পাটিগণিত বনাম জ্যামিতিক আয়: কেন 10% গড় 10% বৃদ্ধি নয়

একই বিনিয়োগ বা পোর্টফোলিওর জন্য পরপর, সমান-দৈর্ঘ্যের সময়কাল ব্যবহার করুন। একটি ইতিবাচক প্রারম্ভিক মান এবং কোনো বাহ্যিক নগদ প্রবাহ সহ একটি মুদ্রায় কাজ করুন। আয় পুনঃবিনিয়োগ করা হয়েছে কিনা এবং রিটার্নের খরচ অন্তর্ভুক্ত কিনা তা উল্লেখ করুন।

প্রতিটি পিরিয়ড রিটার্নকে দশমিক r হিসাবে লিখুন: 40% 0.40 হয় এবং একটি 20% ক্ষতি −0.20 হয়। এর বৃদ্ধির ফ্যাক্টর হল 1 + r, r নিজে নয়।

পাটিগণিত গড় = (r1 + r2 + ... + rn) ÷ n। এটি গড় পর্যবেক্ষণ করা একক-পিরিয়ড রিটার্ন বর্ণনা করে। এটি ক্রমাগত বিনিয়োগ করা অ্যাকাউন্টের শেষ ভারসাম্য পুনর্গঠন করে না।

ক্রমাগত সময়ের জন্য, বৃদ্ধির কারণগুলিকে গুণ করুন: ক্রমবর্ধমান রিটার্ন = (1 + r1) × (1 + r2) × ... × (1 + rn) − 1।

মূল্য রিটার্ন এবং মোট রিটার্ন সর্বত্র সামঞ্জস্যপূর্ণ রাখুন। একটি সিরিজের অর্ধেক পথের মধ্যে তাদের মধ্যে স্যুইচ করা একটি গড় নির্বাচন থেকে একটি ভিন্ন সমস্যা তৈরি করে।

কোন অপরিবর্তিত মুদ্রার দুটি সম্পূর্ণ বছর এবং 10,000 ইউনিট বিবেচনা করুন। কাল্পনিক রিটার্ন এক বছরে +40% এবং দ্বিতীয় বছরে −20%। কোন ফি, বিতরণ, আমানত, বা উত্তোলন নেই।

পাটিগণিতের গড় যোগ করলে এর পরিবর্তে 10,000 × 1.10 × 1.10 = 12,100 পাওয়া যাবে। যে অতিরিক্ত 900 এই অ্যাকাউন্টে উপস্থিত হয় না; এটি একটি ভিন্ন ফিরতি পথের অন্তর্গত।

উদাহরণটি আসল পাটিগণিত, ব্যাকটেস্ট নয়, একটি লাইভ বিনিয়োগের ফলাফল বা একটি পূর্বাভাস। মুদ্রার প্রতীক শতাংশ পরিবর্তন করবে না।

• শুরু: 10,000।
• এক বছরের পর: 10,000 × 1.40 = 14,000।
• দুই বছর পর: 14,000 × 0.80 = 11,200।
• পাটিগণিত গড়: (40% − 20%) ÷ 2 = 10% প্রতি বছর।
• ক্রমবর্ধমান রিটার্ন: 11,200 ÷ 10,000 − 1 = 12% দুই বছরে।

জ্যামিতিক রিটার্ন হল স্থির প্রতি-পিরিয়ড হার g যা প্রকৃত বৃদ্ধির ফ্যাক্টর পুনরুত্পাদন করে: (1 + g)^n = (1 + r1) × ... × (1 + rn)।

এইভাবে g = [(1 + r1) × ... × (1 + rn)]^(1/n) − 1. বৃদ্ধির গুণের গুণফলের nম মূল ধরুন, লাভের শতাংশের নয়।

দুই বছরের উদাহরণের জন্য, g = (1.12)^(1/2) − 1 ≈ 5.8301% প্রতি বছর। অবৃত্তাকার হার ব্যবহার করলে 10,000 × (1 + g)^2 = 11,200 পাওয়া যায়।

যখন পিরিয়ড বছর হয়, তখন এই জ্যামিতিক রিটার্ন চক্রবৃদ্ধি বার্ষিক বৃদ্ধির হার বা CAGR-এর সমান। কোনো বাহ্যিক প্রবাহ ছাড়াই, CAGR = (শেষ মান ÷ প্রারম্ভিক মান)^(1/t) − 1, যেখানে t বছর অতিবাহিত হয়।

একটি পৃথক উদাহরণ পাঁচ বছরে 10,000 থেকে 15,000 বৃদ্ধি পায়। এর মোট লাভ 50%, কিন্তু CAGR হল (1.5)^(1/5) − 1 ≈ 8.45%, 50% ÷ 5 = 10% নয়।

