ARCH LM পরীক্ষা ও অস্থিরতার গুচ্ছবদ্ধতা

কোনো সম্পদের রিটার্নের দিক অনুমান করা কঠিন হলেও বড় বা শান্ত দামের চলাচলের আকার সময়ের সঙ্গে গুচ্ছবদ্ধ হতে পারে। ARCH LM পরীক্ষা জিজ্ঞাসা করে, মডেলের উদ্ভাবনের বর্গ কি তাদের ল্যাগ করা মানের সঙ্গে সম্পর্কিত; নির্বাচিত q ক্রম পর্যন্ত এটি ARCH-ধরনের নির্ভরতার সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

রবার্ট Engle সময়ের সঙ্গে বদলানো শর্তাধীন ভ্যারিয়েন্সের গবেষণায় এই পরীক্ষা উপস্থাপন করেন। দেখুন ১৯৮২ সালের মূল গবেষণা এবং ARCH নিয়ে তাঁর নোবেল বক্তৃতা। এই পরীক্ষা রিটার্নের দিক, নির্ভরতার কারণ, নির্দিষ্ট GARCH মডেলের যথার্থতা বা ট্রেডিং সংকেত নির্ধারণ করে না।

প্রথমে রিটার্নের গড়ের জন্য উপযুক্ত সমীকরণ মডেল করুন; তারপর তার অবশিষ্টাংশ বা উদ্ভাবন e_t হিসাব করুন। গড় সমীকরণে ব্যাখ্যাতীত বিস্ময়গুলোকে অবশিষ্টাংশ যুক্তিসঙ্গতভাবে ধারণ করছে—নির্ণায়কটির ভিত্তি সেটিই।

গড়ের গতিশীলতা বা গুরুত্বপূর্ণ চলক বাদ পড়লে অবশিষ্টাংশে গঠন থেকে যেতে পারে, যা ভুল করে ভ্যারিয়েন্সের নির্ভরতা বলে মনে হতে পারে। এই পরীক্ষা নির্বাচিত গড় মডেলের অবশিষ্টাংশ পরীক্ষা করে; এটি OLS সমীকরণ শেখার বিকল্প নয়। সমীকরণ ও অনুমান সম্পর্কে OLS রিগ্রেশন নির্দেশিকা দেখুন।

গড় সমীকরণ ফিট করার পর বর্গকৃত অবশিষ্টাংশকে একটি ধ্রুবক এবং তাদের ল্যাগ করা বর্গের ওপর রিগ্রেস করুন। সমীকরণটি হলো:

e_t^2 = a_0 + a_1 e_{t-1}^2 + ... + a_q e_{t-q}^2 + v_t

শূন্য অনুমান H0: a_1 = ... = a_q = 0; অর্থাৎ সহায়ক রিগ্রেশনের নির্বাচিত ল্যাগ পর্যন্ত অতীতের বর্গকৃত উদ্ভাবনগুলোর যৌথ রৈখিক অবদান নেই। বিকল্প অনুমানে অন্তত একটি সহগ শূন্য নয়।

সাধারণ বড়-নমুনার শর্তে LM=M*R^2 প্রায় χ²(q) বণ্টন অনুসরণ করে। এখানে M হলো ল্যাগ সামঞ্জস্য করার পর সহায়ক রিগ্রেশনে ব্যবহারযোগ্য সারির সংখ্যা; এটি মূল নমুনার সারি-সংখ্যার সমান নাও হতে পারে।

ধরা যাক, সম্পূর্ণ কাল্পনিক উদাহরণে q=5, M=300 এবং R²=0.018। তাহলে LM=5.4। 5% স্তরে χ²(5)-এর আনুমানিক সীমামান 11.07, তাই এই উদাহরণে 5% স্তরে H0 প্রত্যাখ্যান করা যায় না।

