Quandt–Andrews 检验：未知断点日期的 sup-Wald 检验

Chow 检验回答一个明确的问题：回归系数是否在查看检验结果之前选定的日期发生变化？在许多金融或宏观经济应用中，很难事先为某一个日期提供充分依据。尝试一系列日期，再报告最显著的 Chow 结果，会使日期选择成为检验过程的一部分。常规的单日期临界值因此忽略了搜索。

Quandt 的双状态程序及 Andrews 后来的渐近框架，通过在一组候选断点日期上计算统计量来处理这个问题。在应用线性回归中，根据具体统计量及协方差处理方式，得到的最大值通常称为 Quandt 似然比（QLR）、sup-F 或 sup-Wald。Andrews 针对断点未知的更广泛参数模型，发展了 sup-Wald、LM 和类似 LR 的检验 (Quandt, 1960；Andrews, 1993)。

本文刻意聚焦于一个较窄的问题：在日期未知时，检验一个指定回归关系是否可能发生一次变化。该检验不估计未知的断点数量，不解释变化原因，也不识别交易机会。[Bai–Perron 指南](/zh-cn/learn/bai-perron-multiple-structural-breaks-regression-tests-explained)讨论的是对多个未知断点进行建模这一不同问题。

设有序样本包含 (t=1,ldots,T) 个观测，结果变量为 (y_t)，解释变量向量为 (x_t)。纯粹的单断点模型为

yₜ = xₜ′β₁ + uₜ, t ≤ k yₜ = xₜ′β₂ + uₜ, t > k

其中 (k) 是第一种状态的最后一个观测。在无断点零假设下，待检验的系数向量相等，即 (H₀: β₁ = β₂)。单断点备择假设认为，它们至少在一个允许的日期不同。部分变化模型可以预先限制只有某一组系数发生变化；这会改变限制数量和参考分布。请明确哪些系数允许变化。

模型需要有合理的观测顺序，使断点日期具有意义。对日收益率而言，(k) 通常是交易时段的序号，并不自动对应日历日期。缺失观测、节假日、不同步的市场、合约展期，以及目标变量定义的变化，都会影响“之前”和“之后”的含义。将选定的分割解释为某个事件之前，应先定义样本和日期规则。

拒绝零假设表示，有证据反对所设定的系数恒定模型，并支持搜索范围内某种单断点备择。这并不能证明某项公告导致了断点，也不能证明解释变量外生或断点后的系数会持续。如果条件均值、误差动态或测量过程设定错误，检验可能是在响应这种模型误设，而非一个干净的参数变化。

候选日期若靠近样本任一端，一侧的观测可能太少，无法可靠估计。修剪比例 (\varepsilon) 会排除这些端点，只在预先指定区间（如 ([\varepsilon,1-\varepsilon])）内搜索断点比例 (lambda=k/T)。对于离散样本，具体实现会将该区间转换为整数日期，并要求两段都有足够观测且解释变量矩阵满秩。请报告确切规则，包括 (k) 表示断点前最后一个观测还是断点后第一个观测。

对每个允许的 (k)，拟合合并的零模型和相应的双状态模型，再计算针对系数变化限制的统计量。在误差独立、同方差且解释变量集合相同的经典 OLS 情况下，可用残差平方和的下降来表示。若误差正态，预先指定某一日期的统计量在有限样本中服从精确的 F 参考分布；若不满足正态性，则不再有这一精确结论。Wald 形式则用估计的协方差对系数差进行标准化。若存在异方差或序列相关，需要使用匹配的稳健协方差和参考方法；只更换标准误并不能使搜索日期后的普通 F 临界值有效。

修剪是检验设计的一部分，并非外观设置。修剪更多会缩短搜索范围并避免过小的状态区间，但也排除靠近样本端点的较大断点。修剪更少会纳入这些候选，但渐近近似和有限样本估计可能更脆弱。应根据样本大小、模型维度和研究问题，在查看统计量峰值位置之前选择范围。

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对每个候选日期 (k)，令 (W(k)) 表示针对指定系数限制的 Wald 统计量。单断点 sup-Wald 统计量为

supW = max{k ∈ K} W(k)

其中 (K) 是修剪后允许的日期集合。在经典线性回归实现中，通常会对每个候选日期的 Chow F 统计量取最大值，并报告为 sup-F 或 QLR。最大化日期 (hat{k}=argmax_{kin K} W(k)) 是此次搜索中统计量最大的日期。它是一个经选择的估计值，不是置信区间，也不是经济变化的精确时间戳。

这些名称相关，但并非在所有情况下都可以互换。满足假设时，固定日期的常规同方差 Chow F 检验在有限样本中可服从精确 F 分布。跨日期取最大值、使用稳健协方差的渐近 sup-Wald，以及似然比统计量，在有限样本取值或临界值上不一定相同。请报告实际计算的统计量、协方差估计量、修剪规则和临界值来源，而不要只写“QLR”。

候选日期统计量之间高度相关，因为相邻分割几乎重复使用相同的观测。该检验不等同于选择最小的固定日期 p 值、将其乘以日期数量，或把每个日期当作独立检验。应使用针对最大值过程、能反映搜索行为的零分布。

