检验回归稳定性与结构变化的 CUSUM 方法

回归在全样本上看起来合理，关系仍可能在中途改变。某段时间的正预测误差与之后的负预测误差，可能在一般的全样本汇总中互相抵消。回归 CUSUM 保留误差的先后次序：它累积递归预测误差，并检查路径是否偏离系数稳定时预期的范围。

Brown、Durbin 和 Evans 利用递归残差开发了一系列回归稳定性工具，包括 CUSUM 和平方 CUSUM。这些检验根据模型假设，考察样本期内回归关系是否与保持不变的设定相容。它们不能解释变化的原因，也不同于工业过程控制中累积相对于另行指定目标均值的偏差的 CUSUM 规则。

本指南聚焦 Brown–Durbin–Evans 回归 CUSUM。软件可能把“CUSUM”用于多个不同统计量，因此报告应说明残差序列、缩放方法、边界和参考分布，而不应只写统计量名称。

将回归写作 \(y_t=x_t'\beta+u_t\)。如果模型包含截距，\(x_t\) 也包含截距，\(k\) 表示系数个数。先用足够多且设计矩阵满列秩的初始观测来估计模型。对之后的每个观测，只使用截至 \(t-1\) 的数据拟合回归，再预测 \(y_t\)。

若 \(X_{t-1}\) 表示截至前一条观测的解释变量矩阵，递归残差为

\[ w_t=\frac{y_t-x_t'\hat\beta_{t-1}}{\sqrt{1+x_t'(X_{t-1}'X_{t-1})^{-1}x_t}},\qquad t=k+1,\ldots,T. \]

分子是一步预测误差。分母根据 \(x_t\) 所对应的杠杆值调整预测不确定性；它本身不是市场波动率估计。在固定解释变量适当、误差独立且方差相等的经典稳定线性模型下，递归残差均值为零、彼此不相关，并具有相同的误差方差。这些性质是累加残差的依据，但仅仅用最小二乘估计回归并不能保证它们成立。

初始观测用于确定系数，并不是这套递归过程产生的一串样本外残差。如果初始设计矩阵接近奇异，之后的预测也可能不稳定。应说明初始样本、解释变量和变换，因为这些选择都会改变残差路径和检验的问题。

令 \(\hat\sigma\) 表示所选实现使用的尺度估计。到第 \(r\) 个观测为止的累积路径可写成

\[ C_r=\frac{1}{\hat\sigma}\sum_{t=k+1}^{r}w_t. \]

在稳定性原假设下，除抽样波动外，正负创新应大致平衡。将绘出的路径与根据检验原假设分布推导的临界边界比较。如果路径越界，则在假设适用的前提下，以选定显著性水平拒绝参数恒定。不同实现的缩放和边界构造可能不同；手画的固定带不能代替匹配的临界值。

路径方向有助于理解误差模式。正的递归误差持续出现时，观测结果反复高于先前拟合值，累积和就会上升。负误差持续出现则会使其下降。误差正负交替时，即使单个残差不小，路径也可能停留在先前水平附近。因此，CUSUM 同时利用预测误差的大小与顺序。

在其他条件相近时，截距变化更容易产生方向相同的残差。斜率变化则可能因 \(x_t\) 的取值位置和符号不同，导致预测误差朝不同方向变化。如果解释变量在均值附近波动，单一累积路径中的误差可能部分抵消，即使斜率确实改变了。因此，路径留在边界内并不能证明所有系数都未变化；还应查看递归系数路径、交互检验和检验功效。

假设有六个缩放后的递归残差均为 \(+0.4\)，累积增加 \(2.4\)。若序列是 \(+0.4,-0.4,+0.4,-0.4,+0.4,-0.4\)，最终和为零。两组误差的绝对值相同，但只有第一组持续朝同一方向。该示例只说明机制，不是临界值、p 值或实际资产的证据。

平方 CUSUM 累加递归残差的平方，而不是残差符号。一个简单的累积占比形式是

\[ Q_r=\frac{\sum_{t=k+1}^{r}w_t^2}{\sum_{t=k+1}^{T}w_t^2}. \]

若误差过程稳定且方差相等，累积占比应大致随观测数量成比例增长。较大的平方残差集中出现会让路径变陡，平静时期则会让它趋缓。Brown、Durbin 和 Evans 将其与带符号 CUSUM 一并讨论，后续研究也分析了基于普通最小二乘残差的平方 CUSUM 检验。

不要把平方残差路径解释为纯粹的波动率检验，也不要认为它能干净地替代系数变化检验。大观测值、方差转变、条件均值设定错误和回归系数变化都可能影响它。反过来，即使正负误差仍然平衡，方差变化也可能使带符号 CUSUM 的参考分布失准。ARCH-LM 检验更具体地考察平方残差是否存在可预测性，但它仍不能诊断所有可能的波动模式。

