ভোলাটিলিটি মডেলের Engle–Ng সাইন ও সাইজ বায়াস পরীক্ষা

একটি মডেল রিটার্নের আকারের ক্লাস্টার ধরতে পারে, তবু ভিন্ন ধাক্কা পরের ভ্যারিয়েন্সে কীভাবে প্রভাব ফেলে তা বাদ পড়তে পারে। যেমন, symmetric GARCH-এ সমান আকারের ধনাত্মক ও ঋণাত্মক ইনোভেশনের প্রভাব একই। যদি স্ট্যান্ডার্ডাইজড রেসিডুয়ালে ঋণাত্মক ও ধনাত্মক ধাক্কার পরে আলাদা প্যাটার্ন থাকে, তবে এই সীমাবদ্ধতা নমুনার জন্য অতিরিক্ত কঠোর হতে পারে।

Engle–Ng পরীক্ষা একে ফিট-পরবর্তী নির্ণয় হিসেবে দেখে: আগের ইনোভেশনের চিহ্ন, অথবা ঋণাত্মক/ধনাত্মক ভাগের মধ্যে তার আকার, আজকের স্কোয়ার্ড নরমালাইজড রেসিডুয়াল ব্যাখ্যা করে কি না। মূল গবেষণায় news impact curve সংজ্ঞায়িত করে দৈনিক জাপানি শেয়ার-রিটার্নে মডেল তুলনা করা হয়েছিল। সেখানকার মডেল-র‍্যাঙ্কিং ওই নমুনার ফল; সব বাজারে কোনো একটি মডেল সেরা—এমন দাবি নয় (Engle ও Ng, 1993).

এখানে “বায়াস” বলতে ফিট করা ভ্যারিয়েন্স মডেলে ব্যাখ্যাতীত সাইন বা সাইজ-সংক্রান্ত প্যাটার্ন বোঝায়, প্যারামিটার অনুমানের পরিসংখ্যানগত পক্ষপাত নয়। আগে GARCH মডেল নির্দিষ্ট করে নিন, তারপর নমুনা ও উদ্দেশ্যের জন্য ধাক্কার প্রতিক্রিয়া যথেষ্ট কি না পরীক্ষা করুন।

রিটার্নটি এভাবে লিখুন:

\[ r_t = \mu_t + \epsilon_t, \]

এখানে \(\mu_t\) শর্তাধীন গড় এবং \(\epsilon_t\) গড় মডেল ফিট করার পরের ইনোভেশন। \(h_t\) হলো ফিট করা শর্তাধীন ভ্যারিয়েন্স; স্ট্যান্ডার্ডাইজড রেসিডুয়াল ইনোভেশনকে মডেলের পূর্বানুমিত ভ্যারিয়েন্স-স্কেলে মাপে।

\[ h_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal F_{t-1}), \qquad \hat z_t=\frac{\hat\epsilon_t}{\sqrt{\hat h_t}}. \]

ভ্যারিয়েন্স মডেল উপযুক্ত হলে, মডেল যা ব্যাখ্যা করে তার বাইরে নির্দিষ্ট অতীত ধাক্কার পর \(\hat z_t^2\) নিয়মিত বেশি বা কম হওয়ার কথা নয়। স্কোয়ার্ড স্ট্যান্ডার্ডাইজড রেসিডুয়াল ব্যবহার করলে ফিট করা ভ্যারিয়েন্সের স্কেল বাদ যায়; কাঁচা রেসিডুয়ালের বর্গে সাধারণ ভোলাটিলিটি ক্লাস্টারিং থেকে যেতে পারে। p-value বোঝার আগে গ্রহণযোগ্য conditional-mean সমীকরণ, রেসিডুয়ালের সংজ্ঞা, ভ্যারিয়েন্স, নমুনা ও ইউনিট ঠিক করুন।

আগের ঋণাত্মক ইনোভেশনের নির্দেশক এবং তার পরিপূরক সংজ্ঞায়িত করুন:

\[ S^-_{t-1}=\mathbf 1(\hat\epsilon_{t-1}<0), \qquad S^+_{t-1}=1-S^-_{t-1}. \]

