DCC-GARCH: সম্পদের সময়-পরিবর্তনশীল সহসম্বন্ধ কীভাবে অনুমান করা হয়

সহপ্রসরণ ম্যাট্রিক্স কেবল দীর্ঘমেয়াদি সম্পর্কের তালিকা নয়। কোনো সিদ্ধান্তের সময় বিনিয়োগকারীর তখন পর্যন্ত পাওয়া তথ্যের ভিত্তিতে প্রতিটি রিটার্নের শর্তাধীন বিচরণ এবং প্রতিটি সম্পদ-জোড়ার শর্তাধীন সহপ্রসরণ দরকার হতে পারে। অস্থিরতা ও যৌথ চলন সময়ের সঙ্গে বদলালে, পুরো নমুনা থেকে পাওয়া একটি ম্যাট্রিক্স শান্ত সময়, চাপের সময় এবং সম্ভাব্য কাঠামোগত পরিবর্তনকে গড় করে মিশিয়ে ফেলে।

DCC-GARCH অল্প প্যারামিটারে শর্তাধীন সহসম্বন্ধ ম্যাট্রিক্সের পরিবর্তন ধরার একটি উপায়। Robert Engle-এর ২০০২ সালের গবেষণায় একচলক অস্থিরতা মডেলের সঙ্গে অল্প-প্যারামিটারের সহসম্বন্ধ পুনরাবৃত্তি মিলিয়ে dynamic conditional correlation specification প্রস্তাব করা হয় (Engle, 2002)। সম্পদের সংখ্যা বাড়লে সম্পূর্ণ অনিয়ন্ত্রিত সহপ্রসরণ মডেলে প্যারামিটারের সংখ্যা দ্রুত বেড়ে যাওয়ার ব্যবহারিক সমস্যার এটি একটি উত্তর।

প্রতিটি সিরিজের নিজস্ব পরিবর্তনশীল অস্থিরতা মেনে নেওয়ার পরও সম্পদগুলোর শর্তাধীন নির্ভরতা কীভাবে বদলায়—প্রশ্নটি এমন হলে এই পদ্ধতি কাজে লাগে। তবে সম্পদগুলো কেন একসঙ্গে নড়ে তা এটি নির্ধারণ করে না। একটি সিরিজের সময়ভেদে পরিবর্তিত বিচরণের সহজ পরিচয়ের জন্য দেখুন অস্থিরতার গুচ্ছ ও GARCH। FX জোড়ার সহসম্বন্ধকে যৌথ এক্সপোজার হিসেবে ব্যাখ্যা করার সীমা জানতে পড়ুন ফরেক্স জোড়ার সহসম্বন্ধ।

\(N\)টি সম্পদের রিটার্ন ভেক্টর \(r_t\), শর্তাধীন গড় \(\mu_t\), এবং innovation \(\epsilon_t=r_t-\mu_t\) ধরা যাক। DCC শর্তাধীন সহপ্রসরণ ম্যাট্রিক্সকে এভাবে ভাঙে:

\[ H_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal{F}_{t-1})=D_tR_tD_t, \]

এখানে \(\mathcal{F}_{t-1}\) হলো সময় \(t\)-এর পর্যবেক্ষণের আগে পাওয়া তথ্য, \(D_t=\operatorname{diag}(\sigma_{1,t},\ldots,\sigma_{N,t})\)-এ শর্তাধীন মান বিচ্যুতিগুলো থাকে, আর \(R_t\) হলো শর্তাধীন সহসম্বন্ধ ম্যাট্রিক্স।

প্রতিটি \(\sigma_{i,t}^2\) একচলক GARCH-পরিবারের সমীকরণে মডেল করা যায়, যেমন:

\[ \sigma_{i,t}^{2}=\omega_i+\alpha_i\epsilon_{i,t-1}^{2}+\beta_i\sigma_{i,t-1}^{2}. \]

এই প্রান্তিক মডেলটি বলে সম্পদ \(i\)-এর innovation-এর মাত্রা তার নিজস্ব ইতিহাস অনুযায়ী কীভাবে বদলায়। এটি বলে না যে সম্পদ \(j\)-এর সঙ্গে সহসম্বন্ধও বদলায়। উল্টোদিকে, \(R_t\) বদলানো মানেই কোনো সম্পদের অস্থিরতা বাড়ছে—এমন নয়। সহপ্রসরণে দুটো প্রভাবই থাকে:

\[ H_{ij,t}=\sigma_{i,t}\sigma_{j,t}\rho_{ij,t}. \]