固定日期的 Chow 检验比较事先指定日期两侧的回归系数。回归 CUSUM 检查按时间排列的递归路径，不需要外部指定一个断点日期。越过边界并不会给出某次突变开始的精确日期。渐进漂移、多次变化、连续异常值或方差模型失效，都可能产生不同的路径模式。

如果断点日期未知，目标是正式检验一个断点，Andrews 提供了 supremum Wald、似然比和拉格朗日乘数程序；这些方法会搜索候选日期，并使用考虑了搜索过程的非标准临界值。它们的统计量和临界值不能与 Brown–Durbin–Evans CUSUM 边界互换。多重断点需要额外的程序和假设。指定日期比较可参阅 [Chow 检验指南](/zh-CN/learn/chow-test-structural-break-regression-finance-explained)，更广泛的搜索问题可参阅 Andrews 关于未知变化点的论文。

当分析者运行很多诊断时，这个区别很重要。反复尝试 CUSUM、平方 CUSUM、候选日期、解释变量和样本窗口，会带来选择问题。一个预先指定检验的名义显著性水平，并不能说明所有这些尝试中至少出现一次误报的概率。应在查看结果前记录要检查的路径或统计量，或使用考虑搜索过程的推断方法。

回顾性检验评估一段固定的历史样本。监控规则则在基准期之后，反复评估新到的数据。每次新观测都套用一次性边界，并不会自动维持名义误报率；重复决策的序列具有不同的概率结构。

Chu、Stinchcombe 和 White 开发了用于实时监控的 fluctuation 与 CUSUM 程序：先用历史样本估计稳定关系，再监测之后的数据。在论文的渐近条件下，这些监控边界考虑了反复查看结果的情形。基准样本本身必须合适，而且监控设计要说明警报后如何处理、参数何时更新以及监控持续多久。没有这些选择，就不应把历史回归 CUSUM 图重新标称为在线程序。

对交易系统而言，警报表示新数据与模型关系可能不再足够吻合，稳定性假设需要重新审视。它可以触发调查或预先设定的风险检查，但不会指出哪个系数发生变化、是否应该下单，或降低敞口能否提高收益。如果进行重复监控，除了统计阈值，还应评估检测延迟和误报成本。

经典递归残差推导假设线性关系设定正确，误差方差稳定且误差不存在序列相关。金融时间序列可能因波动聚集、厚尾、过时或不同步的价格、重叠收益区间和市场结构变化而违反这些条件。连续出现的残差可能来自真实系数变化，也可能来自遗漏动态、时间戳错误，或改变参考分布的波动事件。

普通最小二乘拟合后仅更换协方差估计量，并不会自动得到有效的 CUSUM 边界。异方差或相关性下的稳健推断需要针对这些条件设计的统计量和参考分布。回归 CUSUM 图是稳定性诊断，不能替代残差相关性检查、条件异方差检验或模型设定验证。相关问题可继续参阅 [ARCH-LM 波动聚集检验指南](/zh-CN/learn/arch-lm-test-volatility-clustering-finance-explained)及[稳健标准误指南](/zh-CN/learn/robust-standard-errors-heteroskedasticity-hac-finance-explained)。

构造残差前应确定采样间隔和市场日历。跨越长假期的收盘到收盘收益，与普通交易时段的收益并非相同长度的区间。公司行动、合约换月、货币换算和缺失观测也可能产生看似不稳定的预测误差。若不解释模型中时点 \(t\) 的观测代表什么，就不要填补缺口或机械地对齐资产价格。

说明因变量、解释变量、截距、变换、样本日期、频率、初始估计区间以及递归残差数量。说明残差是否按递归预测方差缩放，以及 \(\hat\sigma\) 如何估计。明确 CUSUM 或平方 CUSUM 的版本、参考分布、临界水平、边界规则，以及影响结果的软件默认设置。

将路径或统计量与拟合系数和残差诊断一起展示。越过边界是在被检验模型下反对稳定性的证据，并非经济原因或某个事件因果效应的估计。若目的是预测或交易，应使用按时间顺序划分的留出样本，披露每次警报何时可用，并计入价差、市场冲击、费用、借券、融资和换手。将响应与固定模型基准比较。稳定性警报可以促使复查模型，但不能证明自适应规则有优势。

Brown、Durbin 和 Evans 在1975 年论文中介绍了递归残差 CUSUM 和平方 CUSUM 稳定性程序。McCabe 和 Harrison 研究了基于普通最小二乘残差的平方 CUSUM 检验。未知变化点可参阅 Andrews（1993），序贯监控可参阅 Chu、Stinchcombe 和 White（1996）。相关指南包括 [OLS 回归](/zh-CN/learn/ols-regression-coefficients-assumptions-finance-explained)、[Chow 检验](/zh-CN/learn/chow-test-structural-break-regression-finance-explained)和[波动聚集](/zh-CN/learn/volatility-clustering-garch-explained)。