হতে পারে। ভবিষ্যৎ central-bank decision, inflation, growth, risk appetite এবং duration-এর supply বা demand পাল্টাতে পারে। তাই উচ্চ implied forward-কে short-term borrowing cost নিশ্চিতভাবে ওই পর্যায়ে উঠবে এমন প্রতিশ্রুতি বা একক trading instruction ভাববেন না। Treasury-ও সতর্ক করে যে তাদের par ও constant-maturity series পর্যবেক্ষিত বাজার-পরিস্থিতি বর্ণনা করে, ভবিষ্যৎ rate-এর পূর্বাভাস দেয় না।

Treasury-এর দৈনিক Constant Maturity Treasury (CMT) rate তাদের fitted par yield curve-এর একটি point থেকে পড়া হয়। সেটি ওই নির্দিষ্ট তারিখে maturity হওয়া কোনো একটি Treasury security-র yield হওয়া জরুরি নয়, এবং এটি zero-coupon spot rate-ও নয়। Treasury জানায়, তাদের দৈনিক par curve সর্বশেষ নিলাম হওয়া securities-এর indicative bid-side quotation ব্যবহার করে; প্রায় 3:30 p.m. Eastern-এ এগুলো সংগ্রহ করা হয় এবং monotone-convex curve method প্রয়োগ করা হয়। Point-গুলো market input থেকে তৈরি; নির্দিষ্ট CMT maturity হলো curve reading, কোনো security identifier নয়।

Treasury আরও জানায়, CMT rate হলো semiannual coupon দেওয়া security-র bond-equivalent yield। এগুলো সরল annualized quote, effective annual rate বা APY নয়। Treasury-এর convention-এ 8.00% bond-equivalent yield semiannual compounding-এর পর 8.16% effective annual yield-এর সমান। ওই CMT table-এ সংস্থাটি daily zero-coupon curve প্রকাশ করে না। Treasury Coupon Issues-এর আলাদা resource-এ monthly, quarterly বা month-end frequency-তে historical spot, par ও forward curve dataset রয়েছে। Treasury-এর interest-rate FAQ এ পার্থক্য পরিষ্কার করে।

Curve construction-ও গুরুত্বপূর্ণ। Treasury-এর বর্তমান par curve bootstrap করা forward rate-এ interpolation procedure ব্যবহার করে; অন্য provider ভিন্ন input, smoothing বা interpolation বেছে নিয়ে সামান্য আলাদা curve দিতে পারে। তাই derived spot বা forward rate curve construction ও quote convention-এর সঙ্গে বাঁধা। সংখ্যাটি curve-এর ভেতরে সামঞ্জস্যপূর্ণ ও উপকারী হতে পারে, যদিও সেটি আলাদাভাবে trade হওয়া Treasury security নয়।

প্রতিশ্রুত cash flow মূল্যায়নে প্রতিটি payment date-কে instrument ও valuation-এর উপযুক্ত curve-এর discount factor দিয়ে discount করুন। Zero-coupon spot curve প্রতিটি payment date-এর time value দেখানোর জন্য তৈরি; credit, liquidity, tax ও option risk-এর জন্য বাড়তি সমন্বয় লাগতে পারে। ইচ্ছাকৃতভাবে YTM method ব্যবহার না করলে প্রতিটি coupon-কে একই maturity rate-এ discount করবেন না।

Par-এ নতুন hypothetical issue-এর coupon তুলনা করতে matching par yield এবং coupon frequency ব্যবহার করুন। বিদ্যমান Treasury benchmark-এর yield বর্ণনা করতে সংখ্যাটি নির্দিষ্ট note-এর yield, নাকি CMT curve point তা চিহ্নিত করুন। ভবিষ্যৎ সময়পর্বে market-implied rate দেখতে forward rate ব্যবহার করুন, তবে start date, end date, compounding এবং curve source উল্লেখ করুন। Expected short rate ও term-premium compensation তুলনা করতে শুধু forward rate যথেষ্ট নয়; model বা survey measure দরকার।

এই পার্থক্যগুলো ব্যাখ্যা করে কেন yield-curve chart একটি বন্ডের নিজস্ব price sensitivity থেকে আলাদা দেখাতে পারে। নির্দিষ্ট maturity-তে curve move হলে bond portfolio-র প্রতিক্রিয়া বুঝতে key-rate duration ও yield-curve risk দেখুন। দীর্ঘমেয়াদি yield-এ term-premium estimate-এর ভূমিকা জানতে Treasury term premium ও model-based estimate পড়ুন। একটি নির্দিষ্ট securities-এর coupon, current yield এবং YTM তুলনা করতে bond coupon rate বনাম current yield ও YTM দেখুন।

প্রথমে curve-এর ধরন ও উৎস লিখে নিন। Input কি একটি security-র yield-to-maturity, Treasury CMT par point, estimated spot rate, না forward interval? তারপর দেখুন rate nominal নাকি real, annual-effective নাকি bond-equivalent, এবং annual, semiannual নাকি অন্য payment frequency-র ভিত্তিতে। সময়পর্ব বা compounding convention না মিললে সংখ্যাগত তুলনা উল্টে যেতে পারে বা বিভ্রান্তিকর হতে পারে।

এরপর cash flow ও তারিখ মিলিয়ে নিন। Par coupon নির্ভর করে ধরে নেওয়া coupon date-এর ওপর; spot discount factor নির্ভর করে প্রতিটি payment পর্যন্ত সময়ের ওপর; forward calculation-এর জন্য নির্দিষ্ট start ও end period দরকার। বাস্তব curve-এ day count, holiday, settlement lag, accrued interest এবং quoted maturity-র মধ্যবর্তী interpolation ফলকে প্রভাবিত করে। কয়েক basis point পার্থক্য ভবিষ্যৎ নিয়ে অর্থবহ মতভেদ নয়, বরং convention বা data cutoff-এর পার্থক্য থেকেও আসতে পারে।

সবশেষে curve calculation ও আপনার সিদ্ধান্ত আলাদা রাখুন। Par, spot ও forward rate দাম সংক্ষেপ করার সম্পর্কিত উপায়, কিন্তু একে অপরের বদলে ব্যবহারযোগ্য পূর্বাভাস নয়। বর্তমান quote থেকে implied discounting ও maturity-ভেদে আপেক্ষিক pricing curve দেখাতে পারে। কিন্তু এটি একা ভবিষ্যৎ policy path নির্ধারণ করতে, bond সস্তা না দামি প্রমাণ করতে, বা credit spread, fee ও শর্ত যোগের পর ঋণগ্রহীতা বাস্তবে কত দেবে তা জানাতে পারে না।

সূত্র: U.S. Treasury, Treasury Yield Curve Methodology; U.S. Treasury, Interest Rates FAQs; U.S. Treasury, Treasury Coupon Issues curve datasets; Federal Reserve Board, The U.S. Treasury Yield Curve: 1961 to the Present; Federal Reserve Board, “(Don’t Fear) The Yield Curve”.