卡尔曼滤波对冲比率：配对交易的动态回归

固定对冲比率会在形成样本中拟合一个系数，并保持不变。动态对冲模型则把截距和斜率视为可随时间演变的潜在量。卡尔曼滤波器结合前一次估计与新观测的信息，递归估计这些量。

对于两个候选资产，令 \(y_t\) 表示其中一个资产的对数价格，\(x_t\) 表示另一个资产的对数价格。变化的长期回归可以写成 \(y_t=\alpha_t+\beta_t x_t+\epsilon_t\)。系数 \(\beta_t\) 描述时点 \(t\) 拟合出的关系；它并不自动等于股数、美元中性头寸或稳定的经济规律。

这里使用线性状态空间模型的一般预测与更新递归。Kalman提出了递归滤波框架，后续计量经济学研究将其用于随时间变化的回归系数。随机价差的配对交易是一种应用，但交易假设必须与滤波算法分开评估。

定义状态向量和观测行向量：

\[ \theta_t= \begin{bmatrix}\alpha_t\\\beta_t\end{bmatrix}, \qquad H_t=\begin{bmatrix}1&x_t\end{bmatrix}. \]

观测方程为 \(y_t=H_t\theta_t+\epsilon_t\)。它表示观测到的对数价格与潜在截距、对冲系数及观测噪声相关。常见的起点是假设两个系数都遵循随机游走：

\[ \theta_t=\theta_{t-1}+\eta_t,\qquad \eta_t\sim N(0,Q),\qquad \epsilon_t\sim N(0,R). \]

其中 \(Q\) 是系数变化的协方差，\(R\) 是观测噪声方差。令 \(Q=0\) 时，该模型中的系数固定；正的 \(Q\) 则允许系数漂移。也可以采用其他状态转移方式，但每种方式都对关系如何变化提出了不同假设。

这个简单设定假设过程扰动和观测扰动均值为零、没有序列相关且彼此独立。这些属于模型假设，价格观测并不会自动满足。

在 \(t-1\) 结束时，滤波器已有估计 \(\hat\theta_{t-1|t-1}\) 和协方差 \(P_{t-1|t-1}\)。随机游走状态方程给出的预测为：

\[ \hat\theta_{t|t-1}=\hat\theta_{t-1|t-1}, \qquad P_{t|t-1}=P_{t-1|t-1}+Q. \]

估计值被延续到下一期，不确定性则按允许的系数变化协方差增加。\(P\) 描述指定模型下潜在回归状态的不确定性。它不是配对交易损失的预测，也不是完整的组合风险衡量。

一步拟合观测为 \(H_t\hat\theta_{t|t-1}\)。使用先验状态很重要，因为它是在未看到新 \(y_t\) 时形成的。如果先用同一个观测更新系数再计算残差，更新过程已经把残差拉向零。

由于 \(H_t\) 包含 \(x_t\)，当前解释变量价格会同时影响 \(S_t\) 和增益。当斜率不确定性较大时，不同 \(x_t\) 的观测可能为 \(\beta_t\) 提供不同信息，但截距与斜率的协方差也会起作用。对 \(x_t\) 做中心化或缩放会改变截距和系数单位，因此 \(Q\) 中对应元素和初始 \(P\) 也必须变换或重新估计，不能直接照搬。

新观测到来时，一步预测误差（即创新）为：

\[ v_t=y_t-H_t\hat\theta_{t|t-1}, \qquad S_t=H_tP_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}+R. \]

创新方差 \(S_t\) 合并了预测状态的不确定性和观测噪声。卡尔曼增益和状态更新为：

\[ K_t=P_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}S_t^{-1}, \qquad \hat\theta_{t|t}=\hat\theta_{t|t-1}+K_tv_t. \]

增益会把新出现的意外分配到关系估计的变化中，或将其视为噪声。增益越大，估计就越会根据这次观测调整；这并不代表关系更可靠。

假设一个虚构滤波器预测 \(\hat\alpha=2.0\)、\(\hat\beta=1.20\)，且 \(x_t=50\)，因此 \(\hat y=62.0\)。若观测到 \(y_t=62.8\)，创新为 \(0.8\)。如果模型的增益是 \([0.08,0.006]^{\mathsf T}\)，更新后的截距为 \(2.064\)，斜率为 \(1.2048\)。这些虚构数值只用于说明计算，并非实证对冲比率，也不能证明偏离会反转。

过程噪声矩阵 \(Q\) 表示回归系数在相邻观测之间允许变化多少。\(Q\) 越大，增益通常也越大，估计会更敏捷。它可能更快跟上真实关系变化，但也可能追逐短暂噪声，让对冲权重迅速变化。\(Q\) 很小时估计更平滑，却可能滞后于真实结构变化。