\(\rho_{ij,t}\) স্থির থাকলেও একটি বা উভয় সম্পদের অস্থিরতা বাড়লে সহপ্রসরণ বাড়তে পারে। প্রান্তিক অস্থিরতার মডেল দেওয়ার পর যে শর্তাধীন সহসম্বন্ধের পরিবর্তন বাকি থাকে, DCC তা আলাদাভাবে অনুমান করার চেষ্টা করে। এই কারণে স্বাধীন GARCH মডেল ফিট করে কাঁচা রিটার্নের সহপ্রসরণকে স্থির ধরে নেওয়ার পদ্ধতি থেকে এটি আলাদা।

শর্তাধীন গড় ও প্রান্তিক বিচরণ ফিট করার পর innovation-কে মানসম্মত করা হয়:

\[ z_t=D_t^{-1}\epsilon_t. \]

প্রান্তিক মডেল যথাযথ হলে \(z_t\)-এর প্রতিটি উপাদানের শর্তাধীন বিচরণ প্রায় এক হওয়ার কথা। তবু উপাদানগুলো একই সময়ে পরস্পর নির্ভরশীল হতে পারে; তাদের যৌথ ধরণই সহসম্বন্ধ হালনাগাদে ব্যবহৃত হয়। স্বাভাবিকীকরণের ফলে স্বাভাবিকভাবেই বেশি অস্থির সম্পদের বড় কাঁচা পরিবর্তনকে অন্য সম্পদের তুলনীয় মানসম্মত পরিবর্তনের চেয়ে স্বয়ংক্রিয়ভাবে শক্তিশালী নির্ভরতার প্রমাণ ধরা হয় না।

বাস্তবে মানসম্মত residual অনুমান করা মান, সরাসরি পর্যবেক্ষিত সত্য নয়। গড়ের দুর্বল মডেল \(\epsilon_t\)-এ পূর্বানুমেয় গঠন রেখে যেতে পারে; অস্থিরতার দুর্বল মডেল \(z_t\)-এ পরিবর্তিত মাত্রা রেখে যেতে পারে। তখন সহসম্বন্ধের ধাপ প্রান্তিক মডেলের ভুল শুষে নিয়ে \(R_t\)-কে বিকৃত করতে পারে। ভারী লেজ, বহির্মূল্য, অনুপস্থিত তারিখ, অসম ট্রেডিং সময়, কর্পোরেট পদক্ষেপ ও পুরোনো দামও residual-কে প্রভাবিত করে।

Engle ও Sheppard-এর বর্ণিত দুই-ধাপ পদ্ধতিতে প্রথমে প্রতিটি সম্পদের একচলক GARCH মডেল ফিট হয়, পরে মানসম্মত residual থেকে সহসম্বন্ধ প্যারামিটার অনুমান করা হয় (Engle and Sheppard, 2001)। প্রান্তিক মডেল আলাদাভাবে ফিট করা হিসাবকে সহজ করে, তবে দ্বিতীয় ধাপের ফল প্রথম ধাপের specification এবং সময়ে ইনপুট সিরিজগুলো কীভাবে মেলানো হয়েছে তার ওপর নির্ভরশীল।

প্রচলিত DCC প্রথমে সহায়ক ধনাত্মক-নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স \(Q_t\) হালনাগাদ করে:

\[ Q_t=(1-a-b)\bar{Q}+a z_{t-1}z_{t-1}^{\top}+bQ_{t-1}. \]

\(\bar Q\) হলো মানসম্মত innovation-এর দীর্ঘমেয়াদি ম্যাট্রিক্স। \(a\) সাম্প্রতিক যৌথ চলনের প্রতিক্রিয়া কতটা জোরালো হবে এবং \(b\) আগের \(Q\)-এর স্থায়িত্ব কতটা থাকবে তা নিয়ন্ত্রণ করে। প্রচলিত scalar DCC specification-এ \(a,b\) অঋণাত্মক, \(a+b<1\), এবং \(\bar Q\) ও প্রারম্ভিক ম্যাট্রিক্স ধনাত্মক-নির্দিষ্ট হলে স্বাভাবিক পুনরাবৃত্তি ধনাত্মক-নির্দিষ্ট থাকে। কঠোর স্থিতিশীলতা ও বৈধ inference পুরো মডেল এবং তার অনুমানের ওপর নির্ভর করে। এই সীমাগুলো নির্বাচিত specification-এর শর্ত, প্রতিটি variant-এর জন্য সার্বজনীন নিশ্চয়তা নয়।