সাইন-বায়াস রিগ্রেসর \(S^-\); negative-size রিগ্রেসর \(S^-\hat\epsilon\); আর positive-size রিগ্রেসর \(S^+\hat\epsilon\)। এগুলো আলাদা প্রশ্ন করে: শুধু সাইন কি গুরুত্বপূর্ণ, এবং প্রতিটি ভাগে ধাক্কার আকার কি অতিরিক্ত তথ্য দেয়? শূন্য ইনোভেশন কোন ভাগে পড়ে এবং ইনোভেশনের একক কী, তা জানান; সাইজ সহগ এককের ওপর নির্ভরশীল।

News impact curve মডেলভেদে দেখায় অন্য state input স্থির রেখে নতুন ইনোভেশন পরবর্তী শর্তাধীন ভ্যারিয়েন্সে কীভাবে যায়। Symmetric GARCH-এর curve শূন্যকে ঘিরে symmetric; asymmetric specification এই সীমা শিথিল করে। এটি মডেলের সীমাবদ্ধতা, বাজারে সরাসরি মাপা causal response নয়।

\(\mathbf z_{ot}^*\) হলো শূন্য-অনুমানের অধীনে মূল্যায়িত, বজায় রাখা শর্তাধীন ভ্যারিয়েন্সের nuisance parameters-সাপেক্ষে normalized derivatives-এর ভেক্টর। এগুলো score/derivative terms; মডেলের raw variance regressors-এর সঙ্গে এগুলো আবশ্যিকভাবে এক নয়। সহায়ক রিগ্রেশনগুলো এই পদগুলো বজায় রেখেই sign বা size term যোগ করে।

আগের ইনোভেশনের সাইন আজকের squared standardized residual পূর্বানুমান করে কি না, সাইন পরীক্ষা তা দেখে। একটি সাধারণ auxiliary regression হলো:

\[ \hat z_t^2=a+b_s S^-_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

ব্যক্তিগত null হলো \(b_s=0\)। সম্পূর্ণ প্রয়োগে পরীক্ষার নির্দিষ্ট maintained model terms রাখা হয় এবং সাইন সূচক অতিরিক্ত ব্যাখ্যাশক্তি দেয় কি না দেখা হয়। তাৎপর্যপূর্ণ সহগ মানে ফিট করা মডেলের শর্তে ঋণাত্মক ধাক্কার পরে residual-variance pattern অঋণাত্মক ধাক্কার পরের থেকে আলাদা।

এর মানে ঋণাত্মক রিটার্ন সবসময় ভোলাটিলিটি বাড়ায়—এমন নয়; এটি causal mechanism বা সব nonlinear response নির্ধারণ করে না। প্রত্যাখ্যান হলে মডেল ও ডেটা পরীক্ষা করুন।

ঋণাত্মক ভাগে উদ্ভাবনের আকার অবশিষ্ট প্যাটার্ন ব্যাখ্যা করে কি না পরীক্ষা করা হয়:

\[ \hat z_t^2=a+b_- S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

ব্যক্তিগত null \(b_-=0\)। সূচক এক হলে ইনোভেশন ঋণাত্মক হওয়ায় সহগের চিহ্ন ব্যাখ্যা করতে সাইন convention ও একক দেখতে হবে। পরীক্ষা দেখে ধাক্কার আকার ফিট করা ভ্যারিয়েন্স মডেলে অনুপস্থিত তথ্য যোগ করে কি না; এটি bad-news-এর causal effect বা উন্নত forecast প্রমাণ করে না।

মূল গবেষণায় বলা হয়েছে, auxiliary term-গুলোর পারস্পরিক সম্পর্কের কারণে প্রতিটির অবদান আলাদা করে নির্ণয় কঠিন হতে পারে; তাই একটি coefficient-কে পুরো test specification-এর বাইরে ব্যাখ্যা করবেন না।

সম্পর্কিত গবেষণায় GJR-সহ asymmetric variance specification তুলনা করা হয়েছে, তবে ফল নির্দিষ্ট ডেটা ও মডেল-অনুমানের মধ্যে সীমিত (Glosten, Jagannathan ও Runkle, 1993).