[FINRA-এর বার্ষিক-রিটার্ন ব্যাখ্যা](https://syndication.finra.org/content/how-are-your-investments-doing-returns-explained) মোট লাভকে বছর দ্বারা ভাগ করা থেকেও যৌগিক বার্ষিকীকরণকে আলাদা করে।

+10% এবং +10%-এর দুই বছরের গাণিতিক গড় +40% এবং −20% সমান। তবুও প্রথম ক্ষেত্রে 10,000 বেড়ে 12,100 এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে 11,200 হয়৷

ধনাত্মক বৃদ্ধির কারণগুলির জন্য, জ্যামিতিক গড় পাটিগণিত গড়ের চেয়ে বেশি নয়। প্রতিটি পিরিয়ড রিটার্ন একই হলে তারা সমান। সেই বিবৃতিটি একই পর্যবেক্ষণে প্রয়োগ করুন, সম্পর্কহীন তহবিল নয়।

ব্যালেন্স থেকে বিয়োগ করার জন্য গ্যাপ একটি অতিরিক্ত কমিশন নয়। যৌগিক সমাপ্তি মান ইতিমধ্যেই রিটার্ন প্রতিফলিত করে। অথবা তুলনা প্রমাণ করে না যে কোনো নিম্ন-অস্থিরতার বিনিয়োগ অবশ্যই অন্যকে ছাড়িয়ে যাবে।

[CFA ইনস্টিটিউটের দুটি উপায়ের আলোচনা](https://rpc.cfainstitute.org/blogs/enterprising-investor/2015/the-myth-of-volatility-drag-part-1) ব্যাখ্যা করে যে কেন যোগফল একটি যোগফলের পরিবর্তে একটি পণ্য।

রিটার্নের এই নির্দিষ্ট জোড়া পুনঃক্রম করার ফলে পণ্যটি অপরিবর্তিত থাকে যখন কোনো নগদ প্রবাহ থাকে না। এটি এখনও পথ পরিবর্তন করতে পারে এবং পর্যবেক্ষিত ড্রডাউনগুলি।

মাসিক পর্যবেক্ষণ থেকে জ্যামিতিক গড় হল একটি মাসিক হার। যদি পরপর বারো মাস প্রতিটি ঠিক 1% ফেরত দেয়, বার্ষিক বৃদ্ধি (1.01)^12 − 1 ≈ 12.68%, 12% নয়।

এই উদাহরণটি সমস্ত বারো মাস নির্দিষ্ট করে। একটি একক পর্যবেক্ষণ করা 1% মাসকে বার্ষিক করা একটি অনুমানমূলক পুনরাবৃত্তিকে বর্ণনা করবে, একটি বছরের উপলব্ধিকৃত কর্মক্ষমতা বা ভবিষ্যদ্বাণী নয়।

অসম পর্যবেক্ষণ ব্যবধানের জন্য, প্রতি পর্যবেক্ষণে একটি জ্যামিতিক গড় স্বয়ংক্রিয়ভাবে একটি বার্ষিক হার নয়। একটি বৈধ এন্ডপয়েন্ট CAGR-এর জন্য প্রকৃত অতিবাহিত বছরগুলি ব্যবহার করুন এবং আংশিক বছরের জন্য দিন-গণনা কনভেনশন বর্ণনা করুন৷

একটি বার্ষিক সংখ্যা শেষবিন্দুগুলিকে মসৃণ করে। এটি বলে না যে অ্যাকাউন্টটি প্রতি বছর সেই হার অর্জন করেছে বা বড় অন্তর্বর্তী লোকসান এড়ায়।

ধরুন একই সময়ের মধ্যে সম্পদ A-তে 100 এবং B-এ 900 বিনিয়োগ করা হয়েছে। A 50% লাভ করে, যখন B হারায় 10%। তাদের শেষ মান হল 150 এবং 810, মোট 960।

পোর্টফোলিও রিটার্ন হল (960 − 1,000) ÷ 1,000 = −4%। সমানভাবে, প্রারম্ভিক ওজন 0.10 × 50% + 0.90 × (−10%) = −4% দেয়।

+50% এবং −10% এর ওজনহীন গড় হল +20%, যা বরাদ্দ উপেক্ষা করে। 0.90 দ্বারা 1.50 গুণ করাও এখানে ভুল: এই হোল্ডিংগুলি একই মূলধনের দুটি সময়কালের প্রতিনিধিত্ব করার পরিবর্তে সহাবস্থান করে।

বাহ্যিক আমানত এবং উত্তোলন আরেকটি সীমানা তৈরি করে। 5,000 ডিপোজিটের পর 10,000 থেকে 15,000-এ বেড়ে যাওয়া ব্যালেন্স অগত্যা 50% বিনিয়োগ লাভ নয়৷