\(Q_t\)-এর কর্ণের মান সাধারণত এক নয়, তাই \(Q_t\) নিজেই সহসম্বন্ধ ম্যাট্রিক্স নয়। \(S_t=\operatorname{diag}(Q_t)\) নির্ধারণ করে স্বাভাবিকীকরণ করুন:

\[ R_t=S_t^{-1/2}Q_tS_t^{-1/2}. \]

এতে কর্ণের মান এক হয় এবং কর্ণের বাইরের মানগুলো এককবিহীন শর্তাধীন সহসম্বন্ধে রূপ নেয়। এরপর \(H_t=D_tR_tD_t\) শর্তাধীন সহপ্রসরণ দেয়। \(Q_t\), \(R_t\), ও \(H_t\) আলাদা রাখলে সাধারণ ভুল এড়ানো যায়: পুনরাবৃত্তি সহায়ক নির্ভরতা ম্যাট্রিক্স হালনাগাদ করে, স্বাভাবিকীকরণ সহসম্বন্ধ তৈরি করে, এবং প্রান্তিক মান বিচ্যুতি সেটিকে সম্পদের রিটার্ন স্কেলে ফেরায়। Engle (2002)-এর পদ্ধতিতে এই স্বাভাবিকীকরণ কেন্দ্রীয়।

<!-- learn:illustration --> <!-- লেখাবিহীন ধারণাচিত্র: ভিন্ন অস্থিরতার আবরণযুক্ত রিটার্ন-ধারা একটি মসৃণভাবে বদলানো নির্ভরতার ফিতায় মিলেছে; এটি ধারণাগত, বাজার-তথ্য বা পূর্বাভাস নয়। -->

প্রচলিত দুই-ধাপ বাস্তবায়নে প্রথমে প্রতিটি সম্পদের শর্তাধীন গড় ও একচলক GARCH-পরিবারের বিচরণ ফিট করা হয়। সেসব থেকে \(z_t\) হিসাব করে likelihood বা quasi-likelihood-এর সহসম্বন্ধ অংশ থেকে DCC প্যারামিটার অনুমান করা হয়। রিটার্ন গাউসিয়ান না হলেও প্রথম ধাপে Gaussian likelihood-কে quasi-maximum likelihood হিসেবে ব্যবহার করা কিছু নিয়মিততার শর্তে গ্রহণযোগ্য হতে পারে। তবে standard error ও inference যেন বাস্তব estimator ও তার অনুমানের সঙ্গে মানানসই হয়।

পুরো অনিয়ন্ত্রিত বহুচলক GARCH একবারে অনুমানের তুলনায় ধাপ ভাগ করলে গণনা সাশ্রয়ী হতে পারে। তবে ধাপ দুটির মধ্যে নির্ভরতা থাকে: প্রান্তিক প্যারামিটারের অনিশ্চয়তা মানসম্মত residual এবং পরবর্তী সহসম্বন্ধ অনুমানকে প্রভাবিত করে। অনুমিত \(a\) বা \(b\) কোনো অপরিবর্তনীয় বাজার ধ্রুবকের সরাসরি পরিমাপ নয়। এর ব্যাখ্যা নমুনা, প্রান্তিক মডেল, প্রারম্ভিক মান, বণ্টনগত অনুমান ও সহসম্বন্ধের স্থিতিশীলতার ওপর নির্ভর করে।

\(\bar Q\) প্রায়ই মানসম্মত residual-এর নমুনা সহপ্রসরণ থেকে পাওয়া হয়, কিন্তু সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা ও সংশোধন ভিন্ন হতে পারে। বাস্তবায়নে \(\bar Q\)-এর অনুমান, \(Q_0\)-এর প্রারম্ভিক মান, অনুপস্থিত পর্যবেক্ষণ, সীমাবদ্ধতা এবং likelihood কীভাবে গণনা হয়েছে জানানো উচিত। \(a+b=1\)-এর কাছাকাছি optimization, প্রায় singular \(\bar Q\), বা অতিরিক্ত বড় সম্পদসমষ্টি সংখ্যাগত অস্থিতিশীলতা আনতে পারে। convergence diagnostics দিন এবং যুক্তিসঙ্গত বিকল্প প্রান্তিক মডেল ও window দিয়ে sensitivity যাচাই করুন।