প্রত্যাখ্যান না করার মানে হলো এই নমুনা ও নির্দিষ্টকরণে ওই স্তরে শূন্য অনুমানের বিরুদ্ধে যথেষ্ট প্রমাণ পাওয়া যায়নি। এতে ভ্যারিয়েন্স ধ্রুব—এটি প্রমাণ হয় না; অন্য ল্যাগে নির্ভরতা নেই বা ভবিষ্যৎ রিটার্ন কী হবে তাও বোঝায় না।

q নির্ধারণ করে কতটি ল্যাগ পরীক্ষা হবে। ছোট ক্রম ধীর নির্ভরতা ধরতে নাও পারে; বড় ক্রমে ল্যাগ মেলানোর কারণে ব্যবহারযোগ্য সারি কমে এবং বেশি সহগ যোগ হয়, ফলে ছোট নমুনায় ফল কম স্থিতিশীল হতে পারে।

তথ্যের সময়-ব্যবধান ও গবেষণার প্রশ্ন দেখে q বেছে নিন এবং কারণটি লিখে রাখুন। কেবল সবচেয়ে ছোট p-value পাওয়া ক্রমটি না দেখিয়ে কয়েকটি যুক্তিসঙ্গত ক্রমে ফলের সংবেদনশীলতা দেখান। বহু ক্রম পরীক্ষা করে একটি ফল বেছে নেওয়া একাধিক পরীক্ষার সমস্যাও তৈরি করে।

McLeod–Li পরীক্ষা একাধিক ল্যাগ জুড়ে বর্গকৃত অবশিষ্টাংশের স্ব-সহসম্পর্ক পরীক্ষা করে; দেখুন McLeod ও Li-এর গবেষণা। এটি ত্রুটির আকারে নির্ভরতা যাচাইয়ের আরেকটি পদ্ধতি; রিটার্নের দিক অনুমানযোগ্য—এমন প্রমাণ নয়।

পদ্ধতি, ল্যাগের ক্রম এবং নমুনার আকার ভিন্ন হওয়ায় দুই পরীক্ষার ফলও ভিন্ন হতে পারে। কোনো পরীক্ষাই একা নির্ভরতার কারণ চিহ্নিত করে না বা দেখায় না যে প্যাটার্নটি অর্থনৈতিক, পরিমাপজনিত নয় কিংবা শাসন-পরিবর্তনের ফল নয়।

গড়ের বাদ পড়া গতিশীলতা, চরম মান, কাঠামোগত বিরতি, ভারী লেজের বণ্টন বা ছোট নমুনা বড়-নমুনার আনুমানিকতায় নির্ভরশীল পরীক্ষাকে প্রভাবিত করতে পারে। নমুনার সময়সীমা বা ল্যাগের ক্রম বদলালেও ফল পাল্টাতে পারে।

তথ্যের সময়-চিহ্ন, গড় সমীকরণের অবশিষ্টাংশ ও বিভিন্ন সময়ে স্থিতিশীলতা পরীক্ষা করুন; নমুনা, ক্রম ও পরীক্ষার স্তর উল্লেখ করুন। অনেক ক্রম বা মডেল তুলনা করলে তা প্রকাশ করুন—একটি p-value পুরো অনুসন্ধান প্রক্রিয়ার অনিশ্চয়তা দেখায় না।

বর্গকৃত অবশিষ্টাংশে নির্ভরতার প্রমাণ মিললে শর্তাধীন ভ্যারিয়েন্স মডেল করতে ARCH বা GARCH বিবেচনা করা যায়। তবে পরীক্ষা কোনো নির্দিষ্ট মডেল বেছে দেয় না। অস্থিরতার গুচ্ছবদ্ধতা ও GARCH নির্দেশিকা দেখুন; এরপর নতুন মডেলের অবশিষ্টাংশ ও নমুনার বাইরের ভ্যারিয়েন্স পূর্বাভাস পরীক্ষা করুন।

ARCH LM পরীক্ষা রিগ্রেশন সহগের মানক ত্রুটি বেছে নেওয়ার পদ্ধতি নয়; সেটি আলাদা প্রশ্ন। সহগের কোভ্যারিয়েন্স অনুমানের জন্য রবাস্ট মানক ত্রুটি নির্দেশিকা দেখুন।