[GIPS ক্যাশ-ফ্লো পদ্ধতি](https://www.gipsstandards.org/standards/gips-standards-for-firms/gips-standards-handbook-for-firms/) রিটার্ন থেকে টাইম-ওয়েটেড পারফরম্যান্সকে আলাদা করে যা নগদ প্রবাহের সময় এবং আকারকে প্রতিফলিত করে।

একটি ছোট বিকল্প প্রিমিয়ামে শতাংশ লাভ পুরো অ্যাকাউন্টের শতাংশ লাভের সমান নয়। বিভিন্ন ট্রেড সাইজ, ওভারল্যাপিং পজিশন এবং নিষ্ক্রিয় নগদ ট্রেড-লেভেল রিটার্নের নৈমিত্তিক গুণনকে বাধা দেয়।

[OIC-এর লিভারেজ গাইড](https://www.optionseducation.org/optionsoverview/leverage-risk) ব্যাখ্যা করে কেন বিকল্প প্রিমিয়ামগুলি শতকরা হারে বৃদ্ধি এবং ক্ষতি দেখাতে পারে।

ফিউচারের জন্য, পোস্ট করা মার্জিন এক্সপোজারের ক্রয় মূল্যের পরিবর্তে জামানত। সেই ডিনোমিনেটর পরিবর্তন করলে অন্তর্নিহিত সম্পদে একটি নতুন রিটার্ন তৈরি হয় না।

[CME এর মার্জিন ব্যাখ্যা](https://www.cmegroup.com/education/courses/introduction-to-futures/margin-know-what-is-needed) সেই তহবিলগুলি কী প্রতিনিধিত্ব করে তা চিহ্নিত করে৷

একটি বাণিজ্য তুলনার জন্য ফিউচার রিটার্ন ডিনোমিনেটর ব্যবহার করুন এবং পোর্টফোলিও কম্পাউন্ডিংয়ের জন্য সামঞ্জস্যপূর্ণ পুরো অ্যাকাউন্টের মূল্যায়ন করুন। খোলা অবস্থানগুলি অন্তর্ভুক্ত করুন এবং প্রতিটি খরচ একবার গণনা করুন।

উল্লিখিত প্রশ্ন দিয়ে শুরু করুন: গড় পর্যবেক্ষণ, একটি বিনিয়োগের বৃদ্ধি, বা একই সময়ে হোল্ডিংয়ের একটি পোর্টফোলিওতে রিটার্ন। এগুলোর জন্য আলাদা হিসাব প্রয়োজন।

ধনাত্মক-ফ্যাক্টর সূত্র ধরে প্রতিটি রিটার্ন −100% ছাড়িয়ে গেছে। সম্পূর্ণ ক্ষতি হলে, চক্রবৃদ্ধি করার জন্য কোন মূলধন অবশিষ্ট থাকে না। নেতিবাচক অ্যাকাউন্ট ইক্যুইটির জন্য নগদ-প্রবাহ এবং দায় বিশ্লেষণের প্রয়োজন, সাধারণ CAGR তুলনা নয়। [!TRYMARK] TryMark গড়-রিটার্ন অডিট পরবর্তী পারফরম্যান্স পর্যালোচনাতে, রিপোর্ট করা শেষ মানটিকে লক্ষ্য করুন। তারিখের অ্যাকাউন্টের রিটার্ন থেকে এটি পুনর্নির্মাণ করুন, তারপর খরচ, পুনঃবিনিয়োগ অনুমান, বা বাহ্যিক নগদ প্রবাহ পরিবর্তন হলে ফলাফলটি পুনরায় পরীক্ষা করুন। [!WARNING] একটি ঐতিহাসিক গড় পুনরাবৃত্তিযোগ্য বৃদ্ধির প্রতিশ্রুতি দেয় না পাটিগণিত বা জ্যামিতিক গড় উভয়ই পরবর্তী বছরের রিটার্ন স্থাপন করে না। একটি বৃহত্তর প্রয়োজনীয় লাভ বা একটি মসৃণ CAGR আরও লিভারেজকে সমর্থন করে না। এই উদাহরণগুলি পরিমাপ ব্যাখ্যা করে, বিনিয়োগের সুপারিশ নয়।

• রেকর্ড তারিখ, সময়কালের দৈর্ঘ্য, মুদ্রা, এবং শুরু এবং শেষ মান।
• আয়, পুনঃবিনিয়োগ, ফি, ​​এবং বাহ্যিক আমানত বা উত্তোলন সনাক্ত করুন।
• বার্ষিকীকরণের আগে ক্রমাগত বৃদ্ধির কারণগুলি থেকে শেষের মানটি পুনর্নির্মাণ করুন।
• গাণিতিক গড়, ক্রমবর্ধমান রিটার্ন, জ্যামিতিক পিরিয়ড রিটার্ন, এবং CAGR আলাদাভাবে লেবেল করুন।