<!-- learn:illustration -->

সমতুল্য পরীক্ষা ধনাত্মক ইনোভেশনের ভাগ দেখে:

\[ \hat z_t^2=a+b_+ S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

এখানে null \(b_+=0\)। সাইন বায়াস পরীক্ষা তাৎপর্যপূর্ণ না হলেও এটি তাৎপর্যপূর্ণ হতে পারে: দুই সাইনের গড় পার্থক্য ছাড়াই এক ভাগের ভেতর আকার অনুযায়ী প্রতিক্রিয়া বদলাতে পারে।

“ধনাত্মক সাইজ বায়াস” মানে ধনাত্মক রিটার্ন অবশ্যই ভোলাটিলিটি বাড়ায় বা কমায়—এমন নয়। Nelson-এর EGARCH ও Zakoian-এর threshold model asymmetric variance dynamics-এর উদাহরণ; এগুলো বিবেচ্য বিকল্প, স্বয়ংক্রিয় সমাধান বা সবসময় শ্রেষ্ঠ মডেল নয়.

Nelson-এর EGARCH এবং Zakoian-এর threshold model অসমমিত variance dynamics অনুমোদন করে; এগুলো মূল্যায়নযোগ্য বিকল্প, স্বয়ংক্রিয়ভাবে সঠিক মডেল নয় (Nelson, 1991; Zakoian, 199490039-6)).

তিনটি রিগ্রেসর একটি auxiliary regression-এ পরীক্ষা করা যায়:

\[ \hat z_t^2=a+b_1S^-_{t-1}+b_2S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+b_3S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

যৌথ null \(b_1=b_2=b_3=0\)। maintained volatility specification ও বড় নমুনার শর্তে joint LM test asymptotically 3 degree-of-freedom chi-square-এর সঙ্গে তুলনা হয়। প্রচলিত হিসাব \(LM=M R^2\), যেখানে \(M\) ব্যবহৃত সারির সংখ্যা এবং \(R^2\) নির্দিষ্ট regression-এর। বাস্তব implementation-এর regression ও finite-sample নিয়ম অনুসরণ করুন।

Engle–Ng উল্লেখ করে, joint regression থেকে \(\mathbf z_{ot}^*\) বাদ দিলে test conservative হয়: test size nominal level-এর বেশি হয় না, তবে power কমতে পারে।

শুধু কল্পিত উদাহরণ: \(M=400\), \(R^2=0.012\) হলে \(LM=4.8\)। 5% স্তরে df=3 chi-square critical value প্রায় 7.81, তাই এখানে null প্রত্যাখ্যাত হয় না। এগুলো ব্যাখ্যামূলক সংখ্যা; empirical ফল বা symmetry-র প্রমাণ নয়।

ছোট p-value নির্দিষ্ট null-এর অধীনে অবশিষ্ট প্যাটার্ন খতিয়ে দেখার কারণ, বিকল্প মডেল বেছে নেওয়া বা leverage causality প্রমাণ নয়। বড় p-value মানে পরীক্ষা এই নমুনায় নির্বাচিত প্যাটার্ন খুঁজে পায়নি; symmetry প্রমাণ করে না।

Auxiliary regressor-গুলো পরস্পর সম্পর্কিত হতে পারে—বিশেষত sign indicator ও negative-size term—ফলে individual test-এর power কমে। নমুনার আকার, estimation, maintained specification ও অনুসন্ধানের সংখ্যাও গুরুত্বপূর্ণ। বহু asset, model, lag ও sample window পরীক্ষা করলে দৈব ছোট p-value পাওয়ার সম্ভাবনা বাড়ে।

Outlier, jump, structural break, বাদ পড়া conditional-mean dynamics, বা ভিন্ন innovation units ফল বদলাতে পারে। Return definition, estimation window, sign convention ও inference method নথিবদ্ধ করুন; asymptotic inference-এর সীমা বলুন এবং প্রয়োজনে উপযুক্ত resampling বিবেচনা করুন।

ARCH LM test জিজ্ঞেস করে lagged squared residual বর্তমান squared residual ব্যাখ্যা করে কি না; ARCH-LM guide দেখুন। Engle–Ng নির্দিষ্ট sign ও branch-size term পরীক্ষা করে। Ljung–Box test residual autocorrelation পরীক্ষা করে—এটি আলাদা প্রশ্ন।

প্রত্যাখ্যান হলে GJR-GARCH, EGARCH বা threshold model fit করে residual পুনরায় দেখুন এবং forecast আলাদাভাবে মূল্যায়ন করুন। QLIKE ও squared-error loss forecast তৈরির পর scoring করে; residual-specification diagnostic-এর বিকল্প নয়।

ভোলাটিলিটি forecast trading rule-এ ব্যবহার করলে fee, spread, market impact, financing ও risk limit নিয়ে out-of-sample মূল্যায়ন করুন। sign/size bias test buy বা sell signal নয়।