在无断点零假设下，不存在可供估计的真实断点日期。日期参数只在备择假设下出现，在零假设下消失，因此单个预先指定 Wald 或 F 检验的常规正则性论证不适用。对候选日期取最大值会产生非标准渐近分布。将这个最大值与标准 F 阈值比较，通常会夸大反对稳定性的证据。

Andrews 推导了 sup-Wald、LM 和类似 LR 检验的渐近分布与临界值；修剪区间端点和待检验限制的数量共同确定搜索范围 (1993)。适用数值也取决于模型和协方差假设。应使用与具体检验匹配的表格、实现或近似值，不要借用其他修剪比例或限制数量的临界值。Andrews 后来发布勘误，指出部分针对八个限制的 sup 检验临界值过低，因此该情形需要使用修正后的表格 (2003 corrigendum)。Hansen 给出了结构变化检验渐近 p 值的数值近似 (1997)。

Andrews 与 Ploberger 还针对仅在备择假设下存在的干扰参数，推导了平均型和指数型检验 (1994)。这些是考虑搜索行为的相关程序，并非 sup-Wald 的别名。如果使用 bootstrap 或其他有限样本校准方法，应说明重抽样设计，并证明它复现了零假设结构和相同的搜索过程；通用 bootstrap 不会自动解决日期选择或依赖问题。

考虑一个刻意设得很小的假设性纯截距回归，观测值为

y = [0, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 3]

共有 (T=12) 个观测。为便于说明，设 (\varepsilon=0.25)，因此每段至少包含三个观测，断点前最后一个观测的候选日期为 (k=3,ldots,9)。这只是展示搜索计算的例子，不是推荐的修剪比例或用于推断的样本。

合并样本均值为 (23/12)，合并模型的残差平方和为

RSS₀ = Σ yₜ² − (Σ yₜ)²/12 = 59 − 529/12 = 179/12

在候选日期 (k=6) 处，第一段的总和与平方和均为 5，因此其残差平方和为 (5−5²/6=5/6)。第二段包含六个值为 3 的观测，所以残差平方和为 0。因此 (RSS₁(6)=5/6)。一个限制、两个分段截距估计下的固定日期统计量为

F(6) = [(RSS₀ − RSS₁(6))/1] / [RSS₁(6)/(12−2)] = 169

对七个候选日期分别做同样的计算，(k=3,ldots,9) 对应的近似 F 值依次为 (7.21, 12.10, 25.28, 169.00, 20.71, 8.94, 4.59)。因此，sup-F 是位于 (k=6) 的最大值 169。该计算只核验构造序列中哪个候选值最大，不会给出 p 值。由于日期经过搜索，必须把 169 与匹配设计、考虑了搜索过程的非标准临界值比较，而非普通固定日期 F 分布。

拒绝表示，在所选显著性水平及检验假设和临界值下，允许范围内找到的最大统计量与系数恒定零假设不一致。但它不能证明存在一个唯一且时间精确的断点。相邻候选日期可能有相近统计量，改变样本端点、修剪范围、解释变量或协方差方法后，表面峰值也可能移动。请报告候选统计量的整体变化，或适当的日期不确定性分析，而不要把 (hat{k}) 当成精确日期。

未拒绝也不能证明系数稳定。对于幅度较小、靠近修剪端点或涉及未包含在检验限制中的系数的变化，检验可能功效不足。单断点检验也可能漏掉彼此部分抵消的多次变化。反过来，异常值、方差变化、遗漏的动态关系、数据定义变化或反复搜索模型设定，也可能产生不稳定证据。检验回答的是一个边界明确的统计问题，而不是原因。

断点日期估计值是用同一批检验数据选出来的。不要把它当作预先指定的事件日期，再进行未经调整的第二次显著性检验并声称获得独立验证。如果该日期会影响预测更新或交易规则，请明确规则并用后续数据评估；样本内 sup 统计量不能证明断点后的持续性或经济价值。

Hidden Markov 或状态转换模型提出了另一个问题：能否用按照转移概率反复变化的隐状态来描述观测值？单个未知断点检验考察搜索范围内一次持续的前后分割。两类方法可以互为补充，但其假设和输出不可互换；请参阅[状态转换指南](/zh-cn/learn/hidden-markov-model-regime-switching-finance-explained)。

说明结果变量和解释变量、模型属于纯变化还是部分变化、所检验的系数限制、样本日期及顺序，以及断点日期规则。报告 (T)、限制数量、修剪比例或准确候选集合、最小区段样本量，并说明所选统计量是 sup-Wald、sup-F/QLR、sup-LM 还是其他程序。提供协方差估计量、临界值或 p 值方法，以及采用的有限样本修正。

展示候选日期上的统计量，并把最大值对应的日期报告为经选择的位置；如有条件，还要提供不确定性或敏感性信息。说明模型和检验设计是否预先设定、如何处理缺失观测和实时数据，以及考察过哪些替代样本或解释变量。若分析用于预测，应把断点搜索限制在训练样本内，并在之后未使用的数据上评估修订后的模型。

未知断点检验的统计显著性不能识别某个事件的原因，也不能证明存在盈利状态。不显著结果同样不能认证稳定性。可辩护的结论只能限于指定的单断点备择、修剪后的日期范围、回归模型、样本以及考虑搜索过程的推断方法。