অনিয়মিত সময়ের transaction-এ সচেতন sampling design ছাড়া synchronous return input উপযুক্ত নাও হতে পারে। অসময়ে দেখা পর্যবেক্ষণ সামলাতে অন্য estimator লাগতে পারে; দেখুন Hayashi–Yoshida সহপ্রসরণ নির্দেশিকা। noisy covariance target-কে shrink করা, যেমন Ledoit–Wolf covariance shrinkage, আলাদা ধাপ; একে DCC-এর গতিশীল সহসম্বন্ধ পুনরাবৃত্তির সঙ্গে গুলিয়ে ফেলবেন না।

দুটি মানসম্মত innovation ও একটি কল্পিত DCC হালনাগাদ ধরা যাক। \(a=0.05\), \(b=0.90\), \(\bar q_{12}=0.10\), \(q_{12,t-1}=0.30\), এবং \(z_{1,t-1}=1.5,\ z_{2,t-1}=1.0\)। হিসাব বোঝানোর জন্য ইনপুটগুলো বানানো হয়েছে; বাজার-তথ্য থেকে নেওয়া অনুমান নয়। কর্ণের বাইরের উপাদানটি হবে:

\[ q_{12,t}=(1-0.05-0.90)(0.10)+0.05(1.5)(1.0)+0.90(0.30)=0.350. \]

স্বাভাবিকীকরণ দেখাতে ধরা যাক, কাল্পনিক কর্ণীয় মান \(\bar q_{11}=\bar q_{22}=1\) এবং \(q_{11,t-1}=q_{22,t-1}=1\)। একই পুনরাবৃত্তিতে:

\[ q_{11,t}=0.05(1)+0.05(1.5^2)+0.90(1)=1.0625,\qquad q_{22,t}=0.05(1)+0.05(1.0^2)+0.90(1)=1. \]

তাই স্বাভাবিকীকৃত সহসম্বন্ধ:

\[ \rho_{12,t}=\frac{0.350}{\sqrt{1.0625\cdot1}}\approx0.340. \]

সহায়ক কর্ণ-বহির্ভূত মান 0.30 থেকে 0.35 হয়েছে, কিন্তু \(Q_t\)-এর কর্ণও বদলেছে বলে রিপোর্টযোগ্য সহসম্বন্ধ প্রায় 0.34। স্বাভাবিকীকরণ না করে \(q_{12,t}=0.35\)-কে সহসম্বন্ধ বলা ভুল। এই হিসাব কেবল এক ধাপ দেখায়; পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য, ভবিষ্যৎ স্থায়িত্ব, সর্বোত্তম পোর্টফোলিও weight বা ট্রেডিং মূল্য প্রমাণ করে না।

প্রচলিত DCC প্রায়ই সব জোড়ায় একই scalar response ও persistence parameter ব্যবহার করে। এতে বহু সম্পদের জন্য প্যারামিটার কম থাকে, কিন্তু জোড়াগুলোর মানিয়ে নেওয়ার গতি আলাদা হলে এটি অতিরিক্ত সীমাবদ্ধ হতে পারে। DCC নামেও parameterization, constraint, estimation পদ্ধতি ও initialization ভিন্ন হতে পারে—তাই সুনির্দিষ্ট specification জানানো জরুরি।

Aielli-র corrected DCC গবেষণা দেখায় যে cross-section বড় হলে প্রচলিত DCC estimator ও তার সহসম্বন্ধ প্যারামিটারের ব্যাখ্যায় সমস্যা দেখা দিতে পারে; এতে পরিবর্তিত পুনরাবৃত্তিসহ cDCC প্রস্তাব করা হয় (Aielli, 2013)। cDCC প্রচলিত DCC-এর আরেক নাম নয়। অনেক সম্পদে প্রসারিত করা বা অনুমিত coefficient-কে কাঠামোগত ধ্রুবক হিসেবে ব্যাখ্যা করার সময় এই পার্থক্য গুরুত্বপূর্ণ।