观测噪声方差 \(R\) 表示关系无法解释的 \(y_t\) 变动。在其他量固定时，\(R\) 越大，滤波器对每个新观测的信任越低。\(Q\) 和 \(R\) 都不是通用的调参常数。它们的尺度取决于模型使用价格、对数价格还是标准化序列，以及所选的采样间隔。

分析者可以通过似然估计噪声参数，也可以依据训练窗口预先指定参数；但若针对最终交易期调参，就会泄漏结果信息。初始状态 \(\hat\theta_{0|0}\) 及其协方差 \(P_{0|0}\) 同样重要：初始化不确定性大，可能导致早期调整很快。应报告初始化、参数估计样本，以及对合理替代设定的敏感性。

滤波估计 \(\hat\theta_{t|t}\) 使用截至 \(t\) 时的观测。平滑估计在 \(t\) 时还可能使用之后才到达的观测。平滑有助于描述历史潜在状态，但当时的交易者无法获得这些未来信息。

估计 \(Q\)、\(R\)、配对选择和信号阈值时也有同样的时间问题。如果使用全样本一次性拟合，即使系数递归本身只向前计算，早期估计也会受益于之后的观测。模拟实时交易时，应只用形成期估计超参数，并将其固定或按预先声明的滚动方案更新；每次持仓决策都只能使用执行前可得的信息。

观测时间不等于成交时间。如果需要用 \(t\) 时的收盘价计算 \(v_t\)，除非执行流程确实允许，否则回测不能假设同一收盘价成交。应使用下一个可执行报价或可信的执行模型，并计入价差、市场冲击、费用、借券和融资成本。

在配对研究中，更新前的创新 \(v_t\) 是相对于先验拟合关系的意外变化。除以 \(\sqrt{S_t}\) 后得到模型下的标准化创新，有助于比较不同期间、不同估计不确定性下的意外幅度，但它没有告诉你应买入或卖出多少资产，也不说明较大的偏离会反转。

更新后的残差 \(y_t-H_t\hat\theta_{t|t}\) 是另一种量，因为它用当前观测修正了系数。把这个残差与更新前的阈值混用，会改变信号含义。应明确价差、时间点和阈值，并说明系数是先验、滤波还是平滑估计。

即使 \(\beta_t\) 是根据对数价格估计的，转换成订单仍需要单独的头寸规则。对数价格权重并未直接规定股数或合约数。价格、合约乘数、币种及账户限制共同决定美元敞口；截距也不是可交易资产。两次系数更新之间的再平衡成本和敞口漂移同样重要。

缓慢漂移的系数可以表示渐进变化，但也可能吸收已经失效的关系。状态灵活的模型即使不存在稳定的长期均衡，也可能让拟合残差看起来很小。滤波器不会检验协整，也不保证残差平稳。

配对选择同样重要。筛选许多资产后，保留样本内残差最平滑的一对，相当于用同一批数据选择并声称关系稳定。公司行动、过时价格、不同步收盘、卖空限制、流动性变化和市场状态转换都可能改变估计状态，或让纸面上的对冲难以执行。

除了拟合线，也要检查残差行为、状态不确定性、换手率和系数轨迹。使用按时间顺序划分的留出期，并与固定比率基准比较。更自适应的估计只有在扣除现实成本后，仍足以补偿额外换手和估计风险，才有价值；图形平滑本身不是业绩证据。

说明建模的是哪种价格或收益序列、如何变换、观测频率、样本日期，以及回归两侧分别是哪项资产。列出观测方程、状态方程、转移矩阵、\(Q\)、\(R\)、初始化、估计方法，并注明报告的是滤波状态还是平滑状态。

报告交易结果时，定义用于信号的创新或价差、标准化方式、决策时间戳、下单延迟、头寸规模、再平衡规则和全部执行成本。说明配对筛选方法、训练与测试窗口、噪声参数如何重新调整，以及结构变化或缺失观测后策略如何处理。固定系数与动态系数应在相同的时间顺序切分下比较。

Kalman的线性滤波论文发展了递归框架。Hatanaka研究了部分系数随时间变化的回归。Elliott、van der Hoek和Malcolm提出了配对交易的随机模型。相关主题可参阅[卡尔曼滤波的预测与更新](/zh-CN/learn/kalman-filter-prediction-update-finance-explained)、[配对交易中的协整与相关性](/zh-CN/learn/cointegration-vs-correlation-pairs-trading-explained)、[Johansen秩检验](/zh-CN/learn/johansen-cointegration-rank-trace-max-eigenvalue-explained)和[方差比检验](/zh-CN/learn/variance-ratio-test-random-walk-horizon-scaling-explained)指南。