Asymmetric generalized DCC মডেলে আরেকটি সীমাবদ্ধতা বিবেচনা করা হয়: ধনাত্মক ও ঋণাত্মক মানসম্মত shock ভবিষ্যৎ সহসম্বন্ধে ভিন্ন প্রভাব ফেলতে পারে। Cappiello, Engle ও Sheppard-এর AG-DCC সিরিজভেদে news-impact ও smoothing parameter এবং শর্তাধীন সহসম্বন্ধে asymmetry অনুমোদন করে (Cappiello, Engle, and Sheppard, 2006)। AG-DCC-তে প্রচলিত scalar DCC-এর চেয়ে বেশি নমনীয়তা থাকে, তাই parameter সংখ্যা, সীমা ও ব্যাখ্যাও বদলে যায়। মূল্যায়ন ছাড়া একে প্রচলিত DCC-এর বদলে নীরবে বসাবেন না বা শ্রেষ্ঠ ধরে নেবেন না।

ফিট করা \(R_t\) নির্বাচিত data frequency, নমুনা-সময়, mean specification, প্রান্তিক অস্থিরতা মডেল ও DCC variant-এর অধীনে মডেল-নির্দেশিত শর্তাধীন সহসম্বন্ধ বর্ণনা করে। এটি কারণমূলক spillover শনাক্ত করে না। মন্দায় অনুমিত সহসম্বন্ধ বাড়লে তার কারণ যৌথ খবর, সম্পদের গঠনবদল, liquidity, অস্থিরতা মডেলের ভুল specification বা অন্য কোনো প্রক্রিয়া হতে পারে; অনুমানটি একা এদের আলাদা করতে পারে না।

ঝুঁকি মাপতে গতিশীল সহপ্রসরণ পূর্বাভাসকে rolling sample covariance বা constant-correlation মডেলের মতো যুক্তিসঙ্গত benchmark-এর সঙ্গে তুলনা করুন। প্রতিটি forecast origin-এ কেবল তখনকার তথ্য ব্যবহার করুন, সম্পদসমষ্টি ও horizon একই রাখুন এবং loss function জানান। পোর্টফোলিওতে ব্যবহার করলে downstream weight, concentration, turnover, financing এবং transaction cost-এর পরিবর্তনও দেখুন। কোনো নির্দিষ্ট risk model-এ বেশি সহসম্বন্ধ diversification কমাতে পারে, কিন্তু এটি কোনো সম্পদের দাম পড়ার পূর্বাভাস নয়।

সহসম্বন্ধ বৈধ সীমায় আছে কি না, \(R_t\) ধনাত্মক-নির্দিষ্ট থাকে কি না, এবং প্রান্তিক মানসম্মত residual-এ serial dependence বা পরিবর্তনশীল বিচরণ অবশিষ্ট আছে কি না পরীক্ষা করুন। সম্পদসমষ্টি, initialization, outlier, window ও variant বদলে sensitivity দেখুন। Persistence একের কাছাকাছি হলে structural break-এ প্রতিক্রিয়া ধীর হতে পারে; মসৃণ পুনরাবৃত্তি আকস্মিক regime shift ধরতেও দেরি করতে পারে। অনেক জোড়ার plot বা একাধিক variant থেকে পছন্দমতো ফল বেছে নেওয়া ঠেকাতে নির্বাচন-পদ্ধতি জানান এবং out-of-sample তুলনা রাখুন।

DCC-GARCH-কে সংক্ষিপ্ত শর্তাধীন সহপ্রসরণ মডেল হিসেবে বোঝাই ভালো: প্রান্তিক সমীকরণ পরিবর্তিত মাত্রা অনুমান করে, নির্ভরতার পুনরাবৃত্তি মানসম্মত innovation-এর যৌথ চলন ধরে, আর স্বাভাবিকীকরণ সহায়ক ম্যাট্রিক্সকে সহসম্বন্ধে রূপ দেয়। অনুমান স্পষ্ট এবং পূর্বাভাস যাচাই করা হলে ফিট করা ম্যাট্রিক্স ঝুঁকি বিশ্লেষণে কাজে লাগতে পারে। কিন্তু এটি নিজে স্থিতিশীল hedge প্রমাণ করে না, কোনো shock ব্যাখ্যা করে না, বা কৌশল লাভ করবে বলে প্রমাণ দেয় না।